たまりば

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お知らせ

2017年05月25日

6月3日(土)、大人のための数学教室を開きます。


5月20日(土)、大人のための数学教室を開きました。
前回と同じく「二項定理」の学習です。
二項定理は、例えば、(a+b)5などを展開していく際に用いる定理ですが、全て展開するのではなく、必要な項の係数だけを求めることもできます。
例えば、こんな問題です。

例題 (x+2)6 を展開したときの、x3の係数を求めよ。

全て展開していくのだとしたら、二項定理を用いて、以下のようになります。
(x+2)6
=6C0x6+6C1x5・2+6C2x4・22+6C3x3・23+6C4x2・24+6C5x・25+6C6・26
=X6+12x5+30x4+160x3+240x2+192x+64
前回も解説した通り、xの6乗の項は、6個の(x+2)から全てxを選んでかけている項です。
それは1通りしかありませんので、係数は1です。
xの5乗の項は、6個の(x+2)から5個のxと1個の2を選んでかけている項です。
それは、xxxxx2を並べる順列と同じ個数だけ同類項があります。
同じものを含む順列の考え方を用いて、6C1=6。
係数としては、2も係数となりますので、6×2=12となります。
xの4乗の項は、6個の(x+2)から4個のxと2個の2を選んでかけている項。
それは、xxxx2・2を並べる順列と同じ個数だけあります。
同じものを含む順列の考え方を用いて、6C2=15。
2・2も係数となりますので、15×4=60。
この辺で法則が見えてきたと思います。

例えば、6C2の「6」は、(x+2)6の「6」です。
6C2の「2」は、(x+2)の2を「2個」選んでいることを示します。
それはxを6-2=4(個)選んでいるということでもあります。

では、問題のx3の係数はどう求めることができるでしょうか。
x3ということは、6個の(x+2)から、xを3個選んだということ。
それは、2のほうを6-3=3(個)選んだということです。
すなわちx・x・x・2・2・2の並べ方だけ、同類項が存在します。
6C3=(6・5・4)÷(3・2・1)=20。
2の3乗も係数となりますから、20×23=160。
答えは、160となります。

二項定理は、2項のうちの前の項、(x+2)で言えばxの項を初めは6回かける項、次はxを5回2を1回かける項というように、前の項を1個ずつ減らし、後の項を1個ずつ増やしていく形をとっています。
最後は、全て後の項、(x+2)で言えば2を6回かけて終わります。
二項定理の一般項は、nやrやn-rといった文字を用いるためか、それで混乱する高校生がいるのですが、全体の流れを把握することで一般項の意味を理解するとよいと思います。

もう少し解いてみましょう。
例題 (2x-3y)7 を展開したときのx4y3の係数を求めよ。

xの項もyの項もそれぞれ1以外の係数がついているのに注意する必要がありますね。
それらも全て項全体の係数に含まれていきます。
x4y3の項ですから、7個の( )から、xを4回yを3回選んでかけます。
すなわち、7C3。
それに、xの係数である2の4乗、yの係数である(-3)の3乗も係数となります。
7C3・24・(-3)3
=(7・6・5)÷(3・2・1)×16×(-27)
=-15120
これが答えです。


さて、ここからは応用です。
易しい教科書や問題集には載っていない問題です。
考えてみましょう。
例題(3x2+x)8 を展開したときの x10の係数を求めよ。
( )内のどちらの項にもxが含まれています。
どんなときにx10になるのでしょうか?

