たまりば

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2015年03月08日

3月28日(土)、大人のための数学教室を開きます。


3月7日(土)、大人のための数学教室を開きました。
出席は、3名様。
今回も、「三角比」の学習の続きです。
今回は、三角比と関数についての問題を解きました。
例えば、こんな問題です。

0°≦x≦180°のとき、 y=2sin2乗x-2cosx-1 の最大値と最小値を求めよ。

小学生や中学生は、文章題を見ると、
「6行も書いてある。こんなの解けるわけない」
と、問題文の長さだけで解くのを諦めたりします。
何行あるか数えている暇に、まず問題文を読めー。
(^-^;

しかし、本当に怖いのは、高校の数学の、こういう1行だけの問題です。
6行も問題が書いてあれば、どこかにヒントがありますが、こんなふうに1行で終わられたら、何もとっかかりがありません。
何をどうしたらいいのかわからない、という事態に至ります。
問題が何を言っているのか、わからない。
教わったときだけは何とか解き方を暗記しても、2か月も経つと、この1行を見つめたまま固まることになります。
そんな高校生は、多いです。
高校数学に白紙答案がありうるのは、そういう理由です。
わざと解かないわけではない。
本当に、何もわからないんです。


さて、昨日の大人のための教室。
「これは、関数ですね」
と説明を始めた早々に、
「私、関数と方程式って何が違うのか、やっぱりわからなくなるんですよ」
とご質問があり、関数と方程式の違いに遡っての説明から授業開始。

そもそも関数と方程式は何が違うのか。という話にいつでも遡ることができるのが、大人のための教室の良さだなと思います。
小学生や中学生にも、こういう「そもそも」という形の質問をする子はいるのですが、残念なことに、質問するのは好きでも、長い説明を聞く耐性はない場合が多いのです。
「そもそも」の質問をしたら、答えもかなりのボリュームになります。
大元のことを訊けばそれだけ、説明は観念的にもなります。
それに耐えられず、1分も経たないうちにノートに落書きを始めてしまう小学生・中学生は多いです。
自分が質問したのなら、責任をもって話を聞きなさいー。
( ;∀;)
大人の方は興味をもって聴いてくださるので、有難いです。

もちろん、説明の仕方というのもあると思うんです。
難しいことを易しくわかりやすく説明できるということが、頭が良いということなのだ。
そういうことをどこかで書いていたのは、井上ひさしさんだったかなあ。
本当にそうですよね。
でも、難しいことは、難しくしか語れない場合もあります。
何でも「わかりやすくしろ」「わかりやすくしろ」と要求するのは受け手の甘えであるとどこかで書いていたのは、筒井康隆さんだったかなあ。
その2つの考えの間で、それでも、できる限りわかりやすく、と思う日々です。

さて、これが関数であるというところはご納得いただいて。
では、この問題をどう解くのか。
「最大値・最小値」という言葉は、2次関数を勉強したときによく出てきたなと思いだすことができると、何とかそこから解いていくことができると思います。
これも、多分、2次関数なんだろう。
だったら、もっと解きやすい見た目になっていたらいいのになあ。
何か別の文字に置き換えられたら、いいのになあ。
でも、cosとsinと両方出ているから、1つの文字に直すのは無理なのかなあ。

そこで、例の公式が登場します。
sin2乗θ+cos2乗θ=1
よって、sin2乗=1-cos2乗θ
これを代入すれば、とりあえず、cosだけの式に直すことができます。

すなわち、
y=2sin2乗x-2cosx-1
 =2(1-cos2乗x)-2cosx-1

ああ、これなら、yは、cosx についての2次関数だあ。
しかし、このままではわかりにくいので、
cosx=t とおくと、
y=2(1-t2乗)-2t-1
 =2-2t2乗-2t-1
 =-2t2乗-2t+1
これの最大値と最小値を求めたらいいんだー。
ヽ(^。^)ノ

しかし、その先もそう簡単にはいきません。
それは、現役高校生たちも同じ。
「三角比」の学習に入る頃には、「2次関数」で学んだことの大半は忘れてしまっているのです。
2次関数の最大値と最小値の求め方?
何をどうするんだっけ?

