2018年04月27日
場合の数と確率。組合せの公式と活用。
「組合せ」は、例えば、こんな問題です。
問題 ４人の生徒の中から３人を選ぶ選び方は何通りあるか。
まずは「順列」で考えてみます。
４人から３人を選んで並べる順列は？
樹形図をイメージして、
４・３・２・１＝２４
という式で求めることができます。
でも、これは順列。
組合せは、順番は関係ありません。
上の式で求める答えは、同じ選び方で順番が異なるものを何度も繰り返しカウントすることになります。
それは、３人を並べる順列の数だけ繰り返しカウントしているでしょう。
わかりにくいと思うので、４人に記号を与えましょう。
Ａ君、Ｂ君、Ｃ君、Ｄ君の４人です。
上の２４通りを全て書きだしてみましょう。
(Ａ、Ｂ、Ｃ)、(Ａ、Ｃ、Ｂ)、(Ｂ、Ａ、Ｃ)、(Ｂ、Ｃ、Ａ)、(Ｃ、Ａ、Ｂ)、(Ｃ、Ｂ、Ａ)
(Ａ、Ｂ、Ｄ)、(Ａ、Ｄ、Ｂ)、(Ｂ、Ａ、Ｄ)、(Ｂ、Ｄ、Ａ)、(Ｄ、Ａ、Ｂ)、(Ｄ、Ｂ、Ａ)
(Ａ、Ｃ、Ｄ)、(Ａ、Ｄ、Ｃ)、(Ｃ、Ａ、Ｄ)、(Ｃ、Ｄ、Ａ)、(Ｄ、Ａ、Ｃ)、(Ｄ、Ｃ、Ａ)
(Ｂ、Ｃ、Ｄ)、(Ｂ、Ｄ、Ｃ)、(Ｃ、Ｂ、Ｄ)、(Ｃ、Ｄ、Ｂ)、(Ｄ、Ｂ、Ｃ)、(Ｄ、Ｃ、Ｂ)
順列としては、上の２４通りですが、よく見ると、選び方としては、横に１列になっているものは、全て同じ選び方ではないでしょうか。
選ぶだけなら、順番はどうでも良いのですから、同じ選び方です。
同じ選び方を横一列、それぞれ６回カウントしていることがわかります。
この「６」という数字は何でしょうか？
それは、Ａ、Ｂ、Ｃならその３つの文字の並び方、すなわち順列の数ではないでしょうか？
ということは、まずは４個から３個を並べる順列で、４×３×２とした上で、それを、３個のものを並べる順列 ３×２×１で割れば、組合せの数が計算できるのでは？
４・３・２
３・２・１
＝４
答えは４通りです。
一般化するならば、ｎ個のものからｒ個を選ぶ組み合わせの個数は、
一般化するならば、ｎ個のものからｒ個を選ぶ組み合わせの個数は、
ｎ(ｎ－１)(ｎ－２)×・・・×(ｎ－ｒ＋１)
ｒ！
これが、組合せの公式です。
ところで、上の一覧に戻り、左端の( )にだけ着目していくと、(Ａ、Ｂ、Ｃ)は、Ｄを選んでいないもの。
(Ａ、Ｂ、Ｄ)は、Ｃを選んでいないもの。
(Ａ、Ｃ、Ｄ)は、Ｂを選んでいないもの。
(Ｂ、Ｃ、Ｄ)は、Ａを選んでいないもの。
と見ることもできます。
何を選んだかということは、何を選ばなかったかということと同じこと。
したがって、選ばないものは４通りあるので、答えは４通り。
そのように考えることもできます。
もう少し数字を大きくしてみると、この考え方はとても便利だとわかります。
問題 １５人から１２人を選ぶ選び方は何通りあるか。
公式通りに書くと、
もう少し数字を大きくしてみると、この考え方はとても便利だとわかります。
問題 １５人から１２人を選ぶ選び方は何通りあるか。
公式通りに書くと、
１５×１４×１３×１２×１１×１０×９×８×７×６×５×４
１２×１１×１０× ９ ×８ ×７×６×５×４×３×２×１
この２行は、上が分子、下が分母の分数だと思ってください。
これ、分母と分子に同じ数が多いので、かなり約分できますね。
約分した結果は、
１５×１４×１３
３× ２× １
あれ？
この式は、１５個のものから３個を選ぶ組み合わせの式と同じなのでは？
そうです。
１５個から１２個を選ぶ組合せと、１５個から３個を選ぶ組合せは、同じ数となります。
これは数字上のことだけではなく、意味の上からもそうなります。
１５個から１２個を選ぶということは、１５個から３個を選ばないということ。