3x2をp回、xをq回かけた項がxの10乗の項であるとします。
( )は全部で8個ですから、
p+q=8・・・・➀ となります。
また、x10という結果になることを踏まえると、指数法則から、
2p+q=10・・・② となります。
➀・②を連立して解くと、
p=2、q=6
よって、3x2を2回、xを6回かけた項がxの10乗の項であるとわかります。
あとは、二項定理にあてはめて、係数は、
8C6・32・16
=(8・7)÷(2・1)×9
=4・7・9
=252
これが答えです。

さらにこのような問題はどうでしょうか。
例題 (x2+1/x)10 を展開したときのx11の係数を求めよ。

後の項は分母にxがある分数なので、前の項とかけると、約分されてxの次数は減ってしまいます。
x2をp回、1/xをq回かけるとすると、
p+q=10 ・・・➀ であるのは今までの問題と変わりませんが、
xの指数はたし算ではなくなります。
約分されて減りますから、
2p-q=11 ・・・② となります。
➀、②を連立して、
3p=21、すなわちp=7、q=3 です。
x2を7回、1/xを3回かけた項がxの11乗となることがわかりました。
二項定理より、
10C3=(10・9・8)÷(3・2・1)=10・3・4=120
係数は120です。

二項定理だけでなく、指数法則の理解が必要なので、こうした問題は易しい教科書や問題集からは除外されているのでしょう。
使っている指数法則自体は中学校で学んでいる内容なのですが、pとかqとか抽象化されると「全くわからない」と言う高校生は多いのです。
しかし、この先「指数関数」を学習した後に受験勉強で解き直すと、案外簡単に理解できることがあります。
さて、次回の数学教室のお知らせです。

◎日時  6月3日(土)10:00~11:30
◎内容  数Ⅱ「整式と分数式」を続けます。p7「二項定理を用いた証明」から。
◎場所  セギ英数教室
       三鷹市下連雀3-33-13
         三鷹第二ビル 305
       春の湯さんの斜め前のビルです。
◎用具   ノート・筆記用具
◎参加費 2,000円
       当日集めさせていただきます。
◎予約  私の携帯メールかラインに、ご予約をお願いいたします。





  


  • Posted by セギ at 13:15Comments(0)大人のための講座

    2017年05月22日

    日影からいろはの森を歩き、景信山東尾根を下りました。2017年5月。


    2017年5月21日(日)、ひと月ぶりに山を歩きました。
    外秩父七峰縦走ハイキング大会の後、腰痛に悩まされてどこにも行けない日々が続いていましたが、ようやく腰慣らし、足慣らしのハイキングに行くことができました。
    念のためダブルストックを用意し、短い距離の山を歩きましょう。
    というと、高尾山ですね。

    三鷹発8:05の中央特快に乗り、終点高尾駅北口から小仏行きのバスに乗車。
    バスの車窓から見ていると、徒歩で行く際に曲がり角の目印にしていた交差点の赤いコンビニがなくなり、さら地にする工事中でした。
    高尾も変わっていくなあ。
    日影下車。9:05。
    日影の登山口で支度をして、まずはいつもの日影林道をしばらく歩きます。
    ちょうど出発しようといている集団のそれぞれの腕章に「盗掘パトロール」といった文字を見つけました。
    おお、ご苦労さまです。

    途中の分岐から、本日はいろはの森コースへ。
    今まで一度も歩いたことのないコースです。
    わざわざ日影までバスに乗って、山頂が高尾山のコースを選ばなくても。
    ついそう思ってしまうのです。

    分岐からすぐは、両側が工事中みたいなところを歩いていきます。
    廃屋を片付け中なのでしょうか。
    あまり雰囲気が良くない道だなあと思ったのですが、山の会が所有するのらしい小屋を通り過ぎたあたりから、道は両側を樹木に囲まれた雰囲気の良い森に変わっていきました。
    樹木に解説の板がついています。
    詠み人不詳の和歌も掲げられています。
    道はしっかりと整備されて歩きやすいです。
    何より、人がほとんどいないのが素晴らしいです。
    新緑の季節の日曜日の高尾山で、人がほとんどいない。
    これは穴場ですね。
    腰をかばいながらゆっくりゆっくり登り、暑いのでベンチの度に休憩して水分補給。
    そのせいか、そんなにバテずに4号路との合流点に着きました。

