たまりば

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2016年02月23日

3月5日(土)、大人のための数学教室を開きます。


2月20日(土)、大人のための数学教室を開きました。
今回も「確率」の学習。
まずは、「独立試行の確率」です。
例えば、こんな問題です。

例題 
白玉2個、赤玉6個が入った袋がある。この袋から玉を1個取り出して色を調べてから元に戻す。このとき、1回目に赤玉、2回目に白玉が出る確率を求めなさい。

玉は全部で8個。
そのうち、赤玉が6個ですから、1回目に赤玉が出る確率は、6/8、すなわち、3/4です。白玉は2個ですから、白玉の出る確率は、2/8、すなわち、1/4です。
玉はその都度袋に戻していますから、この2つの試行は互いに影響しあうことがありません。
ですから、1回目が赤玉で2回目が白玉になる確率は、3/4・1/4=3/16となります。
(1回目の確率)×(2回目の確率)で求められることは、このくらい易しい問題だと何の疑問も感じないようなのですが、この先、もっと難度が上がったときに、
「何でかけ算なんですか?」
と言う高校生がいます。
わからなくなったら、ここに戻りましょう。

2回の試行をまとめて計算する今までの確率の求め方でも同じ式になります。
まずは、全体の場合の数を求めましょう。
袋の中に玉は8個ですから、1回目と2回目で全体の場合の数は、8×8
そのうち、1回目の赤玉は6通り、2回目の白玉は2通りの玉の出方がありますから、6×2。
よって確率は、6×2/8×8=3×1/4×4=3/16
上の求め方と同じ式、同じ答えになります。
ならば、単純に確率×確率のほうが式が立てやすいですね。

さて、次の例題
白玉2個、赤玉6個が入った袋から玉を1個取り出し、色を調べて元に戻す試行を繰り返す。3回目に初めて赤玉が出る確率を求めなさい。

問題の書き方に戸惑う人がいるタイプの問題です。
3回目に初めて赤玉が出るとは、どういうことなのか。
1回目と2回目は赤玉ではなかったということです。
それは、つまり1回目と2回目は白玉だったということ。
この問題は、1回目に白玉、2回目に白玉、3回目に赤玉が出る確率ということです。
だったら、先ほどの問題と大差ないですね。
1/4・1/4・3/4=3/64
答えは、3/64となります。

では、こんな問題はどうでしょう。

例題
袋に白玉2個、赤玉6個が入っている。この袋から玉を1個取り出し、色を調べて元に戻す。これを3回繰り返すとき、3回とも同じ色が出る確率を求めなさい。

3回とも同じ色。
これは場合分けが必要です。
すなわち、白白白の場合と、赤赤赤の場合。
白白白の確率は、1/4・1/4・1/4=1/64。
赤赤赤の確率は、3/4・3/4・3/4=27/64。
この2種類の事柄は同時には起こりません。
かぶる部分がありません。
ですから、単純に足して良いです。
したがって、求めたい確率は、1/64+27/64=28/64=7/16となります。

ここまでが「独立試行の確率」です。
大人の教室、本日はここまでの予定でしたが、ぐんぐん進んで、時間はまだ30分も残っていました。
そこで、次の単元に突入しましたー。
次は「反復試行の確率」。
例えば、こんな問題です。

例題
袋の中に白玉2個、赤玉6個が入っている。この中から玉を1個取り出し色を調べてから袋に戻す。これを5回繰り返したとき、白玉がちょうど3回出る確率を求めよ。

今までと同じようでいて、実はかなり違うタイプの問題です。
赤玉白玉の出方の順番がわかりません。
5回のうち、とにかく白玉が3回出る。
言い換えると、どこで白玉が出るかは自分で考えて場合分けしなければならないということです。
例えば、白白白赤赤という出方と、白白赤白赤という出方は、異なる玉の出方であり、それぞれに固有の確率があります。
それぞれの場合ごとに確率を計算して、最終的にそれらを足せば答えとなるでしょう。
授業では、「なぜ場合分けしなければならないのか、そこからわからない」という質問がありました。
異なる出方があるなら、1つ前の問題のように場合分けし、それぞれの確率を足すのだということをまずはご理解いただきたいと思います。
白白白赤赤という出方と、白白赤白赤という出方は異なる出方です。
それは白白白と赤赤赤が異なるのと同様に異なります。

5回のうち3回白玉が出る。
さて、場合分けしましょう。
5回のうち3回白玉なら、残る2回は赤玉となります。
その並べ方は、
白白白赤赤
白白赤白赤
白白赤赤白
白赤白白赤
白赤白赤白
白赤赤白白
赤白白白赤
赤白白赤白
赤白赤白白
赤赤白白白
以上の10通りに場合分けされます。
では次に、そのおのおのの確率を求める式を立ててみましょう。

白白白赤赤 は、1/4・1/4・1/4・3/4・3/4
白白赤白赤 は、1/4・1/4・3/4・1/4・3/4
白白赤赤白 は、1/4・1/4・3/4・3/4・1/4
白赤白白赤 は、1/4・3/4・1/4・1/4・3/4
白赤白赤白 は、1/4・3/4・1/4・3/4・1/4
白赤赤白白 は、1/4・3/4・3/4・1/4・1/4
赤白白白赤 は、3/4・1/4・1/4・1/4・3/4
赤白白赤白 は、3/4・1/4・1/4・3/4・1/4
赤白赤白白 は、3/4・1/4・3/4・1/4・1/4
赤赤白白白 は、3/4・3/4・1/4・1/4・1/4

こうして一覧にしてみますと、同じような分数ばかり並んでいるのがわかります。
要するに、どの場合も、1/4を3回、3/4を2回かけるのですね。
各行は、(1/4)3(3/4)2
とまとめることができます。
( )の後ろの半角の文字は指数として読んでください。
で、これを全部足します。
同じものを10個足すのですから、それは×10と同じこと。
つまり、この問題は、10(1/4)3(3/4)2という式で求めることができます。

この10という数字を計算で求めることはできないでしょうか?
白3個、赤2個を並べる並べ方。
これは、以前に学習した「同じものを含む順列」の公式で求めることかできます。
全体でn個のうち、同じものがp個、また別の種類の同じものがr個あったときの順列は、
n!/p!r!・・・
という式で求めることができるのでした。
また、n=p+rであるのなら、それは、nCpという組合せの式と同じものでした。
ですから、白玉3個、赤玉2個の並べ方は、
5C3=5・4・3/3・2・1=10 と計算できます。

さあ、これで、反復試行の確率の公式が導かれました。
Aという事象の確率をpとするとき、n回の試行のうちr回Aという事象の起こる確率は、
nCr・pのr乗・(1-p)の(n-r)乗
公式で書くと余計わからないと非難轟々の公式ですが、慣れてしまえば使い方は簡単です。
n、p、rが何にあたるか、例題にそって確認し、ご活用ください。

次回の数学教室のお知らせです。
◎日時  3月5日(土)10:00~11:30
◎内容  数A「場合の数と確率」を続けます。「反復試行の確率」の続きです。
◎場所  セギ英数教室
       三鷹市下連雀3-33-13
         三鷹第二ビル 305
       春の湯さんの斜め前のビルです。
◎用具   ノート・筆記用具
◎参加費 2,000円
       当日集めさせていただきます。
◎予約  メールにて、ご予約をお願いいたします。
       左の「お問合せ」ボタンからご連絡ください。
       既にご参加いただいている方は携帯メールアドレスにご連絡ください。     






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