2018年06月22日
道順と確率。これは難問です。
問題 上の図の地点Ａを出発した人が最短の道順を通って地点Ｂへ向かう。このとき、途中で地点Ｐを通る確率を求めよ。
なあんだ。ヽ(^。^)ノ
道順の問題なんて、簡単、簡単。
まず、全体の場合の数を求めましょう。
Ａから、縦方向の動きを３回、横方向の動きを４回行えば、Ｂに到達します。
これは、縦・縦・縦・横・横・横・横の順列ということ。
すなわち、同じものを含む順列なので、公式を利用して、
７！/３！４！＝３５
そのうち、Ｐ地点を通る場合の数は、ＡからＰまで到達すれば、あとの道順は横横の１通りしかないから、ＡからＰまで、縦・縦・縦・横・横の順列ということ。
５！/３！２！＝１０
よって、確率は、１０/３５＝２/７
できたー。ヽ(^。^)ノ
しかし、これは、間違いなのです。
ええっ？ですよね。
(*_*)
(*_*)
道順の場合の数の問題や、同じものを含む順列などをしっかり勉強している人ほど、この間違いに至る可能性があります。
恐ろしい。
この問題、道順によって確率が異なるのです。
え？どういうこと？
１つ１つの道順は、全て根元事象でしょう？
それぞれ、１/３５の確率でしょう？
・・・・まず、その固定観念を打破するために、これとは少し違う問題を考えてみましょう。
上と同じ図で、別の問題を考えてみます。
問題 コインを投げて、表が出たら縦に１区画、裏が出たら横に１区画進むとする。Ａから出発し、７回コインを投げてＢに到達する確率を求めよ。
縦縦縦縦横横横なのだから、７回で全部Ｂに到達するのかな？
・・・・いや、違いますね。
例えば、表・表・表と立て続けに縦縦縦と３回動いてしまったら、地点Ｃに到達してしまいます。
すると、その後、もう一度表が出た場合に、動けないのです。
４回目の表が出てしまったら、７回のコイントスではＢに到達できなくなります。
コインの表と裏の確率は１/２。
そこは平等なのに、７回で到達できる道順と到達できない道順があります。
・・・・つまり、この道順は、確率的に平等ではないのです。
確率的に平等とは、無機質に動いていくことが可能で、初めて平等です。
この先はその進路しか進めない、この先は一択しかない道順があるのでは平等ではありません。
Ｂに到達するために、実は判断し、調整しながら進むことになります。
もう縦に進めない。だから横に進む。
それは１つの判断です。
それでは確率的に平等ではありません。
そういうことだ。
(''_'')
それでもわかりにくければ、こんな説明はどうでしょう？
上の図は実際の道で、P地点には毒ヘビがいるとします。
P地点には行きたくない。
P地点は避けたい。
そういう気持ちでＡ地点を歩きだしたとき、C地点に行くでしょうか？
C地点まで行けば、避けようもなくP地点を通らなければなりません。
Cに行くということは、毒ヘビに遭遇する確率が上がります。
毒ヘビに遭遇する確率が低くなるよう、まず横へ横へと移動しないでしょうか？
毒ヘビに遭遇する確率とは、P地点を通る確率のことです。
どの道を通れば、毒ヘビに遭遇する確率が高いかは、すなわち、どの道を通ればP地点を通るかということ。
私たちは、実は実感として、どの道がP地点を通ることになるか、その確率をわかっているのではないでしょうか。
とりあえず、確率は等しくないことだけでも。
確率は等しくない。
平等ではないことがわかったので、最初の問題に戻りましょう。
どうすれば、平等ではない道順の確率を求めていくことができるのか。
どこから進路が一択になるか、そこを場合分けし、それぞれの確率を求めていけば良いでしょう。
恐ろしい。
この問題、道順によって確率が異なるのです。
え？どういうこと？
１つ１つの道順は、全て根元事象でしょう？