    4号路は、倒木による登山道崩落のため通行禁止の掲示が出ていました。
    いろはの森との合流点から山頂方向までなら歩けるようですが、吊り橋方面には行けない様子です。

    木段と木製のデッキを2つ越えて、1号路と合流。
    予想通り、1号路は家族連れなどで大にぎわいでした。
    山頂、大見晴台。10:30。
    少しもやのかかった初夏の青空です。
    うっすらと富士山が見えました。
    丹沢の青い影。
    また丹沢に行きたいなあ。
    行けるようになるかなあ。

    さて、喧騒と別れを告げ、奥高尾を目指します。
    石段の下りが腰に響きます。
    ゆっくり一歩一歩いきます。
    紅葉台への登りから、木段の下りへ。
    追い越されるのにまかせ、そろそろと歩きました。
    そんな中、キンランを発見。
    うわあ、キンランだ。
    これが咲いているから、盗掘パトロールが行われているのかな。
    山の花は山で咲くから美しいのに、ランというと目の色を変える人たちがいるから困りものです。
    個人で盗んで庭に植えても、悪い業者から買っても、山の花は平地では育たないです。
    似ている園芸種で充分なのに。

    本日は今年初めての真夏日。
    耳元で低くかけているラジオが東京も30度を越えたと告げました。
    汗がぽたぽたと額からたれて、体温が上昇してきました。
    やばいかも。

    小仏城山。11:30。
    城山名物巨大かき氷を購入。しかも、大400円のほうです。
    順番待ちが10分ほど。
    お盆を手にいそいそとテーブル席に着きました。
    食堂のソース入れみたいな容器にたっぷりと入れて渡されたブルーハワイのシロップを上から少しずつかけてはスプーンですくって食べていきます。
    とんでもない大きさなのですが、最後まで頭がキーンともならずに気持ちよく食べ終わりました。
    いったいどれほど体温が上がっていたのでしょうか。
    危ないところであった。

    食べ終わる頃にはさすがに汗が冷えて寒くなってきました。
    ようやく食欲もわいて、持ってきたお握りも2つ食べ、さて出発。12:15。
    城山からはいったん下りが続きます。
    固い粘土の地面がストックを跳ね返して滑ります。
    あまりストックに頼り切らず、用心して降りていきました。
    相模湖を見渡せるポイントは、小屋が取り壊されたのは知っていましたが、ベンチも新しい木製のものに変えられていました。
    小仏峠からは登り返し。
    身体がキンキンに冷えた後なので、あまり苦しまずに登り切ることができました。
    ペースも遅いですし。
    景信山。13:15。
    ここも大賑わいです。
    日陰のベンチで休憩。

    さて、今日は上りも初めての道を選びましたが、下りもまだ歩いたことのない道を選ぶことにしました。
    まずは小仏に下る木段の道を降りていきます。
    その先、小仏へ下りていく道を右に見て、直進。
    どんどん下っていくと、また分岐。
    道しるべは、左方向、木下沢林道への下り道を指していますが、ここから直進できる道が存在するのです。
    以前、木下沢から登って、ここを通り過ぎたところで、景信山から降りてきた男性の登山者に訊かれました。
    「まっすぐの道は、封鎖されていた?」
    「まっすぐの道?あの道しるべのついていない道ですか?歩けるみたいでしたが」
    「良かった。長いこと封鎖されて歩けなかったんだよ」
    「はあ。あの道は、どこに行く道なんですか」
    「日影だよ」
    大体こんなふうな会話を交わしたことがあり、それから気になっていた道でした。
    地図で見ると等高線が広く、尾根が白く浮き上がって見えます。
    歩けそうな尾根です。
    「東尾根」と名前もついています。
    けれど、登山道は地図に描かれていません。
    ちょっと冒険してみようかな。

