たまりば

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2015年12月13日

1月9日(土)、大人のための数学教室を開きます。


12月12日(土)、大人のための数学教室を開きました。
今回も引き続き「組合せ」の学習です。
前回、組合せの基本から議論が紛糾しましたので、その応用である今回の学習内容はかなり時間がかかると想定していました。
中2の同内容を学習したときにも完全な理解には至らなかったと感じた内容でした。
例えばこんな問題です。

問題 
6人で旅行し、ホテルに宿泊しました。301号室、302号室、303号室の3部屋に2人ずつ宿泊します。何通りの泊まり方がありますか。

まず、301号室に泊まる人から決めていきましょう。
6人から2人を選ぶ組合せでいいですよね。
だから式は、6C2です。
次に、残った4人から、302号室に泊まる人を決めます。
4人から2人を選ぶ組合せです。
だから式は、4C2です。
最後に、残った2人から、303号室に泊まる人を決めます。
2人から2人を選びます。
式は、2C2です。
でも、最後の2C2=1ですから、これは書かなくてもいいですね。
最後に残った2人は自動的に303号室に泊まるという意味でもあります。

中2内容の「場合の数と確率」の学習をしたときは、この最後の2C2を私が書かなかったために、説明に大変な時間がかかった記憶があります。
最後に残った2人は自動的に303号室になるのだから選ばなくて良い。
そう説明したら理解してもらえなくて悪戦苦闘しました。
今回は、あえて2C2を書いて説明したら、問題なく通過。
なぜなんだろう。
理解しやすさという点で何が違うんだろう。
説明する側として、むしろそのことに興味があるのですが、きっと何かが決定的に違うんだろうと思います。
残ったのが2人でも、ちゃんと選んでほしい。選ばないままなら、それは選んでいない。
そういうことなのかなあ。
研究課題だなあ。
前回は、ここがモヤモヤしたせいか、そもそも6C2の次が4C2というのがわからない、2人ずつ選ぶんだから、6C2×6C2×6C2じゃないのか、それでなぜいけないのかという話に進んで大混乱だったんです。

いや、正確には、問題が少し違うので、それが原因でのわかりにくさもあったかもしれません。
あのときの問題は、
「12人を6人ずつ、A、Bの2つのグループに分けます。分け方は何通りありますか」
でした。
そこで、私は、Aグループに入る6人だけを選べばいい、残る6人は自動的にBグループに入ると説明したのですが、これがわかりにくかったらしいのです。
Bグループもあるのだから選ばないとおかしいのに、12C6×12C6としないのはなぜなのか?
その議論が続きました。
12人と、人数が多いわりに2つにしか分けないせいで何となくそう感じてしまうというのもあったのでしょうか。
12C6×6C6とすれば、あのときもご理解いただけたのか、それとも、12人で2グループならば今でも同じ混乱は起こるのか。
興味深いです。

説明に戻ると、3つの部屋に入る人を選ぶのは同時に起こることなので、「積の法則」が適用され、全体の式は、
6C2・4C2・2C2
通常は最後の2C2はどうせ答えが1なので省略されて、6C2・4C2
分数の式にすると、
6・5・4・3
2・1・2・1
この2行は、分数の分子・分母として読んでください。
答えは90通りです。

しかし、このグループ分けに関する問題の最大のヤマ場は、この次にあるのです。

問題
6人を2人ずつ3つのグループに分ける。何通りの分け方があるか。

問題に余計な叙述がなくなっただけで、同じことなのでは?
答えは90通りでしょう?

