たまりば

  地域と私・始めの一歩塾 地域と私・始めの一歩塾  三鷹市 三鷹市

2015年05月28日

循環小数を分数に直す。


循環小数を分数に直す問題というのがあります。

循環小数とは、0.33333・・・・・のように、規則的に無限に続いていく小数です。
1.357357357・・・・・・などもそうです。
これらは、分数に直すことができるので、有理数です。
無理数ではありません。
では、どのように分数に直すのか。

例えば、0.333・・・・の場合。
まず、x =0.3333・・・・・とおきます。
両辺を10倍すると、
10x =3.3333・・・・・となります。
下の式から上の式を引くと、
9x =3 となります。
無限に続いていく小数点以下は、10倍してひと桁ずつズレても無限に続いていくのですから等しいです。
だから、小数点以下は引くと0になり、整数部分の3だけが残ります。
9x =3
x =3/9=1/3
よって、
0.333・・・・=1/3
循環小数を分数で表すことができました。

きちんと解き方を説明しなければならない問題ならば上のように解きますが、解答欄に答えを書くだけで良い問題ならば、もっと楽に解くことができます。
0.3=3/10
0.333・・・は、3/10の分母から1を引いて、3/9=1/3。

0.575757・・・・・ならば、
0.57=57/100
0.575757・・・は、57/100の分母から1を引いて、57/99=19/33

分母から1を引くのは、上の考え方を利用しているので、解き方としては同じです。

1.357357・・・・となると、少し複雑になります。
x=1.357357・・・・・とおくと、
1000x=1357.357357・・・・・
よって、
999x=1356
x=1356/999=452/333

これも、
1.357357・・・・・=1と357/999
と、帯分数にしてから仮分数に直せば解けるのですが、こうなってくるとむしろこちらのほうが煩わしい解き方になってきます。


このタイプの問題、解き方はわかっているのに約分を忘れて失点ということが起こりやすいのも気をつけたいところです。
例えば、上の1356/999は、3で約分できるのですが、1356を暗算で3で割ろうとし、暗算ミスで「割り切れない」と判断して、そのまま答えてしまうミスは多いです。
3で割れるか、または9で割れるかは、実際に割らずに判断する方法があります。

各位の数の和が3で割れれば、その数は3で割れます。
1356の場合、1+3+5+6=15
15は3で割れますから、1356も3で割れます。

同様に、各位の数の和が9で割れれば、その数は9で割れます。

では、なぜ、そうなるのか。
例えば、4桁のある整数の千の位の数をa、百の位の数をb、十の位の数をc、一の位の数をdとおきます。
4桁の数は、1000a+100b+10c+dと表せます。
1000a+100b+10c+d
=3(333a+33b+3c)+(a+b+c+d)
333a+33b+3cは整数なので、3(333a+33b+3c)は3の倍数となり、3で割り切れます。
よって、a+b+c+dが3で割り切れれば、その4桁の数は、3で割り切れます。

9で割り切れるかどうかも、証明は同様に行うことができます。
上の式の変形がよくわからないという人がときどきいますが、逆に下の式の( )を開いてみれば、上の式に戻りますので、試してみてください。

さて、このように証明できることなのですが、それでも使わない子がいます。
「そんなの嫌だ。私は絶対、自分で割ってみる!」
と頑固に言い張ります。
そして、計算ミスから約分ミスを起こします。
問題を解くときにその性質を忘れているのは仕方ないのですが、知っていても使わない子がいるのです。
何か騙されている気がするのでしょうか。
証明を理解しきれず、何か数字と文字がみっちみちに溢れていてうざい、理解したくない、となってしまい、理解できないものは使わないという判断なのかもしれません。

そこを我慢して冷静に判断すると、数学が得意になっていく気がします。
数学が好きな子の反応は、
「わあ、面白い。便利だね。絶対使う」
であることが多いです。
自分の計算の精度を補完してくれる便利なツールですから。




  • 同じカテゴリー(算数・数学)の記事画像
    2次方程式の解と係数。
    2次関数。放物線と直線の交点。
    判別式とは何か。
    2次方程式と判別式。
    2次関数の最大・最小。
    3元1次方程式と計算力。
    同じカテゴリー(算数・数学)の記事
     2次方程式の解と係数。 (2017-09-22 11:01)
     2次関数。放物線と直線の交点。 (2017-09-13 13:22)
     判別式とは何か。 (2017-09-01 14:13)
     2次方程式と判別式。 (2017-08-18 12:24)
     2次関数の最大・最小。 (2017-08-02 22:34)
     3元1次方程式と計算力。 (2017-07-20 14:38)

    ※このブログではブログの持ち主が承認した後、コメントが反映される設定です。
    上の画像に書かれている文字を入力して下さい
     
    <ご注意>
    書き込まれた内容は公開され、ブログの持ち主だけが削除できます。

    削除
    循環小数を分数に直す。
      コメント(0)