    分岐を直進。
    道幅は狭いですが、1人で歩いていく分には問題ない明瞭な道がずっと続いていました。
    足元は普通の登山道ほど踏み固められてはいませんが、それなりに硬く、継続して人が歩いている印象があります。
    道が尽きたらひき返そう。
    わからなくなったら、必ず戻ろう。
    そう思いながら、どこまでも続く平坦な道を歩いていきました。
    樹木におおわれ、鬱蒼としていますが、ときどき視界が開け、左手に尾根が見えます。
    あれは、北高尾山稜でしょう。
    木の幹にかけられた小さな山頂標識。
    低いテーブルと椅子。
    ときどきそのような人工物もあり、ここを歩く人たちがいることは察することができました。
    ただ、道しるべは全くありません。
    踏み跡があるだけです。

    問題は、この東尾根をどう降りるかです。
    どのように踏み跡がつけられているかわからないのですが、尾根が尽きるあたりは、どちらにしろ等高線の詰まっている所しかないので、最後はかなり急坂になると予想できました。
    尾根が細くなっていった先、ついに急な下りが始まりました。
    踏み跡は一応ジグザグに道を切っているのですが、それでも急です。
    ストックがなかったら尻もちをつかないと降りられない坂でした。
    ここで怪我をして歩けなくなるとかなり発見が遅れるから用心しないと。
    いや、携帯は通じるから大丈夫なのか。
    いやいや、そういうことではなく。

    とにかく一歩ずつ用心して急坂を下りていくと、コンクリートで固められた場所に出ました。
    側溝が作られていて、そこを歩いていけます。
    側溝は何段も設置されていて、下の側溝に階段で降りられるようになっていました。
    山で普通に見るようなものではなく、人工的な黒い階段です。
    右側だけに手すりがついている急な階段ですが、斜面と逆方向に傾斜がついているために滑落しにくくなっていました。
    20段ほどの階段を下り切ると、下の側溝に下り立つことができ、少し右に行くと、また同じ階段がつけられて、また下の側溝に下っていけるようになっていました。
    真下は、高速道路です。
    この階段をどこまでも下りていくと、高速道路に直接降りてしまうなあ。
    ・・・・これは、高速道路を崖崩れが襲わないように側溝を作って地盤を固めてあり、その保全作業をするための階段ではないかなあ。
    何かとんでもないところに迷いこんでしまったみたいです。

    とにかく、ここは違う。
    階段を登り返し、一番上まで戻って、地図を開きました。
    高速道路は東尾根の南を東西に走っています。
    東尾根は東に伸びているので、高速道路と平行に東方向に下るのが正解です。
    東に歩きながら踏み跡を探し、ようやく薄い踏み跡を発見しました。
    そこからまたも大変な急坂が始まっていましたが、踏み跡は明瞭でした。

    この道、なぜあの人はあんなに嬉しそうに下っていったのでしょう。
    こんなに無理をしても、到着するのは日影。
    これで高尾駅か高尾山口駅に直接降りられるのなら、まだこの道はありなんだけどなあ。
    日影に車を置いて登りたい人には良い道なのかもしれません。

    ようやく眼下に草原が見えてきました。
    あそこからは平らだ。
    それを励みに最後の急坂を下りました。
    下りきるとそこは右手に小さな小屋がある柵に囲まれた場所でしたが、直進していくと、道に出ることができました。
    そこは、木下沢林道の起点でした。
    何度も来たことのある道です。
    舗装道路を道なりに下り、レンガ作りの高架下をくぐり、とことこ歩いていくと、バス通りに出ました。
    まずは日影沢の登山口が見えてきて、その先に目指す日影バス停。15:35。
    バス停に長い行列ができていました。
    良かった。もうすぐバスが来るのでしょう。
    ええっと。
    今日は何でこんなややこしいコースを歩いたんだったかなあ。
    あ、そうか。
    腰が痛かったんだ。
    え?腰?
    急坂の緊張で腰痛なんか忘れてしまっていました。
    大事をとって座りっぱなしより、少し歩いたほうが良かったということでしょうか。
    15:45。
    時刻表より2分遅れて、高尾駅行きのバスが2台同時にやってきました。


