たまりば

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2016年03月27日

中学生の学ぶ「場合の数」と公式。



「場合の数と確率」という単元は、小学校・中学校・高校と段階を踏んで学んでいく単元です。
小学校では、「ならべ方と組合せ方」として。
中学では、「場合の数と確率」として。
中学では、まだ順列や組合せの公式は学びません。

順列は、P(permutation)。
組み合わせは、C(combination)。
それぞれの公式は高校の学習内容です。

例題 A、B、C、Dの4人でリレーをする。走る順番は何通りあるか。

高校で学ぶPの公式を用いるならば、
4!=4×3×2×1=24
答えは24通り。
簡単ですね。

簡単なので、中学生の子どもの勉強を見る際にこれを教えてしまう保護者の方もいらっしゃると思うのですが、お子さんが完全に理解できるとは限りません。
この公式は、公立中学では教えないのです。
なぜ教えないのかといえば、教えても理解できない子が多いからだと思います。
私の実感としても、そうです。

4×3×2×1という式が「4」から始まるのが、どうも飲み込みにくいようです。
それまで小中学校で学んできたかけ算とは発想が逆だからでしょうか。
丸暗記してとにかく覚えても、問題に少しひねりが加わると公式をどう活用するかわからないことが多いです。

それよりも、普通の小中学生が理解できる解き方があります。
まずAから始まる樹形図を描いてみます。

規則的なのが明らかな樹形図をわざわざ描く?そんなバカな。
そう思われるかもしれません。
しかし、規則的なのかどうかすら、彼らはまだ判断できないんです。
Aから始まる樹形図を自力で描ける子はそれでもかなり数学の出来る子。
たいてい、大人が見たらびっくりするような、小汚くて間違った樹形図を描きます。
(^-^;
どのように枝が広がるかを予想して大きく余白をとって描いていくことができないので、線が交わりそうでグチャグチャです。
最後のほうは枝が上にも下にも広がって、タオル専用の洗濯ハンガーみたいになってしまう子もいます。
縦列を揃えることができず、終わりの位置がバラバラで、何が何だかわからなくなる子もいます。
描いた本人もその出来上がりの醜さにうんざりしてしまいます。

何でそんなことになるのか?
彼らは、出来上がりのイメージを持っていないのです。
頭の中に完成された樹形図のイメージがありません。
そして、頭の中に正しい樹形図のイメージがなかったら、Pの公式の意味は理解できません。
だから、正しいイメージが持てるまで、自分で樹形図を描いたり、模範解答の樹形図を見たりを繰り返すほうが「場合の数」に対する理解が深まります。

とにかく、Aで始まる樹形図をひとまとまり描いて、全部で6通りあることを数えて確かめる。
これは、Bから始まっても、Cから始まっても、Dから始まっても、同じ樹形図になるだろうと予想する。
だから、式は、6×4=24。
答えは24通り。
小中学校で学ぶ順列は、この解き方で良いのです。
この解き方なら、ほとんどの生徒が理解できます。

そして、この過程をきちんと踏んだ子は、高校数学に進んだとき、順列の公式の意味も理解できます。
公式だからとにかく暗記しなければならないということではなく、意味を理解して使いこなすことができます。
中2のときには理解できなかった4×3×2×1を、高校生になれば理解します。
焦らなくても、それを学ぶにふさわしい年齢になれば、数学はそんなに難しくありません。

中2の場合、かなり学力の高い子でも、6×4の式のほうが理解しやすいようです。
数学の成績が「4」の子の大半はそうだという認識が私にはあります。
意味のわからない公式を無理に使って、足場を失うより、年齢に相応しい学び方があると思います。

その一方、4×3×2×1の式の意味が理解できる子は小学生にもいます。
私立中学を受験するなら、理解できたほうが話が速いし解くのも速いので、受験生には教えます。
また、公立中学の生徒で、大学付属の私立高校または都立自校作成校を受験する子には、教えます。
実際に順列の問題が入試に出るかどうかというよりも、脳のキャパを拡張させたい。
抽象思考が出来るようにしたい。
そういう意味あいもあります。
ただ、これも、理解できないのなら仕方ないので、深追いしなくて良いと思います。
地道な解き方のほうが理解できるのなら、それで良いと思うんです。

本人が理解できたのなら、発展的な公式や定理は、学校の数学の問題を解くときにも普通に使っていいのです。
学校の先生は、生徒全員が理解するのは難しいから教えないだけで、先生本人がその解き方を知らないわけではありません。
「自分が教えた解き方以外は認めない」なんて態度は、およそ数学的ではありません。
教えた解き方以外をバツにする先生はまずいません。
発展的な解き方をしてある答案を見たら、にやっと笑い、「勉強してるな」とつぶやいて丸をつけるのが普通です。

しかし、私のこういう話を聞いて頷く子は、数学が得意な子に限られているようにも感じます。
数学が得意なので、学校の数学の先生と良好な関係を保ち、信用することができるのでしょうか。
数学が苦手な子は、数学の先生のことも信用しないのかもしれません。
嫌な思いをしたことがあるのでしょう。
「いや、うちの数学の先生はダメ」
と言い、その先生の解き方以外はバツになると思い込んでいる子もいます。
あなたの答案が以前に減点されたのは、学校の先生の教えた解き方と違っていたからではないでしょう。
数学的にアウトな答案を書いたのに、どこがアウトでなぜ減点されたのかわかっていないのでは?
そう説明するのですが、なかなかそういう観点からものを見るようにはなれないみたいです。
まだ中学生ですもんね。

ただ、私立の一貫校の場合、減点の基準が正直私にも理解できないということもたまにあります。
卒業生の答案の書き方について、初等科の先生は中等部の先生から苦情を言われ、中等部の先生は高等部の先生から苦情を言われて、自粛し過ぎておかしなことになっているかな?
そう思うこともないわけではありません。
好きで通っている私立ですから、その辺は諦めるしかないかもしれません。


ところで、私立・都立中学の生徒は「体系数学」で学んでいることが多いです。
文科省認定外の特殊な教科書です。
PやCの公式は、「体系数学代数2」でもう出てきます。
中2または中3で学ぶことになります。
学校で教わるので、どうしても理解してもらわなければなりません。
私立・都立中学に通う子が数学が得意とは限らないので、これはなかなか大変です。
数学を嫌いになるために勉強しているような地獄巡りの様相を呈することもあります。
高等部からは「体系数学」ではなく普通の高校数学のカリキュラムに移行する学校だと心底ほっとします。
高校生がその学年に相応しい高校数学の教科書で学んでいる限り、数学は難しくない。
必ずわかるようになります。





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