たまりば

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2016年02月08日

2月20日(土)、大人のための数学教室を開きます。


2月6日(土)、大人のための数学教室を開きました。
「確率」の学習の続きです。
今回は「余事象」の確率。
例えば、こんな問題です。 

例題 
袋の中に赤玉5個、白玉5個が入っている。この中から2個を同時に取り出すとき、少なくとも1個が白玉である確率を求めなさい。

問題文の中に「少なくとも」という表現があったら、余事象の可能性をまず考えてみます。
そのほうが楽に解けることが多いからです。
余事象とは、Aという事象があるとき、「Aではない」という事象を指します。
硬貨を1枚投げて表が出るという事象をAとするなら、「Aではない」は「表ではない」すなわち「裏が出る」という事象がAの余事象です。

ある事象の確率とその余事象の確率との和は1となります。
確率が1とは100%ということ。
しかし、この説明をすると首を傾げる高校生もいます。
「もっと他のことがある気がする」
と言うのですね。
「他のことって、どんなこと?Bということがらが起こるというのは、Aではないということだから、Aの余事象なんだよ?」
と説明すると、
「わからない、わからない」
と言われてしまいます。

これは1つにはものの考え方の好みというものなのかなあと思います。
Aであるか、Aでないか、2つに1つしかないのだ。
そういう白黒はっきりした考え方が嫌い。
もっとグレーゾーンがある気がする。
そうではない可能性がある気がする・・・・。

気持ちはわかるけれど、そういう話をしているのではないのです。
しかし、「そういう話をしているのではない」ということが、最も伝わらないことであるような気もします。

問題に話を戻して。
この問題は「少なくとも1個は白玉である確率」を求めます。
これくらい単純な問題であれば、場合分けしてもそんなに難しいわけではありません。
「少なくとも1個は白玉」は場合分けすると「1個が白玉で、もう1個が赤玉」である場合と、「2個とも白玉」である場合となります。
それぞれの確率を求めて単純に足しても、求めたい確率は出ます。
しかし、もっと複雑な問題になったときに、場合分けが3通り、4通り、5通りとなっていくこともあります。
計算も煩雑になります。
もっと簡単に求める方法はないか?
それが余事象を利用する求め方です。

「少なくとも1個は白玉が出る」ことの余事象は、「1つも白玉が出ない」ということ、言い換えると「2個とも赤玉が出る」事象となります。
この言い換えが問題を解くのに必要なのですが、ここがピンとこなくて、解説を聞いても詐欺にあったような顔をする高校生がいます。
何か騙された気分になるみたいなんですね。
「1つも白玉が出ない」イコール「2個とも赤玉が出る」であると納得できない。
これも他の可能性がある気がするのでしょうか。
問題文の条件がよく理解できていないという単純なことなのか、そもそもそういう思考法が嫌いなのか。
難しいです。

全部で10個の玉うち、5個が赤玉ですから、2個とも赤玉が出る確率は、
5C2/10C2=2/9
よって、求めたい確率は、1-2/9=7/9
すっきりと答えか出てきます。

大人のための教室は、その先、余事象とからめ、ド・モルガンの法則を利用して確率を求める問題を解くために、まずド・モルガンの法則を復習しました。
しかし、予想をはるかに越えた混乱が起こりました。
ベン図で、「ほらほら、こうなるでしょう」と目に見える形で示せば簡単に理解してもらえることだと思っていましたが、大人はそれではダメみたいです。
高校生がここで詰まっているのを見たことがないので、何が起きたんだろうと驚いてしまいました。
頭が硬いのかなあとまずは思ったのですが、いや、そうではないのかもしれません。
思うに、大人は、意味を考えてしまう。
どうしてそうなるのかを頭の中で追及しようとする。
どうしてもこうしても、こうなるからこれで正しいんですよ、では納得できないのかもしれません。
というわけで、次回は仕切り直してそこから始めます。

次回の数学教室のお知らせです。
◎日時  2月20日(土)10:00~11:30
◎内容  数A「場合の数と確率」を続けます。「確率」の学習を続けます。
◎場所  セギ英数教室
       三鷹市下連雀3-33-13
         三鷹第二ビル 305
       春の湯さんの斜め前のビルです。
◎用具   ノート・筆記用具
◎参加費 2,000円
       当日集めさせていただきます。
◎予約  メールにて、ご予約をお願いいたします。
       左の「お問合せ」ボタンからご連絡ください。
       既にご参加いただいている方は携帯メールアドレスにご連絡ください。     







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