たまりば

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2014年09月11日

ニュートン算と連立方程式



連立方程式の利用、すなわち文章題は、文字を2つ使えるので、1次方程式や2次方程式よりも解きやすいと感じる子のほうが多いです。
室際、1次方程式でかなり苦戦した子も、「個数に関する問題」、「速さに関する問題」、「売買の問題」、「食塩水の問題」などの典型題に関しては、連立方程式の文章題は、ある程度解けるようになることが多いです。
ただし、レベルが上がると、やはり難しいのが文章題。
特に難しいのが、増減に関する問題かもしれません。
たとえば、こんな問題です。
ある牧場では、80頭の牛を放すと21週間で草を食べつくし、93頭の牛を放すと18週間で食べつくす。
1週間で生える草の量は一定とし、またどの牛も1週間で食べる草の量は同じであるとする。
この牧場で、100頭の牛を10週間放したのち、さらに何頭の牛を加えて放牧したら、2週間で草を食べつくすか。

受験算数を知っていらっしゃる方は、よくご存じ。
これはニュートン算と呼ばれるものです。

なぜ、ニュートン算と呼ぶのか。
このタイプの問題を、ニュートンが、「プリンピキア」という著作の中で発表したからです。
昔は、哲学も数学も物理学も、ごった煮的に、一人の人が研究していました。
今のように、科学が細分化・専門家されていなかった時代は、一人の天才が多くの分野で発言していたんですね。

ニュートンは、「こういう問題は、算数では解けないだろう。数学の方程式だから解けるのだ」ということを示す例としてこの問題を作ったらしいです。
しかし、その問題を算数で解いてしまうのが受験算数です。
線分図を描き、比を利用して解きます。
もっとも、ニュートン算は、受験算数の特殊算の中でも、なかなか理解できないものの1つで、これを解ける子は受験生の中でも限られてくるのですが。


私自身も、中学受験をしたのですが、このニュートン算の印象は鮮烈でした。
牛がバクバク草を食べる。
しかし、それにも負けずに、ワッサワサと生え続ける牧草がある。
どう考えても、草の生え方が尋常じゃない。
こんなの嘘じゃないの、と思っていました。

大人になって、私は山歩きをするようになりました。
あるとき、山小屋で相部屋になった方から、面白い話をうかがいました。
その方は、アルプスのトレッキング・ツアーに参加したのです。
憧れのマッターホルンを眺めながらの、楽しいヨーロッパ・アルプスのトレッキング。
その旅の思い出に、足元に生えていたクローバーをこっそり摘んで、土ごと、カメラのフィルム・ケースにしのばせたそうです。
空港の荷物検査でも、その程度のことなら引っかかるはずもなく、その人は、アルプスのクローバーを日本に持ち帰り、自分の庭に植えました。
芝生の隅にそっと。

ひと月もたたないうちに、クローバーは、庭の芝生を駆逐し、庭を埋め尽くして大繁殖したそうです。
外来種の中には、日本の在来種にはない繁殖力をもつものがいます。
そのクローバーもそういうものだったのでしょう。
あまりのことに蒼白になり、その人は、クローバーをすべてむしり取り、燃やしたそうです。
ヨーロッパのクローバー、恐るべし。

私は、ニュートン算の中で生え続ける牧草を、この話で実感しました。
牛が食べても食べても、ワッサワッサ生え続ける牧草は、ニュートンの目の前に実在したのでしょう。


さて、イメージを抱くことができれば、ニュートン算も、あとは式を立てるだけ。
1週間に生える草の量をxとする。
1週間に1頭の牛が食べる草の量をyとする。
あとは、何を表す式を立てるか、です。

文章題の立式が苦手な子は、方程式が何かの数量を表すものであるという発想がありません。
何か足したり引いたりした変な式を立てているので、
「この方程式は、何の量を表しているの?」
と私が質問すると、きょとんとします。
このセンセイ、何か変なことを訊いてくるけど、何だ?みたいな顔です。
「方程式は、文章の中の何かの数量を表しているんだよ」
と説明しても、まだきょとんとしています。
「え。何か同じ関係を表せばいいんじゃないの?」
「だからね、『等しい関係』というときのその等しさは、何の数量だから等しいんだろう?」

この話が通じるかどうかは、ニュートン算に限らず、方程式の文章題を解けるかどうかの分かれ目です。

牧場には、もともと生えている草がある。
もともと生えている草の量は、どの場合も等しい。
さらに、新たに毎日生え続ける草がある。
そして、生えた草の総量は、見方を変えれば、牛が食べつくした草の総量である。
そうしたことを把握していることが、ニュートン算を解く場合に欠かせません。

それは、小学生が線分図で解いても同じです。
線分図の仕組みが良くわかっていず、見よう見まねで描いているだけの子は、ニュートン算の線分図は描けない場合が多いです。
しかも、多くの場合、正しい線分図を教えた後でも、それを活用できません。
線分図の差を見るという発想がありません。
実数はわからないままでも、□が○のいくつに当たるかを見ていくという比の発想もありません。
幾重にも課題が重なっているのがニュートン算です。

中学の定期テストにニュートン算が出るかといったら、まあほとんど出ないんです。
かなり学力の高い私立中学で、出るかどうか。
公立中学の場合、「普通の秀才」と「超秀才」とを識別するために、最後に正答させるつもりのない難問として1題出す主義の先生もいます。
そうした場合、配点は低いことが多いです。

それでも、発展的なテキストには必ず載っています。
私も、ある程度の学力のある子には宿題に出して、解かせてみます。
完全にマスターすることは求めていません。
むしろ、本人がどこまで善戦するのかを見ています。
正解は出ないかもしれません。
でも、どの程度まで正解に肉薄できるのか。

「わかりませんでしたー。教えてくださーい」
と、あっさりギブアップする子は、まあ、それでいいのですが、今後の伸びには限りがあるかもしれません。
間違った式であっても、ある程度の関係を把握して立式している場合、現在の成績がどうであれ、これは伸びる可能性がある、これは伸ばさなければならないと、こちらも背筋が伸びるんです。



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