ならば、その選ばない３個を「選ぶ」と考えても、同じことである。
しかし、ここは授業が停滞しやすいところです。
ここがわかりにくいのは、数字上の問題ではなく、表現上の問題なのかもしれません。
「１５個から１２個を選ぶ」ことを「１５個から３個を選ぶ」ことにすり替える。
それが、同じことであるはずがない。
だから「わからない」と言う子が多いのかもしれません。
そうです。
意味上は、同じことではないのです。
でも、「１５個から１２個を選ぶ」ことと「１５個から３個を選ばない」ことは同じこと。
だから選ばない３個を先に選んで除外しましょうということなのです。
問題 １５人にうち、特定の５人から３人だけを選び、特定の５人以外の１０人から９人を選ぶ方法は何通りあるか。
うーむ、何だこのえこひいきは？
いや、そもそも１５人から１２人を選ぶこと自体がおかしい。
１２人選ぶくらいなら、もう全員にすればいいのに。
そうツッコみながら、楽しく解いていきましょう。
まずは、特定の５人から３人を選ぶ組合せを考えます。
これは公式を使って簡単に解いていけますね。
５×４×３
３×２×１
＝１０
です。
ちなみに、組合せは「コンビネーション」の頭文字Ｃを用いて、5Ｃ3と表します。
5Ｃ3で、５個から３個を選ぶ組合せ、という意味です。
5Ｃ3＝１０ です。
次に、残る１０人から９人を選びます。
先ほどの考え方を用いて、
10Ｃ9＝10Ｃ1＝１０ となります。
さて、この２つをどうするのか？
足すのか？
かけるのか？
この２つは同時に起こる事柄です。
５人から３人を選んだ組合せの１つ１つに対して、１０人から９人を選んだ組合せが対応します。
だから、かけ算をします。
これを「積の法則」と呼びます。
5Ｃ3・10Ｃ1
＝１００
１００通りが、この問題の答えです。
問題 １５人のうち、特定の２人を含まずに１２人を選ぶ選び方は何通りあるか。
どうせ含まないのですから、特定の２人は最初から除外しましょう。
１５人から１２人を選ぶのではなく、１３人から１２人を選ぶのです。
よって式は、13Ｃ12＝13Ｃ1＝１３
答えは、１３通り です。
ここで、
「その特定の２人を選ぶ方法を考えなくていいんですか？」
と高校生によく質問されます。
ですが、問題に「特定の２人」と書いてあるとき、その時点でその特定の２人は確定しているので、問題を解く我々がその２人が誰であるかを選ぶ必要はないのです。
という説明が、これまで高校生にこのことを説明してきて、まだしも理解しやすい説明だと思います。
それでも納得してくれない子とは、延々と不毛な論争をすることになります。
そういう子の論理は循環して、トリックアートのようになっています。
ちなみに、組合せは「コンビネーション」の頭文字Ｃを用いて、5Ｃ3と表します。
5Ｃ3で、５個から３個を選ぶ組合せ、という意味です。
5Ｃ3＝１０ です。
次に、残る１０人から９人を選びます。
先ほどの考え方を用いて、
10Ｃ9＝10Ｃ1＝１０ となります。
さて、この２つをどうするのか？
足すのか？
かけるのか？
この２つは同時に起こる事柄です。
５人から３人を選んだ組合せの１つ１つに対して、１０人から９人を選んだ組合せが対応します。
だから、かけ算をします。
これを「積の法則」と呼びます。
5Ｃ3・10Ｃ1
＝１００
１００通りが、この問題の答えです。
問題 １５人のうち、特定の２人を含まずに１２人を選ぶ選び方は何通りあるか。
どうせ含まないのですから、特定の２人は最初から除外しましょう。
１５人から１２人を選ぶのではなく、１３人から１２人を選ぶのです。
よって式は、13Ｃ12＝13Ｃ1＝１３
答えは、１３通り です。
ここで、
「その特定の２人を選ぶ方法を考えなくていいんですか？」