・・・・いいえ、違います。
この問題の答えは、15通りです。
さあ、ここから最低30分は議論が紛糾するぞー!
と覚悟していたのですが、今回、ここも問題なく通過しました。
あれ?
どうしたのかな?
すんなりわかっていただけるのは楽だけど、でも、本当にご理解いただけたかな?
中2の学習をしたとき、これを本当に理解してくださった方は参加者の中に1人もいなかったと記憶しています。
皆さん、最後まで「一体何だそれは?」という表情だったんです。
( ;∀;)

前回の私のブログが余計なプレッシャーを与えてしまったのかなあ。
1人の方は、
「15人から12人を選ぶ組合せと15人から3人を選ぶ組合せは同じこと」
という件について、ご家族の方に、
「いや、それはそうだ」
とあっさり言われてしまったと笑ってらっしゃいました。

ともあれ、正答の考え方について、「そういう考え方もあるだろう」という形で受けとめ、その考え方を理解する方向で学習を進めるのが「場合の数と確率」を得意になる近道だと思います。
「場合の数と確率」の正答の考え方は勿論正しいのですが、正しいからといって好ましいとは限らない。
あー、こういう考え方は肌に合わない、ということはあると思います。
嫌いな考え方だけど理屈はわからないでもない。
そういう方向で、ぜひご理解ください。


話を戻して。
何で、最初の問題の答えは90通りで、同じ問題のように見えるのに後のほうの問題の答えは15通りなのか?
この2つの問題は、大きく異なる点があるのです。
この2つの問題の違いは、分けられた3つのグループに「名称」とも呼べるものがあるかないか、です。
最初の問題の3つのグループは「301号室の人」「302号室の人」「303号室の人」と名称が与えられます。
参加者6人をA、B、C、D、E、Fとするなら、
301号室はAとB、302号室はCとD、303号室はEとF
という部屋分けと、
301号室はAとB、302号室はEとF、303号室はCとD
という部屋分けは、違う部屋分けです。
90通りの中で、上の2つは別々の部屋分けとしてカウントされています。

では、「6人を2人ずつ3つのグループに分ける」という場合はどうなのか?
(A、B)、(C、D)、(E、F)と、
(A、B)、(E、F)、(C、D)は、別のグループ分けでしょうか?
これは、同じですね。
順番を変えているだけで、同じ分け方ですから。
3つのグループに名称がなく、ただ3つに分けるだけなら、順番は関係ないのです。
他にも、
(C、D)、(A、B)、(E、F)
(C、D)、(E、F)、(A、B)
(E、F)、(A、B)、(C、D)
(E、F)、(C、D)、(A、B)
これらは全て、同じ1種類のグループ分けです。
90通りの中で、同じ1種類のグループ分けを繰り返しカウントしていることになります。
1つについて、何回繰り返しカウントしているか?
上の例からもわかるように、3つのグループを並べる順列、
すなわち3P3=3!=6(回)、同じグループを繰り返しカウントしています。
ですから、答えは90÷6=15(通り) となります。

この1ページの内容で90分かかると想定していたのですが、予想外に順調に進み、授業の後半は次のページの「同じものを含む順列」について学習しました。
こちらはさらに難度が上がり、しかも、今後の応用問題で繰り返し使用される考え方です。
公式としては、
n個のもののうち、p個は同じもの、q個はまた別の同じもの、r個もまた別の同じもの・・・・であるとき、それらのn個のものを全部使って作られる順列は、
n!÷(p!・q!・r!・・・・)

例えば、A、A、A、B、B、C、Cの7個の文字を並べた順列の数は、
Aが3個、Bが2個、Cが2個なので、
7!÷(3!・2!・2!) で求められます。

これを利用して、次回は、「最短経路の問題」から学習を勧めます。


次回の数学教室のお知らせです。
◎日時  1月9日(土)10:00~11:30
◎内容  数A「場合の数と確率」を続けます。「組み合わせ」の続き。p25から。
◎場所  セギ英数教室
       三鷹市下連雀3-33-13
         三鷹第二ビル 305
       春の湯さんの斜め前のビルです。
◎用具   ノート・筆記用具
◎参加費 2,000円
       当日集めさせていただきます。
◎予約  メールにて、ご予約をお願いいたします。
       左の「お問合せ」ボタンからご連絡ください。
       既にご参加いただいている方は、
       ご出席確認メールへの返信の形でご連絡くださりますと助かります。
       携帯メールアドレスをご存じの方は、そちらにご連絡ください。     
















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