たまりば

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2016年01月14日

1月23日(土)、大人のための数学教室を開きます。


画像は八ヶ岳赤岳鉱泉前のアイスキャンディー。
アイスクライミングを楽しむための人工氷壁です。
写真は日陰でわかりにくいですが、ガリガリくんソーダ味みたいな色をしています。
右側は初心者向け。
左側のほうが難度が高いですね。
アイスクライミングは、7~8年前に2度ほどやったきり。
見るとまたやりたくなります。

それはさておき、1月9日、大人のための数学教室を開きました。
「組合せ」の学習の続き。
今回は、「重複組合せ」の学習を行いました。

問題 りんご・かき・なしをあわせて7個詰めた果物かごを作りたい。何通りの果物かごを作ることができるか。ただし、使わない果物があっても良いものとする。

ふーむ。
とりあえず、具体的に考えてみましょう。
例えば、こんなふうに詰めていくのですね。
果物の一番上のひらがな1字で表していくと、

り・り・り・か・か・な・な

あるいは、

り・り・り・か・な・な・な

こういうのを全部書きだしていくことでも求められるけれど、もう少し一般化できないものか?
そこで、とりあえず、果物を全て〇で表すことにします。
そして、別の種類の果物との境に仕切りを入れることにします。

〇〇〇|〇〇|〇〇
これが、先ほど書いた り・り・り・か・か・な・な
を表すものとなります。

〇〇〇|〇|〇〇〇
これは、 り・り・り・か・な・な・な。

〇〇〇||〇〇〇〇
これは、 り・り・り・な・な・な・な。
仕切りを2本続けて描くことで、柿は0個であることを表します。

〇〇〇〇〇〇〇||
これは、 り・り・り・り・り・り・り。
全てりんごの場合です。

こうやってみますと、果物かごの作り方は、〇7個と仕切り2本の順列と考えることができます。
同じものを含む順列です。
同じものを含む順列は、例えば今回のように〇7個、仕切り2本であれば全部で9個のマスを考え、その9個のうち、〇を入れる7個のマスを選ぶと考えます。
それは、9個から7個を選ぶ組合せです。
9C7=(9・8・7・6・5・4・3)÷(7・6・5・4・3・2・1)
ネットで分数を表しにくいのでこう書きましたが、これは、実際には分数で表します。
その次は、結果的には計算しなくても良いのですが、残った2個のマスから仕切りを入れる2個を選びます。
2C2=(2・1)÷(2・1)
これらをまとめて1本の式にしますと、
(9・8・7・6・5・4・3・2・1)÷(7・6・5・4・3・2・1・2・1)=36
これは、9!÷(7!2!) ということです。
一般化しますと、全部でn個のもののうち、p個が同じもの、q個が同じもの、・・・・である順列は、
n!÷(p!q!・・・)
重複組合せは、この「同じものを含む順列」の公式を利用して解いていきます。
果物が全部で7個で3種類のときは、〇7個、仕切り2本。
だから、全部で9個のうち同じものが7個と2個。
このように、式に代入する数値の決定までは頭を使いますが、そこから先は公式に代入して簡単に計算していけます。

問題 りんご・かき・なしの果物をあわせて7個詰めた果物かごを作りたい。3種類の果物を少なくとも1つずつは必ず入れるとすると何通りの果物ができるか。

先ほどの考え方では、かごに入らない果物もありました。
仕切りが両端にあったり2本並んでしまうと、入らない果物が出てしまうことになります。
では、今回のルールは、〇7個仕切り2本は変わらないけれど、仕切りは両端に来てはいけないし、2本並んでもいけないということになります。

この場合は、〇と〇の間のスペースに着目しましょう。
〇・〇・〇・〇・〇・〇・〇
この図で書いた「・」の位置、つまりスペースに仕切りが1本入ったり入らなかったりするのです。
では、この「・」、つまりスペース6個のうち、2個に仕切りが入ることになります。
言い換えると、6個の「・」のうち2個を「|」に置き換えれば良い。
4個の「・」と2個の「|」を並べると考え直すことができます。
結局、またも同じものを含む順列なのですが、先ほどとは数字が異なりますね。
4個の「・」と2個の「|」、あわせて6個を並べる順列。
6!÷(4!2!)=15
答えは、15通りとなります。
これは、6個のスペースのうち2個を選んで仕切りを入れると考えることもできます。
その場合の式は、6C2=15
結果は同じです。

この「同じものを含む順列」の公式は、この問題だけで使うマニアックなものではなく、数Ⅱの学習でまた使う重要公式ですので、どうかお忘れなく。
複雑でわかりにくいところだったのですが、非常にスムーズに学習が進みました。
「全くわからない」と言われる覚悟を固めておりましたので、正直拍子抜けです。
ひと山越えましたので、この先はかなり楽です。
次回の大人のための数学教室は、「確率」の学習に進みます。
まずは中学数学の復習ですから、簡単です。
(*^^)v

次回の数学教室のお知らせです。
◎日時  1月23日(土)10:00~11:30
◎内容  数A「場合の数と確率」を続けます。「確率」の学習から。
◎場所  セギ英数教室
       三鷹市下連雀3-33-13
         三鷹第二ビル 305
       春の湯さんの斜め前のビルです。
◎用具   ノート・筆記用具
◎参加費 2,000円
       当日集めさせていただきます。
◎予約  メールにて、ご予約をお願いいたします。
       左の「お問合せ」ボタンからご連絡ください。
       既にご参加いただいている方は、
       ご出席確認メールへの返信の形でご連絡くださりますと助かります。
       携帯メールアドレスをご存じの方は、そちらにご連絡ください。     












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