たまりば

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2017年11月01日

三角比の相互関係の公式。覚えましょう。





三角比の当面の目標は、三角形の辺や角を計算せずに求めていくことです。
ならば、まずは三角比が1つわかれば残る2つが求められると便利です。
サインがわかれば、コサインやタンジェントは計算で求められる。
コサインがわかれば、サインやタンジェントは計算で求められる。
タンジェントがわかれば、サインやコサインは計算で求められる。
そのためにあるのが、三角比の相互関係の公式です。

tanθ=sinθ/cosθ
sin2θ+cos2θ=1
1+tan2θ=1/cos2θ
 (2は指数として読んでください。三角関数の倍角みたいに見えて嫌なんですけど)

この公式は物凄く重要で、以後、度々登場します。
使わないと解けない問題が多数あります。
以後もずっと使い続けます。
高2の「三角関数」でも、この公式を使います。
三角比は、地道に計算で解くなどありえない単元です。
公式を使えるかどうかが全てといっても過言ではありません。
そういう意味で、公式を覚えるのが苦手な子は、「三角比から拒絶されている」という感覚を抱くことがあるようです。
「三角比」という単元を無機質に感じ、全く親しみを覚えないようなのです。
逆に公式さえ覚えれば、三角比は何でもないものなのです。

と、これくらい強調しても公式を覚えない子がいるのが高校数学の不可解なところです。
ちょっと努力しないと覚えられないような公式が多いからでしょうか。
確かに、小学校の頃の三角形の面積の公式のように楽にスルスル覚えられるものではありませんよね。
そのためか、
「まあ、今は教科書を見ながら解いて、テスト前に暗記します」
と悠長に構えている子が多いのです。
しかし、以後の問題にはこれらの公式を使います。
問題集の解答・解説は、この公式を使ったことは、いちいち解説されていません。
解説が省略されていて、何のことかわからない。
それは、公式を覚えていないことからきている場合が大半です。

公式は忘れた頃にまた使います。
「三角比」は「三角比」だけで終わる単元ではありません。
高校二年になると、「三角関数」という単元があります。
これは、「三角比」で学習した内容を前提として先に進みます。
三角比の公式を短期記憶にしかせず、全部忘れていると、翌年えらい目にあいます。
公式は、早め早めに覚えて、覚えた状態で使い、長期記憶にすることをお勧めします。


とりあえず、上の3つの公式を証明してみましょう。
まずは1本目。
tanθ=sinθ/cosθ から。

三角比の定義より、上の図で
sinA=a/c 
両辺をc倍すると、a=c・sinA
同様に、
cosA=b/c 
よって、b=c・cosA
ゆえに、
tanA=a/b=c・sinA/c・cosA=sinA/cosA

次に、2本目。
sin2θ+cos2θ=1
これを証明します。

三平方の定理より a2+b2=c2
よって、(c・sinA)2+(c・cosA)2=c2
c2・sin2A+c2・cos2A=c2
両辺をc2で割って、
sin2A+cos2A=1

3本目はこの sin2A+cos2A=1 の両辺をcos2Aで割ります。
sin2A/cos2A+1=1/cos2A
tan2A+1=1/cos2A

なお、実際に計算する際には、上の公式の両辺を逆数にして、
cos2θ=1/(1+tan2θ)
を活用しても良いでしょう。
また、1本目の公式、tanθ=sinθ/cosθ
の両辺にcosθをかけて、
sinθ=tanθ・cosθ
と変形した式を活用すると計算が楽です。

では、実際に問題を問いてみましょう。
問題 sinθ=3/5 を満たす鋭角θの、cosθとtanθの値を求めよ。

sin2θ+cos2θ=1より
cos2θ
=1-sin2θ
=1-(3/5)2
=1-9/25
=16/25
θは鋭角なので、cosθ>0より
cosθ=4/5

cosθ>0 なんて当たり前なのになあと感じるかもしれませんが、この直後に、cosθが負の数になる場合を学習します。
だから、これは書いておく必要のある1行なんです。

数学の答案は、何を書いて何を書かないのかよくわからなくて混乱する人がいます。
数学の答案で必要なのは、なぜそのように解けるのか、その根拠を示していくこと。
今回は、2乗が16/25なのに、なぜ-4/5は答えではないのかは説明しておく必要があります。
説明の仕方は多様です。
一字一句にこだわるようなものではありません。

さて、問題に戻りましょう。
sinθは問題の通り、3/5、cosθは4/5 と出ました。
では、tanθは?
tanθ
=sinθ/cosθ
=sinθ÷cosθ
=3/5÷4/5
=3/5×5/4
=3/4

簡単ですね。
あとは練習して慣れていけば大丈夫です。

  


  • Posted by セギ at 13:47Comments(0)算数・数学