と高校生によく質問されます。
ですが、問題に「特定の２人」と書いてあるとき、その時点でその特定の２人は確定しているので、問題を解く我々がその２人が誰であるかを選ぶ必要はないのです。
という説明が、これまで高校生にこのことを説明してきて、まだしも理解しやすい説明だと思います。
それでも納得してくれない子とは、延々と不毛な論争をすることになります。
そういう子の論理は循環して、トリックアートのようになっています。
階段を下りているつもりがいつの間にか登っている、有名な絵画のようなものですね。
そこに切り込んで、循環した論理を粉砕するのは意外に難しいです。
そこに切り込んで、循環した論理を粉砕するのは意外に難しいです。
本来存在しない論理の筋道が本人の頭の中だけではつながっているので、何を言われても自分の誤解に気づけなくなるようなのです。
「場合の数と確率」という単元は、その人の思考の癖や文章の読み取りの癖が出やすい単元です。
「自分の考え方の何が悪いのか」
を突き詰めようとしても、もうそれが見つからず、教えてくれる人が何を言っているのかもわからなくなったときは、答えを全て書きだす作業を１度行うと良いと思います。
少なくとも、正解が自分の出した答えとは異なることは納得できるはずです。
自分の考え方のほうが正しいのではないかという思いを捨てきれないから、間違った循環から脱出できない場合もあるでしょう。
自分の答えが明らかに正解ではないと理解することができれば、一歩先に進めます。
自分の考えを捨てて、
「正しい考え方はどういう構造のものであるのか」
を学ぼうとできると思うんです。
問題 １５人から１２人を選ぶとき、特定の２人のうち少なくとも１人を選ぶ選び方は何通りあるか。
さて、これが一番の難問です。
計算自体は非常に楽なのですが。
問題文に「少なくとも」と書かれているときは、その反対を考えると楽に解けることが多いです。
確率で言う「余事象」というものです。
「特定の２人のうち少なくとも１人を選ぶ」ことの反対とは何か？
それは、「特定の２人を選ばない」ことになります。
もう少し具体的に考えてみましょうか。
例えば、ここで特定の２人をＡさんとＢさんと名付けましょう。
この２人の選び方は、以下の４通りあります。
「ＡさんもＢさんも選ぶ」
「Ａさんを選ぶ。Ｂさんは選ばない」
「Ａさんは選ばない。Ｂさんを選ぶ」
「ＡさんもＢさんも選ばない」
他の選び方はないですよね？
さて、ここで、２人のうち少なくとも１人を選んでいるのは、どの選び方か？
上から３つ目までがそうです。
最後の４つ目だけが、それとは異なる選び方となります。
だから、「特定の２人のうち少なくとも１人を選ぶ」ことの反対は、「特定の２人を選ばない」ことになります。
ということは、上で求めた、何の条件もない選び方４５５通りから、特定の２人を選ばない選び方１３通りを引けば、この問題の答えとなります。
よって、４５５－１３＝４４２
４４２通りが答えです。
この考え方を、スパンと理解して、
「あー！場合の数、面白い！」
と言う高校生と、
「それ全然わかんない」
という高校生と、はっきり分かれます。
例として出したＡさんとＢさんが、むしろ悪影響を及ぼすこともあります。
「では、ＣさんとＤさんの場合はどうなるんですか？」
という質問を受けることがあります。
・・・・いや、ＡさんとＢさんだけが特定の２人です。
「特定の２人」と問題に書いてあるので、その２人にＡさん・Ｂさんと名付けたのです。
ＣさんやＤさんは、特定の２人になることはありません。
「他の場合もあるんじゃないんですか？」
・・・・ありません。
他の場合とは、では、どんな場合があるの？
「何かありそうな気がする」
