たまりば

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2015年01月26日

2月7日(土)、大人のための数学教室を開きます。


1月24日(土)、大人のための数学教室を開きました。
「三角比」の学習の続きです。
受講されている方には予告していたのですが、今回の授業で、「三角比」に大事件が起こりました。(^^)
「鈍角の三角比」に突入したのです。

「三角比」は、学習の最初では、直角三角形の辺の比として定義されます。
だから、思ったより簡単だ、と感じる子は、高校生でも多いです。
ところが、鈍角の三角比に入ると、意味がわからないという子が出てきます。

だって、直角三角形に鈍角なんかないのです。
「比」が負の数というのも訳がわかりません。
「直角三角形なのに」
と文句を言ったり、
「え?左側の直角三角形の辺の比のことなんでしょう?」
と、鈍角の左側に直角三角形を描くことにこだわり、裏返しの三角形を見ているうちに混乱して、せっかく覚えたサイン・コサインが逆になって訳がわからなくなる子もいます。

実は、鈍角の三角比に入る前に、三角比は座標平面上に単位円を用いて定義し直されているのです。
三角比は、直角三角形の辺の比ではなく、単位円上の点の座標。
サインは、y座標。
コサインは、x座標。
このように定義し直すことで、三角比は拡張されます。
これは、定義なので、「なぜ」とか「どうして」とかいうことではありません。
あえて言えば、そうすることで、その後の全ての辻褄が合うから、定義し直したのです。

わかりにくいのはここのところ。
ここさえクリアすれば大丈夫。
そう思っておりましたから、くどいくらいに力説し、ご理解を得たところで、よしこれなら大丈夫と思ったのですが、甘かったです。
問題を解く上での大問題発生。
皆さん、前回にやった公式を覚えていらっしゃらなかった。
( ;∀;)

sig2乗θ+cos2乗θ=1
tanθ=sigθ/cosθ
tan2乗θ=1/1+cos2乗θ

高校数学の自学自習が難しいのは、どんなに詳しい解説を読んでも、「謎の飛躍」「謎の変形」がなされていると感じるところが多々あるからではないでしょうか。
その「謎の飛躍」「謎の変形」は、たいてい公式を利用しているところです。
しかし、解説では、何の公式を使ったかは説明されていない場合がほとんどです。
公式を覚えていないと、問題集の解説を読んでもなんでそうなるのかさっぱりわからない、ということになってしまいます。

参加者の方の1人が、
「この公式は、本当に覚えていなければならない公式なのね」
とため息をついていらっしゃいました。

公式を使わなくても地道に計算すれば解ける問題もあります。
公式を使わなければ解けない問題もあります。
そういうことを感じてのため息だったのでしょう。


前にも書きましたが、公式が好きなのは男子が多いようです。
正確には、「男子に多い脳のタイプの人」と呼ぶべきなのかもしれません。
「男子は公式で解く。女子は計算で解く」
という見方があることは、前にも書きました。


10月の模試のときだったと思うのですが、中3の男子生徒が、
「模試に三平方の定理が出たのに、僕はまだ教えてもらっていなかったから、解けなかった」
と不平を言ったことがあります。
10月の模試に「三平方の定理」は出題されません。
カリキュラム的に、まだそんな時期ではないからです。
問題を見ると、予想通り、それは三平方の定理を使う必要はない問題でした。
使えば楽だったかというと、そうでもありません。
地道に解いても、手間は似たようなものでした。

その子は、予習の進んでいる友達が、
「あんな問題、三平方の定理を使えば簡単だ」
と言うのを聞いて、僕は習っていないから損をしたと思ったようです。
大人の言うことには疑問を抱くけれど、友達の言うことは根拠なく鵜呑みにする年頃。
何より、「僕の知らなかった定理」ということにショックを受けたのかもしれません。

裏ワザ的な定理や公式をどんどん教えれば、使いこなすことはできなくても安心し、それを教えてくれる人物を単純に尊敬する男子は多いです。
私も、昔は人気取りのためにそんなことをしたこともありました。
実際には成績が上がらなくても、授業内容には生徒が満足しているという形を作ることは、塾に雇われている身としては重要なことだったりします。
裏技のテクニックや高校レベルの公式を先取りすることで実際に成績が上がるのは、本当に数学の得意な子だけです。
他の子は、教わっても使いこなせません。
でも、教わったという満足感は得ることができます。
それが授業に対する満足感につながります。

しかし、今、私は、生徒全員の成績を上げたい。
だから、使えない公式を教えるよりも、地道に頭を鍛えることのほうが大事だと考えています。
でも、夏期講習で、「三平方の定理」のほんの基本だけでも教えておいてあげれば良かったかなあ。

一方、女子は、公式に対してアレルギーがあるのか、それを使わずに解きたいと考える子が結構います。
例えば、「2次方程式」の解の公式を教えると、それに対する拒絶反応が強い女子は多いです。
「こんな公式を覚えなくても解く方法はあるんでしょう?」
と訊いてきます。
「あるけど、それは、先週勉強しましたね。さっき答え合わせをした宿題で、あなたが全問間違えた平方完成を利用する方法になりますが、大丈夫ですか?」
「・・・・・大丈夫じゃないです」
「公式を覚えて単純に代入したほうが楽ですから、頑張りましょう」
「・・・・・頑張ります」

こうした説得で、どうにか解の公式を覚えて使ってもらうのですが、解の公式の2本目、xの係数が偶数の場合の公式となると、拒絶反応はさらに強くなります。

これを覚えて使えたほうが、計算が簡単になりますよ。
√ の中身が、2桁や3桁の掛け算になるようなことがなくなります。
√ の中を整理してから、全体を約分をするのを忘れてしまったというミスもなくなります。

そのように説明しても、本人たちは浮かない顔です。
1本の公式でも大変だったのに、似たような公式が2本。
しかも、1本目の公式で解けないわけじゃないんでしょう?

・・・・・・彼女たちの気持ちもわかるのです。

実際、2本の公式が混ざって、代入ミスをしてしまうことも多いのです。
計算が楽になるとはいえ、代入ミスしてしまうのでは元も子もありません。
市立中学の三年生なら、本人の数学の習熟度から判断して、2本目の公式は教えないことが多いのです。
2本目の公式は、高校1年生になってから覚えたらいい。
ですが、都立・私立の中高一貫校では、学校で教わっています。
無理だろうと感じても、やらないわけにいきません。

公式は使いこなせない。
計算力はない。
これでは、前門の虎、後門の狼。
この窮地から、なんとか脱出しなければ。

覚えるべき公式は覚え、計算力を強化し、少しずつ解決していかなければなりません。
一歩一歩です。


次回、大人のための数学教室のご案内です。
◎日時  2月7日(土)10:00~11:30
◎内容  「三角比」の学習を続けます。
◎場所  セギ英数教室
       三鷹市下連雀3-33-13
         三鷹第二ビル 305
       春の湯さんの斜め前のビルです。
◎用具   ノート・筆記用具
◎参加費 2,000円
       当日集めさせていただきます。
◎予約  メールにて、ご予約をお願いいたします。
       左の「お問合せ」ボタンからご連絡ください。
       既にご参加いただいている方は、
       ご出席確認メールへの返信の形でご連絡くださるのが簡単です。
       携帯メールアドレスをご存じの方は、
       そちらにご連絡いただいてもかまいません。 







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