それぞれ、１/３５の確率でしょう？
・・・・まず、その固定観念を打破するために、これとは少し違う問題を考えてみましょう。
上と同じ図で、別の問題を考えてみます。
問題 コインを投げて、表が出たら縦に１区画、裏が出たら横に１区画進むとする。Ａから出発し、７回コインを投げてＢに到達する確率を求めよ。
縦縦縦縦横横横なのだから、７回で全部Ｂに到達するのかな？
・・・・いや、違いますね。
例えば、表・表・表と立て続けに縦縦縦と３回動いてしまったら、地点Ｃに到達してしまいます。
すると、その後、もう一度表が出た場合に、動けないのです。
４回目の表が出てしまったら、７回のコイントスではＢに到達できなくなります。
コインの表と裏の確率は１/２。
そこは平等なのに、７回で到達できる道順と到達できない道順があります。
・・・・つまり、この道順は、確率的に平等ではないのです。
確率的に平等とは、無機質に動いていくことが可能で、初めて平等です。
この先はその進路しか進めない、この先は一択しかない道順があるのでは平等ではありません。
Ｂに到達するために、実は判断し、調整しながら進むことになります。
もう縦に進めない。だから横に進む。
それは１つの判断です。
それでは確率的に平等ではありません。
そういうことだ。
(''_'')
それでもわかりにくければ、こんな説明はどうでしょう？
上の図は実際の道で、P地点には毒ヘビがいるとします。
P地点には行きたくない。
P地点は避けたい。
そういう気持ちでＡ地点を歩きだしたとき、C地点に行くでしょうか？
C地点まで行けば、避けようもなくP地点を通らなければなりません。
Cに行くということは、毒ヘビに遭遇する確率が上がります。
毒ヘビに遭遇する確率が低くなるよう、まず横へ横へと移動しないでしょうか？
毒ヘビに遭遇する確率とは、P地点を通る確率のことです。
どの道を通れば、毒ヘビに遭遇する確率が高いかは、すなわち、どの道を通ればP地点を通るかということ。
私たちは、実は実感として、どの道がP地点を通ることになるか、その確率をわかっているのではないでしょうか。
とりあえず、確率は等しくないことだけでも。
確率は等しくない。
平等ではないことがわかったので、最初の問題に戻りましょう。
どうすれば、平等ではない道順の確率を求めていくことができるのか。
どこから進路が一択になるか、そこを場合分けし、それぞれの確率を求めていけば良いでしょう。
上の図に新たに記号を加えたのがこの図です。
Ｃ、Ｄに至った場合、もうその先は横一択です。
だから、Ｃを通る場合、Ｄを通る場合、どちらも通らずにＰに行く場合と、３つに分けることができます。
ここで、さらによく考えると、Ｃを通る場合も必ずＤを通ります。
そこを二重に計算してしまわないよう、もっと厳密に定義しましょう。
本当に言いたかったことは、どういうことでしょうか。
Ｄを通る場合は、Ｃは通らないでＤを通る場合という意味で３つに分けたはずです。
そこを明確に表現するためには？
縦方向に行き止まりになる１つ手前に、図のようにＣ',Ｄ',Ｐ'を記入してみると、明確になります。
Ｃを通る場合とは、Ｃ'からＣを通ってＰに進む場合。
Ｄを通る場合とは、Ｄ'からＤを通ってＰに進む場合。
そして、Ｐ'からＰに進む場合。
これで厳密に場合分けできました。
そして、問題を解く人は、スモールライトを浴びて、この図の中に入りましょう。
自分が縦に進むか横に進むか、曲がり角の度に、その確率を考えます。
縦に進む・横に進むの二択がある場合、それぞれの確率は、１/２ですが、横一択になったら、その確率は１/１＝１です。
その道しか選べないのですから、確率は１＝１００％です。
曲がり角の度に、その確率で進みます。
Ｃ'からＣを通ってＰに進み、さらにＢに到達する道順は、縦縦縦横横横横の１通りです。
