たまりば

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2015年11月02日

11月14日(土)、大人のための数学教室を開きます。


10月31日(土)、大人のための数学教室を開きました。
本日、ご参加は1名様。
マンツーマン授業なので、すごく進みましたよー。
順列は全部終わりました。
ただ、その方が次回は欠席なさるとのことですので、次回も同じ内容の授業をいたします。
しかし、マンツーマンでないとそんなに進まないので、ここでざっと順列について解説しておきます。
次々回は「組み合わせ」から授業開始となります。

順列は順番が重要です。
小学校でも「並べ方と組み合わせ方」という単元で学習しますし、中学でも「場合の数と確率」で学習するのですが、何回学習しても、結局、順列とは何であるか曖昧になってしまう子がいます。
順列だけ考えてもよくわからないので、組み合わせとの違いを意識するとわかりやすくなります。

例 30人の生徒のうちから学級委員と副学級委員を選ぶ方法は何通りあるか。

樹形図をイメージしながら考えます。
まず、学級委員を選ぶ方法は、30人いますから、30通りあります。
その30通りについて、それぞれ、副学級委員を選ぶ方法は、学級委員に選ばれた1人を除いた29通りあります。
1人の学級委員から、29本の枝が広がる樹形図がイメージできますね。
よって、式は、30×29=870
870通りが答えです。
これが順列です。
学級委員にA君が選ばれ副学級委員にB君が選ばれた場合と、学級委員にB君が選ばれ副学級委員にA君が選ばれた場合とは、異なるものとなります。
順番が重要。
これが順列。

例 30人の生徒のうちから学級委員を2名選ぶ方法は何通りあるか。

今度は、学級委員が2名で、その2名に「正」「副」はありません。
ならば、学級委員にA君とB君を選んだ場合と、B君とA君を選んだ場合は、同じものとなります。
順番は関係ない。
これが組み合わせです。
式は、(30×29)÷(2×1)となりますが、この話はまたいずれ。


例 5人でリレーをするとき、走る順番は何通りあるか。

これは順番が重要ですから順列ですね。
樹形図をイメージしながら式を書いていくと、まず第1走者は5通り。
そのおのおのに対して、第2走者の候補は、4通り。
そのおのおのに対して、第3走者の候補は、3通り。
そのおのおのに対して、第4走者の候補は、2通り。
そのおのおのに対して、第5走者の候補は、1通り。
樹形図は規則的に広がっていきます。
式は、5×4×3×2×1。
これを「5!」と書き、「5の階乗」と読みます。

1つ困るのが、最後の ×1 を省略したがる子。
「こんなの無駄だ」
と言って、書かない子がいます。
計算に影響しないけれど意味のあることだから書きなさいと促しても、書こうとしません。
結果、自分の書いている式の意味がだんだんわからなくなり、組み合わせの学習に進んだときに、分母と分子の釣り合いが取れない妙な式を書いても自分のミスに気がつかなくなることがあります。

樹形図をイメージすることで順列の公式の意味が理解できていれば、順列の基本問題は簡単です。
しかし、今回の授業の後半、「円順列」と「じゅず順列」は、テキストの解説だけではよくわからない場合が多いようです。

冒頭の板書をご覧ください。

例 5人が円卓を囲む方法は何通りあるか?

円卓というのは、上座下座が存在しません。
画像のように真上から見た図を描いたときのテーブルの真上とか右とか左といった位置に意味はありません。
重要なのは、互いの位置関係。
誰の隣りに誰がいて、その隣りに誰がいるのか。
そういうことが並べ方として重要となります。
画像にあるように、全体を回転させただけで位置関係が同じものは、同じ並べ方となります。
ですから、普通の順列のように、5!で計算すると、同じ並べ方を何回もダブって計算してしまうことになります。
では、同じ並べ方を何回カウントしてしまうのか?
Aの位置に着目して考えれば、5個の席の分だけ、つまり、5回同じ並べ方をカウントしていることになります。
だから、5!÷5 で本当の並べ方の数が計算できます。

一般化すると、n個の円順列なら、n!÷n です。
それはつまり、一番初めのnを最初からかけなければ良い話。
ですから、公式は、(n-1)!です。

「円順列」の解説にはもう1通りあって、Aを回転させると同じ並べ方が何回も出てくることになるので、Aは位置を固定させます。
そのAの周囲に、どのように人を配置するかで、円卓を囲む方法はダブらずに数えることができます。
それは、Aを覗いた4人の順列で良いでしょう。
だから、求め方は、4!
公式は、(n-1)!

この2つの解説のうち、理解しやすいほうで理解すればよいです。
いずれにせよ、公式としては同じです。

続いて、「じゅず順列」。
円卓を囲む方法は、裏返したものは別の並べ方となります。
人間が全員、足を上に向けて裏返ったテーブルを囲むということはありえないですから。
しかし、じゅずや首飾りとなりますと、簡単に裏返せます。
そして、裏返したからといって、その玉の並び方が急に別の並び方になるはずがありません。
すなわち、じゅずや首飾りは、裏返した並べ方も同一のものとみなします。
表と裏で、2通り。
だから、円順列で求めたものをさらに2で割ります。
これが、「じゅず順列」です。


さて、次回の数学教室のお知らせです。
今回と同じ授業を行います。
◎日時  11月14日(土)10:00~11:30
◎内容  数A「場合の数と確率」を続けます。p13「階乗」から。
◎場所  セギ英数教室
       三鷹市下連雀3-33-13
         三鷹第二ビル 305
       春の湯さんの斜め前のビルです。
◎用具   ノート・筆記用具
◎参加費 2,000円
       当日集めさせていただきます。
◎予約  メールにて、ご予約をお願いいたします。
       左の「お問合せ」ボタンからご連絡ください。
       既にご参加いただいている方は、
       ご出席確認メールへの返信の形でご連絡くださりますと助かります。
       携帯メールアドレスをご存じの方は、そちらにご連絡ください。     














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