たまりば

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2014年03月11日

3月22日(土)大人のための数学教室を開きます。


3月8日(土)、大人のための数学教室を開きました。
今回、ご参加は1名さま。
内容は「命題と証明」です。

まずは、十分条件と必要条件の学習から。
「pならばqである」という命題が真であるとき、pをqであるための十分条件、qをpであるための必要条件という。

それだけのことなのですが、実際に問題を解いてみると、高校生の多くは間違いまくり、何だか全然わからないと愚痴を言います。
1つには、まず、「十分条件」「必要条件」という言葉が似ていて覚えにくいこと。
どっちがどっちでも、同じような意味に感じるのでしょう。

例えば、「犬ならば動物である」という命題。
「犬であること」は、「動物である」ための十分条件。
「動物であること」は、「犬である」ための必要条件。

でも、
「え?逆じゃね?逆のほうが正しいっぽくね?」
そんな疑念が生じて、ごちゃごちゃになってしまう子が多いです。

私の記憶違いでなければ、私の頃の教育課程では、これは中学生のときに学習しました。
そのときの先生の解説が明解で、今でもよく覚えています。
使われた命題も、この「犬ならば動物である」でした。

集合で考えるならば、犬の集合は、動物の集合の部分集合です。
ベン図で言えば、動物の集合の輪の中に犬の集合がすっぽり入っています。

例えば、目の前にポチという名の生き物がいたとして、その生き物が犬であるならば、その生き物が動物であることは、言うまでもないことです。
「犬である」という条件を満たせば、「動物である」ということは十分に満たす。
「犬である」ことは、「動物である」ための十分条件。

一方、「動物である」ことは「犬である」ための必要条件。
こちらのほうが、ちょっとわかりにくいのかもしれません。
これは否定して考えるとわかります。

もし、目の前のポチが動物ではないのなら。
ポチが動物でないのなら、犬であるはずがない。
動物であることは、犬であるために必要なこと。
だから、「動物であること」は、「犬である」ための必要条件。


とはいえ、この解説、聞いたときは、「ほおなるほど」と思うものの、またすぐ忘れてしまうらしいです。
そうして、また混乱し、わからないわからないと言い出す高校生が多いです。
なので、もういいから、50音順で「十分条件」のほうが「必要条件」のほうより先に出てくるから、pのほうが「十分条件」とこじつけて覚えなさいと言っています。
(^_^;)

一応理解しても、またわからなくなる高校生が多いのは、「十分条件」「必要条件」の定義と、実際の問題との構造が違うせいもあるかもしれません。
「pならばqである」という命題が真であるとき、pをqであるための十分条件、qをpであるための必要条件という。
このように、定義ではpとqを逆にして説明しますが、実際の問題では、pとqの配置は固定されています。
それで、わからなくなる子も多いです。

例題
以下の空欄に「十分」「必要」「必要十分」のいずれかの語句を補充せよ。

xy≧0は、x≧0 , y≧0であるための(  )条件である。


「xy≧0ならば、x≧0 , y≧0である」という命題の真偽をまず考えます。
これは、偽です。(反例 x=-1 , y=-1)
なので、xy≧0は、x≧0 , y=0であるためのの十分条件ではありません。
次に、逆を考えます。
「x≧0 , y≧0ならば、xy≧0である」
これは、真です。
なので、xy≧0は、x≧0 , y≧0であるための必要条件です。
よって、例題の空所を埋める語句は「必要」となります。

え、え、え?
今のどういうこと?
という声が聞こえてきそうです。(^_^;)
これ、地図を読むような感覚なのかもしれないなあと思います。
方向感覚が狂いやすい人は、この逆転が理解しづらいかもしれません。
でも、これは慣れることで習得できます。
慣れてしまえば、単純作業です。

さて、その次の「背理法」も、何なく終了し、次回からは、新しい単元です。
いよいよ、「2次関数」の学習が始まりますよー。

◎期日  3月22日(土)午前10時〜11時30分
      内容は高校数Ⅰ「2次関数」です。

◎場所  セギ英数教室
       三鷹市下連雀3-33-13
         三鷹第二ビル 305
       春の湯さんの斜め前のビルです。
◎用具   ノート・筆記用具
◎参加費 2,000円
       当日集めさせていただきます。
◎予約  左の「お問合せ」ボタンをクリックしてください。
       メール画面が表れます。
     メールにて、ご予約をお願いいたします。







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