・・・・それは、気の迷いでしょう。
このやりとりで高校生に納得してもらえることのほうが実は少ないのです。
そして、こうした質問に対し、具体的に全ての場合を書いていくには、４４２通りは、あまりにも数が多い。
「場合の数と確率」という単元は、思考のサーフィン。
上手く波に乗れると楽しくて大好きになる単元ですが、どうしても波に乗れないこともあるようです。
場合の数の考え方の何かが肌に合わない、ということなのかもしれません。
ここは、一種の思考訓練と考えましょう。
自分の考え方のどこが間違っているかを究明しようとして迷宮を彷徨うよりも、自分の知らない新しい考え方を理解することに専念することをお勧めします。
それは「数学的思考」というものへの道を開く鍵かもしれません。
どうか頭を柔らかく。
問題 １５人から１２人を選ぶとき、特定の２人のうち少なくとも１人を選ぶ選び方は何通りあるか。
さて、これが一番の難問です。
計算自体は非常に楽なのですが。
問題文に「少なくとも」と書かれているときは、その反対を考えると楽に解けることが多いです。
確率で言う「余事象」というものです。
「特定の２人のうち少なくとも１人を選ぶ」ことの反対とは何か？
それは、「特定の２人を選ばない」ことになります。
もう少し具体的に考えてみましょうか。
例えば、ここで特定の２人をＡさんとＢさんと名付けましょう。
この２人の選び方は、以下の４通りあります。
「ＡさんもＢさんも選ぶ」
「Ａさんを選ぶ。Ｂさんは選ばない」
「Ａさんは選ばない。Ｂさんを選ぶ」
「ＡさんもＢさんも選ばない」
他の選び方はないですよね？
さて、ここで、２人のうち少なくとも１人を選んでいるのは、どの選び方か？
上から３つ目までがそうです。
最後の４つ目だけが、それとは異なる選び方となります。
だから、「特定の２人のうち少なくとも１人を選ぶ」ことの反対は、「特定の２人を選ばない」ことになります。
ということは、上で求めた、何の条件もない選び方４５５通りから、特定の２人を選ばない選び方１３通りを引けば、この問題の答えとなります。
よって、４５５－１３＝４４２
４４２通りが答えです。
この考え方を、スパンと理解して、
「あー！場合の数、面白い！」
と言う高校生と、
「それ全然わかんない」
という高校生と、はっきり分かれます。
例として出したＡさんとＢさんが、むしろ悪影響を及ぼすこともあります。
「では、ＣさんとＤさんの場合はどうなるんですか？」
という質問を受けることがあります。
・・・・いや、ＡさんとＢさんだけが特定の２人です。
「特定の２人」と問題に書いてあるので、その２人にＡさん・Ｂさんと名付けたのです。
ＣさんやＤさんは、特定の２人になることはありません。
「他の場合もあるんじゃないんですか？」
・・・・ありません。
他の場合とは、では、どんな場合があるの？
「何かありそうな気がする」
・・・・それは、気の迷いでしょう。
このやりとりで高校生に納得してもらえることのほうが実は少ないのです。
そして、こうした質問に対し、具体的に全ての場合を書いていくには、４４２通りは、あまりにも数が多い。
「場合の数と確率」という単元は、思考のサーフィン。
上手く波に乗れると楽しくて大好きになる単元ですが、どうしても波に乗れないこともあるようです。
場合の数の考え方の何かが肌に合わない、ということなのかもしれません。
ここは、一種の思考訓練と考えましょう。
自分の考え方のどこが間違っているかを究明しようとして迷宮を彷徨うよりも、自分の知らない新しい考え方を理解することに専念することをお勧めします。
それは「数学的思考」というものへの道を開く鍵かもしれません。
どうか頭を柔らかく。
