たまりば

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2014年02月23日

3月8日(土)、大人のための数学教室を開きます。



2月22日(土)、大人のための数学教室を開きました。
今回は、「集合」の学習を行いました。
「集合」は、私が子どもの頃は、中学1年生で学ぶ内容でしたが、今では、高校1年生で学ぶ内容になっています。
用語も時代によって改められてきました。
A∪Bの、「∪」という記号。
私が子どものときは、「むすび」と読みました。
「むすび」の「む」の字の形が、∪の文字と似ているので、それで覚えましょうと、「中1コース」の付録に載っていたのを覚えています。

「中1コース」を知らない方のために説明すると、当時存在した、学年別の月刊学習雑誌です。
年間予約すると、万年筆を含む豪華7大プレゼントがもらえましたっけ。
万年筆が、豪華プレゼントだったんですねえ。
他のプレゼントを記憶していないので、確かにインパクトがあったのでしょう。
結構長持ちして、高校生くらいまで使っていました。
そう言えば、親戚からの中学合格のお祝いも万年筆でした。
こちらは、有名メーカーの品でした。
もったいないので、あまり使わなかったです。
使わなくて、それからどうなったかというと、記憶がない。
物の使い方としてよろしくないですね。
良い物は、使わないと。
(*^_^*)

万年筆。
今では一周まわって新しいのか、安くてカラフルなものが文房具店に売っています。
生徒は、私が万年筆を使っていると、さわりたがるのですが、先がとがっていて危険なのと、インクが飛び散り易いので、現在は使用していません。
子どもは、小テストなどをいったん提出しても、私が丸つけをしようとすると、書き間違いや書き残しに気がついて、「あっ」と手を出してくるので、とがっているものは、危険なんです。
生徒のノートに赤ペンで私が丸つけするときは、「これからペンが行きますよ」ということが生徒に伝わるように、私の小指が先行する形でゆっくりペンを動かします。
子どもの動きは予測不可能。
これは、小学生だけでなく、中学生でもです。

さて、どんどん話がそれましたが、「集合」の話に戻しますと。
「むすび」という用語は、現在は学びません。
「A∪B」は、「AカップB」と読むか、あるいは「AまたはB」と読みます。
「カップ」と気取って読むと格好いいのですが、意味が伝わってこないので、結局、「∪」と「∩」の区別がつかなくなって混乱する子がいます。
カップは、マグカップ、大きくてなみなみとたくさん入っているほうだよー、と印象づけて覚えれば何とかなるでしょう。

「A∩B」は、「AキャップB」あるいは「AかつB」と読みます。
昔、これは「まじわり」で、「交」という漢字の下の部分と同じ形、というイメージで覚えました。
今は、キャップは「鉛筆などに使うキャップ。狭いほう」というイメージで覚えます。

集合の基本を学んだ後に学ぶのが、ド・モルガンの法則。
オーガスタス・ド・モルガン。
19世紀のイギリスの数学者です。
ネットで、 ̄(オーバーライン)を文字の上に描く方法がわからないので、かなり伝わりにくい話になりそうですが、できるだけ言葉で説明すれば、

A∪Bの補集合、つまり「AまたはB」の否定は、
Aの補集合とBの補集合の共通集合、つまり「AでなくかつBでない」と等しい。

A∩Bの補集合、つまり「AかつB」の否定は、
Aの補集合とBの補集合の和集合、つまり「AでないかまたはBでない」と等しい。

わかりにくいので、言葉で説明すれば、
Aは「イケメンである」人の集合。
Bは「金持ちである」人の集合。
とするならば、
「イケメンであるかまたは金持ちである、ということはない」という内容と、
「イケメンでもないし金持ちでもない」という内容は、等しい。

「イケメンでありかつ金持ちである、ということはない」という内容は、
「イケメンではないか、または金持ちではない」という内容に等しい。

うん、それはそうだろうな。

個数の少ない簡単な集合なら、ド・モルガンの法則なんか使わなくても、そのままで問題ないのですが、個数の多い集合の、その個数を求める問題になると、この法則を使わないと混乱が起こります。

たとえば、こんな問題。

U={x|xは100以下の自然数}を全体集合とする。その部分集合を、
A={x|xは2の倍数} , B={x|xは3の倍数},
とするとき、「Aの補集合またはBの補集合」の個数を求めよ。

これ、ド・モルガンの法則を使えば、簡単です。
まず、A∩Bの個数を求めます。
これは、100以下の自然数のうちの6の倍数の個数に等しいです。
100÷6=16あまり4
つまりn(A∩B)=16
したがって、それの補集合の個数ですから、
100-16=84
答えは、84個です。

これを、そのまま求めようとすると、
まず、Aの補集合の個数を求めます。
n(A)=100÷2=50。
100-50=50。
次に、Bの補集合の個数を求めます。
100÷3=33あまり1
100-33=67
しかし、それぞれの個数を単純に足しても答えになりません。
共通部分の個数を二重に計算していますから、それを引かないと。
Aの補集合であり、かつBの補集合である自然数の個数とは?
2の倍数ではなく、かつ3の倍数でもない自然数?
ええーと、ええーと。
まず、周期6の周期算で考えて。
1から6までにそういう数は、1と5の2個ある。
1から100までは何周期かというと、
100÷6=16あまり4 で、16周期。
16周期の中に2個ずつだから、2×16=32
あまり4の中にも、そういう数が1個ある。
だから、32+1=33。
2の倍数ではなく、かつ3の倍数でもない自然数は、33個。
よって、答えは、50+67-33=84。
84個。
わあ、やっと出たー。

そんなわけで、ド・モルガン万歳なのですが、法則とか公式にアレルギーの強い高校生は、何を教わっても利用しようとせず、この手の問題を間違いまくるのです。
法則・公式は使いましょう。


さて、次回の大人のための数学教室は、「命題と証明」、「反例」の復習から行います。


◎期日  3月8日(土)午前10時〜11時30分
      内容は高校数Ⅰ「命題と証明」の続きです。

◎場所  セギ英数教室
       三鷹市下連雀3-33-13
         三鷹第二ビル 305
       春の湯さんの斜め前のビルです。
◎用具   ノート・筆記用具
◎参加費 2,000円
       当日集めさせていただきます。
◎予約  左の「お問合せ」ボタンをクリックしてください。
       メール画面が表れます。
     メールにて、ご予約をお願いいたします。









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