確率は、１/２・１/２・１/２・１・１・１・１・１＝１/８
Ｄ'からＤを通ってＰに進み、さらにＢに到達する道順はどのようになるでしょう？
ＡからＤ'までは縦縦横の順列、すなわち３！/２！＝３通りあります。
3Ｃ1と組合せの式で表しても良いですね。
３通りあるので、確率は３倍になります。
Ｄ'からＤへ進む確率は１/２。
その先は横一択ですから、１。
よって確率は、３・１/２・１/２・１/２・１/２・１・１・１＝３/１６。
Ｐ'からＰに進み、さらにＢに到達する道順の確率はどうでしょう？
ＡからＰ'まで、道順は、縦縦横横の４！/２！２！＝６ 通り。
Ｐ'からＰまでの確率は１/２。
その先は横一択。
よって求める確率は、
６・１/２・１/２・１/２・１/２・１/２・１・１＝６/３２。
よって、その総和は、
１/８＋３/１６＋６/３２
＝２/１６＋３/１６＋３/１６
＝８/１６
＝１/２
求める確率は、１/２ です。
好みの問題もありますが、確率の問題の中でも、考え方を革命的に変えなければ正解に至らないという意味で、これが最高難度の確率の問題だと私は思うのですが、いかがでしょう。
数学は、超クール！ヽ(^。^)ノ
Ｃ、Ｄに至った場合、もうその先は横一択です。
だから、Ｃを通る場合、Ｄを通る場合、どちらも通らずにＰに行く場合と、３つに分けることができます。
ここで、さらによく考えると、Ｃを通る場合も必ずＤを通ります。
そこを二重に計算してしまわないよう、もっと厳密に定義しましょう。
本当に言いたかったことは、どういうことでしょうか。
Ｄを通る場合は、Ｃは通らないでＤを通る場合という意味で３つに分けたはずです。
そこを明確に表現するためには？
縦方向に行き止まりになる１つ手前に、図のようにＣ',Ｄ',Ｐ'を記入してみると、明確になります。
Ｃを通る場合とは、Ｃ'からＣを通ってＰに進む場合。
Ｄを通る場合とは、Ｄ'からＤを通ってＰに進む場合。
そして、Ｐ'からＰに進む場合。
これで厳密に場合分けできました。
そして、問題を解く人は、スモールライトを浴びて、この図の中に入りましょう。
自分が縦に進むか横に進むか、曲がり角の度に、その確率を考えます。
縦に進む・横に進むの二択がある場合、それぞれの確率は、１/２ですが、横一択になったら、その確率は１/１＝１です。
その道しか選べないのですから、確率は１＝１００％です。
曲がり角の度に、その確率で進みます。
Ｃ'からＣを通ってＰに進み、さらにＢに到達する道順は、縦縦縦横横横横の１通りです。
確率は、１/２・１/２・１/２・１・１・１・１・１＝１/８
Ｄ'からＤを通ってＰに進み、さらにＢに到達する道順はどのようになるでしょう？
ＡからＤ'までは縦縦横の順列、すなわち３！/２！＝３通りあります。
3Ｃ1と組合せの式で表しても良いですね。
３通りあるので、確率は３倍になります。
Ｄ'からＤへ進む確率は１/２。
その先は横一択ですから、１。
よって確率は、３・１/２・１/２・１/２・１/２・１・１・１＝３/１６。
Ｐ'からＰに進み、さらにＢに到達する道順の確率はどうでしょう？
ＡからＰ'まで、道順は、縦縦横横の４！/２！２！＝６ 通り。
Ｐ'からＰまでの確率は１/２。
その先は横一択。
よって求める確率は、
６・１/２・１/２・１/２・１/２・１/２・１・１＝６/３２。
よって、その総和は、
１/８＋３/１６＋６/３２
＝２/１６＋３/１６＋３/１６
＝８/１６
＝１/２
求める確率は、１/２ です。
好みの問題もありますが、確率の問題の中でも、考え方を革命的に変えなければ正解に至らないという意味で、これが最高難度の確率の問題だと私は思うのですが、いかがでしょう。
数学は、超クール！ヽ(^。^)ノ
