たまりば

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2015年11月15日

11月28日(土)、大人のための数学教室を開きます。


11月14日(土)の大人のための数学教室は、出席者ゼロで中止となりました。
秋も深まり、文化祭やら保護者会やら、皆さま行事が重なっている様子です。
次回のご参加お待ちしております。

さて、そのような事情で、大半の方は「順列」を知らずに「組み合わせ」の学習に入ることになり、ちょっと不安を感じております。
「順列」について、もう少しここで学習しておきましょう。

例題 0,1,2,3,4,5の6個の数字を一度ずつ用いて4桁の数を作る。
(1) 4桁の数は何個できるか。

この問題は、0を含んでいる分だけ難度の高い問題となっています。
4桁の数の千の位には0を用いることができないからです。
千の位が0の数は、4桁の数ではありません。
それは3桁の数となってしまいます。
したがって、千の位に置くことができる数字の候補は、0を除く5通り。
その先は、樹形図をイメージしながら式を立てていきます。
千の位の5通りの候補それぞれに対して、百の位に置くことができる数字の候補は、千の位に使った数字を除きますが、0は用いていいので、5通り。
十の位は、既に使った2個の数字を除いて、4通り。
一の位は、既に使った3個の数字を除いて、3通り。
従って、式は、5×5×4×3となります。
これを順列の記号Pを用いて表すならば、
最初の千の位の選び方として5P1。
残る3桁の選び方として、5P3。
よって、5P1・5P3となります。
上の5×5×4×3ならばよく理解できる子が、5P1・5P3という式を見た途端にうろたえて、「わからない」「わからない」「わからない」とつぶやき始めることがあります。
それが、「場合の数」の学習の恐ろしいところです。
同じことを別の表し方をしただけなので、わからないことは何1つないのですが、一度わからないと思い込んでしまうと、何もかもわからないと感じ始めるようなのです。

5P1とは、「5つのものから1つを選んで並べる順列」という意味です。
勿論、5P1=5ですね。
千の位の数字の選び方を表しています。
次に、そのそれぞれに対して、残る5個の数字の中から3個を並べていきます。
「5つのものから3つを選んで並べる順列」となります。
それが、5P3です。
5P3=5×4×3 となります。

ところで、「場合の数」の学習では、このようにかけ算をやたらと繰り返すようになり、「×」の記号を書くことが鬱陶しくなってきます。
もともと、文字xと紛らわしかったので、そろそろ何とかしたい。
中学の数学では、「÷」の記号が消えました。
わり算は分数で表すようになりました。
高校数学になると、「×」の記号が消えます。
「×」の代わりに、「・」と書くようになります。
したがって、5×5×4×3は5・5・4・3と書きます。
書き易くて便利です。
リズミカルに書いていけます。

次の問題。
(2)4桁の偶数は何個できるか。

さらに難度が上がりました。
この問題は、まず「偶数」という条件を考えます。
偶数というのは、どういう数のことだろう?
その性質を考えるのがコツです。
一の位が偶数であればその数全体は偶数です。
他の位の数は奇数でも偶数でも構わないのです。
そういう知識が頭の引き出しに入っていて、すぐ引き出せることが必須となります。

さて、一の位が偶数となると、その候補は、0、2、4の3通り。
ここで、一の位に0を使った場合と、2か4を使った場合とではその後の計算が違ってくることが予想できれば、もうほとんど正解したようなものです。
一の位に0を使ってしまえば、もう千の位に0は置けないといったことを心配する必要がありません。
一方、一の位が2か4である場合、千の位に0は使えないことを気にしなくてはなりません。
ここで場合分けをして計算をします。

〔1〕一の位が0の場合
残る5個の数から、千の位、百の位、十の位の数を決めていくだけです。
したがって、式は、5P3=5・4・3 となります。

〔2〕一の位が2か4の場合
一の位の候補は2通り。
そのそれぞれに対して、千の位は、0と、一の位に選んだ数を除いて、候補は4通り。
百の位は、0を使ってもいいので、一の位と千の位に使った数を除いて、候補は4通り。
十の位は3通り。
したがって式は、2・4・4・3
Pを用いた式を書くのなら、
2P1・4P1・4P2
となりますが、無理にPを使う必要はないので、なぜその式なのか適宜言葉で説明していきながら答案を完成させれば大丈夫です。

生徒の中には、一の位の次に千の位を決めることが理解できず、
「そんなことしていいの?」
と質問してきたり、そんなことは絶対に許されないと思うのか、最後に一の位を決めようとして混乱する子がいます。
かけ算なんだから、どこからかけても一緒だよ。
どの桁から決めていっても構わないんだよ。
そうした説明がピンとくる子と、全く理解できない子とがいます。
頭が硬いのかなあ・・・・。
なぜ千の位から数字を決めなければならないと思うのだろう。
そのことに何の根拠もないことに気づくと、思考の自由度が増すと思うのですが。
あるいは、そういうことをしていいのか悪いのか、そういう、言わば「数学的規範」というものが本人の中にないため、いつも不安で、かえって不可解なルールに縛られてしまうのかもしれません。

解答としては、〔1〕〔2〕は同時には起こらないので、和の法則が適用されます。
したがって、
5・4・3+2・4・4・3
=60+96
=156

答えは156個となります。


さて、次回の数学教室は、「順列」は終わったものとし、「組み合わせ」の学習に入りますよー。

次回の数学教室のお知らせです。
◎日時  11月28日(土)10:00~11:30
◎内容  数A「場合の数と確率」を続けます。「組み合わせ」から。
◎場所  セギ英数教室
       三鷹市下連雀3-33-13
         三鷹第二ビル 305
       春の湯さんの斜め前のビルです。
◎用具   ノート・筆記用具
◎参加費 2,000円
       当日集めさせていただきます。
◎予約  メールにて、ご予約をお願いいたします。
       左の「お問合せ」ボタンからご連絡ください。
       既にご参加いただいている方は、
       ご出席確認メールへの返信の形でご連絡くださりますと助かります。
       携帯メールアドレスをご存じの方は、そちらにご連絡ください。     
















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