2次関数のグラフは放物線です。
まずは定義域を無視して考えるのなら、頂点の y 座標が最小値か最大値になります。
下に凸の放物線ならば、頂点の y 座標が最小値。
上に凸の放物線ならば、頂点の y 座標が最大値。

頂点の座標を求めるためには、平方完成をします。
平方完成のやり方、覚えていますかー?
高校生が相手ですと、ここでまたドタバタ。
平方完成という言葉すら忘れていたりします。

y=-2t2乗-2t+1
 =-2(t2乗+t)+1
 =-2(t+1/2)2乗+1/2+1
 =-2(t+1/2)2乗+3/2

すなわち、頂点の座標は、(-1/2 , 3/2) となりますから、
t=-1/2のとき、最大値3/2となります。

ところで、これは、定義域にある数なのか?
この確認は大切です。
t の定義域って?
cosx=t としたのですから、その定義域を考えればよいわけです。
問題の最初に書いてある通り、0°≦x≦180°なので、
cosxの変域は、-1≦cosx≦1。
すなわち、-1≦t≦1。

高校生は、ここでさらにドタバタ。
cosの変域ということが、どうにもこうにも理解できない。
そこで、単位円を描いて、もう一度、コサインの定義から説明し直しとなる場合が多いです。

さて、コサインの変域が理解できたとして。
定義域は、-1≦t≦1。
おお、-1/2は、定義域内に入っていますね。
これで、最大値は確定です。

ところで、最大値を答えるときはいつもそうですが、xが何の値のときにyが最大値になるのかも答えなければなりません。
t=-1/2
すなわち、cosx=-1/2
頭の中で単位円を想像して。
それがまだ無理なら、実際に単位円を描いて。
cosx=-1/2
すなわち、x=120°

次に最小値を考えます。
放物線は、左右対称です。
今、放物線は上に凸。
頂点から離れるほどに、急激に y の値は小さくなっていきます。
tの変域の内部で、頂点の t の値-1/2から距離があるほうの端の値が、最小値となります。
-1と1。
-1/2から遠いのはどちらか?
もちろん、1ですね。
ですから、t=1のとき最小値です。
t=1を代入して、
y=-2t2乗-2t+1
=-2-2+1
 =-3
さて、t=1すなわち cosx=1のとき、
またまた、単位円をイメージして。
x=0°

したがって、
x=120°のとき最大値3/2
x=0°のとき最小値-3

これが最終解答となります。

わからないわけではない。
説明を聞けばわかる。
でもねえ、途中で詰まってしまうわねえ。
あれ、何のことだっけ?
今、何をやっていたんだっけ。
そうやって何度も詰まるわー。
そんな感想をいただきました。
でも、質問や意見が活発で、とても楽しい90分でした。
ヽ(^。^)ノ

さて、さ来週の土曜日は祝日ですので、次回の大人のための数学教室は3週間後となります。
以下、次回の、大人のための数学教室のご案内です。

◎日時  3月28日(土)10:00~11:30
◎内容  「三角比」の学習を続けます。
◎場所  セギ英数教室
       三鷹市下連雀3-33-13
         三鷹第二ビル 305
       春の湯さんの斜め前のビルです。
◎用具   ノート・筆記用具
◎参加費 2,000円
       当日集めさせていただきます。
◎予約  メールにて、ご予約をお願いいたします。
       左の「お問合せ」ボタンからご連絡ください。
       既にご参加いただいている方は、
       ご出席確認メールへの返信の形でご連絡くださるのが簡単です。
       携帯メールアドレスをご存じの方は、
       そちらにご連絡いただいてもかまいません。     











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