たまりば

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2015年10月19日

10月31日(土)、大人のための数学教室を開きます。


10月17日(土)、大人のための数学教室を開きました。
数A「場合の数と確率」の学習の続きです。
「場合の数」の問題の1パターンとして、約数の個数に関する問題があります。

例題
400の正の約数の個数を求めなさい。

約数というのは、その整数を割り切ることのできる整数のことです。
この問題は、「倍数・約数」の学習を終えれば小学生でも解けますね。
400でしたら、全部書いていってもそんなに手間のかかることではありません。

しかし、約数の勉強を初めて行う小学生がよくやってしまうのが、小さい約数から順に書いていって、だんだんわからなくなって大きい約数を書きもらしてしまうこと。
大きいほうの約数は、かなりとびとびに出てくるので、考えていくのがだんだん面倒になって、もれてしまいます。

でも、これには解決策があります。
400÷2=200
を見つけたら、商である200も、400の約数です。
だから、割る数と商とをセットで見つけていきます。
すなわち、
1と400
2と200
4と100
5と80
8と50
10と40
16と25
20と20  あ、ここでつながった。
だから、正の約数は、全部で15個です。
こうすれば、書きもらしがありません。

これを答案として書いていくときは、小さいもの順になるように、両端からそれぞれのセットを書いていけば良いのですが、書いていく段階では、約数の個数が何個あるのかわからないので、解答欄の思い切り両端から書いていき、結局、真ん中に空白が出来たりします。
まあ、それは仕方ないですよね。
正解するためには、こうしたほうが、小さいものから順番に見つけていくよりも速く正確です。
でも、小学生の中には、そういうことが気になって不機嫌になる子もいます。
「あーあ、こんなに空いた!」
と腹を立てて、ぐしゃぐしゃと消して、また1から書き直したりします。
そして、結局、書きもらしてしまいます。
( ;∀;)

重要なことは何であるか。
優先事項は何か。
そういう判断が少しだけズレてしまうのでしょう。
答案に隙間が出来るのがどうしても嫌なら、まずメモをとって、それを解答欄に書き写せば良いのですが、それはそれで面倒だから嫌だと拒絶します。
結果、約数を全て書きだしていく基本問題ですら正答できるかどうかわからない、薄氷を踏むようなことになる子がいます。

きれいな答案を書くことが最優先な子は、もう仕方ないので、小さい順に約数を書いていくけれど、いつでも商を意識して、
400÷20=20
と、約数と商が一致、あるいはその間に他の約数はないと確認したら、その先は、これまで出た約数で割った商を順番に書いていくように指導します。
すなわち、
1,2,4,5,8,10,16,20まで来たら、
次は、16で割った商の25。
次は、10で割った商の40。
次は、8で割った商の50。
というふうに逆流するように考えて書いていけば、もれなく書いていけるでしょう。
同じ計算を2回することにはなりますが、折衷案として有効です。


とはいえ、どんなやり方でも、400の約数16は、書きもらしやすいものです。
25のほうが思いつきやすいので、16をとばしてしまった自分の答案を見直して、
あれ?25がないのは何でだ?
あ、400÷25=16かー。
16があったー。
と気がついて修正できれば上出来です。

人間のやることにはどうしてもミスがつきまといます。
「場合の数」を求める場合、「全て書きだしていく」のは万策尽きたときに行うことで、計算できるものなら計算で求めたいです。
では、約数の個数は、どうやったら計算で求められるのか。

今まで、小学生のようにわり算で書いてきましたが、
400=1×400
400=2×200
と、かけ算の形にしてみると、約数というのは因数なのだと気づきます。
ならば、素因数分解をしてみれば、何かわかるのではないか?
というわけで、400を素因数分解してみると、
400=24×52
(ネットで指数を表記することができないので、全角の数字の後ろに書いた半角の数字は指数だと思ってください)

これらの素因数を使ったり使わなかったりする組み合わせで、全ての約数は表されるのではないか?
上の板書の表がそれです。
2や5を1回も使わない場合、それは「1」とします。
実は、2の0乗や5の0乗が1なのですが、それは、「指数関数」の学習をする際に、また詳しく勉強しましょう。
2や5を1回も使わない場合が、1×1=1。
2を1回、5は0回使うのなら、2×1=2
2を2回、5は0回使うのなら、4×1=4
このようにして、上の表の縦横をかけたものとして、400の約数が全て表されます。
ということは、表のマス目の数だけ約数があるということ。
縦は、5の0乗、5の1乗、5の2乗の3列。
横は、2の0乗、2の1乗、2の2乗、2の3乗、2の4乗の5行。
したがって、3×5=15(個) の約数があることがわかります。
すなわち、素因数分解したときの各素因数の指数に+1をしたもの同士をかけたら良いのですね。
5は2乗なので、2+1の3。
2は4乗なので、4+1の5。
その3と5をかけます。
+1をするのは、0乗の分があるからです。
こうやって計算で求めたら、数えもらしの心配がありません。
ヽ(^o^)丿


さて、次回の数学教室のお知らせです。
今回の授業の最後に学習した、「順列」の復習の後、その先へと進んでいきます。
◎日時  10月31日(土)10:00~11:30
◎内容  数A「場合の数と確率」を続けます。p13「階乗」から。
◎場所  セギ英数教室
       三鷹市下連雀3-33-13
         三鷹第二ビル 305
       春の湯さんの斜め前のビルです。
◎用具   ノート・筆記用具
◎参加費 2,000円
       当日集めさせていただきます。
◎予約  メールにて、ご予約をお願いいたします。
       左の「お問合せ」ボタンからご連絡ください。
       既にご参加いただいている方は、
       ご出席確認メールへの返信の形でご連絡くださりますと助かります。
       携帯メールアドレスをご存じの方は、そちらにご連絡ください。     


















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