      


  • Posted by セギ at 12:47Comments(0)

    2017年05月17日

    関数は小学校から学んでいます。


    関数という単元は、本格的な内容に入ってしまえば、案外わかりやすいのに、最初の概念的なことがむしろ難解なのかもしれません。
    「変数xとyがあり、xが定まると、それにともなってyがただ1つに定まるとき、yをxの関数という」
    これがスパっと頭に入り、うんうん、そうだろうねと感じられたら何も問題ないのですが、そうはならない子は、いつまでもいつまでもこの件を引きずることになります。
    以前も書きましたが、こうした定義よりも、
    「関数なんか何の役に立つのかわからない」
    「やっていることの意味がわからない」
    「こんなの必要なくない?」
    という感情のほうが先に立って、関数の存在に否定的な子が関数が苦手な子に多いように思います。

    中学になって突然「関数」という単元が出てくるから、こうした拒絶反応があるのかというと、そうではなく、「関数」という言葉は使わなくても小学校から関数は学習しています。
    そして、この子は将来関数が苦手になりそうだなあという子は、小学生の頃の反応からある程度予想がついたりもします。

    関数は、小学校から学習しています。
    「ともなって変わる量」とか「数量の関係をあらわす式」といった単元がそうです。
    関数という言葉を使わないだけで、学んでいる内容は関数です。
    そして、4年生でも、5年生でも、6年生でも、同じようなことを繰り返し学習するわりに定着しない単元でもあります。
    △と〇の関係を表す式なんて立てても意味がない。

    答えの出ない式なんて意味がない。
    こんな式を立てなくても答えは出せる。
    使い途がない。
    子どもは、そんなふうに考えてしまうのかもしれません。

    小学生に、
    「今、学校は何をやっているの?」
    と質問して、答えが曖昧なときは、たいていこの単元です。
    「何かよくわかんないことをやってる」
    「ふうん。何という単元?」
    「何か、わかんない。本当に、全然わかんないことをやってる」
    こういうとき、わからないことに不安を抱いているのではなく、むしろ、そんな訳のわからないことをやらせる学校が悪い、あんなのは意味がないと言いたげな、変に自信満々な表情であることが多いのも、この単元の特徴です。
    教科書を持ってきていない子には、テキストの目次でどの単元を勉強しているのかを探させて、「数量の関係をあらわす式」を学習していることを確認し、ああ、やっぱりか、と思います。

    「この単元は、中学生になったら『関数』という名前になる単元で、大切な単元だよ。これが理解できると、中学でも数学が得意になれるよ。高校になると勉強することの半分以上は関数だよ。しっかり学習しようね」
    「えー」
    私は、いつも、これくらい強調します。

    小学生でも中学生でもそうですが、関数が役に立たないとか意味がないと思っている子は、関数の意味を理解できない自分に課題があるという考え方ができないのかもしれません。
    学び始めたばかりでは関数を何に使うのかよくわからないけれど、これはきっと重要なことで、いずれわかってくるだろうと理解を示すことができないのでしょう。
    すぐに全体を鮮明に理解できないと嫌気がさしてしまうのかもしれません。
    それでは、数学に限らず、いずれ全ての勉強に嫌気がさしてしまうでしょう。

    小学校も高学年になると、xやyを使うようになりますが、最初は、△や〇を使って式を作っていきます。
    4+△=〇 とか、
    3×△=〇 とか。
    問題文からそういう関係を読み取って、△と〇を使った式を立てることができて、その式を利用して具体的に数値を代入し、△が5のときの〇の値や、〇が9のときの△の値を求めることができれば、この単元は身についた、ということになります。

    以前、保護者の方から、それに関してこんな話をうかがいました。
    「〇から△を求める問題、うちの子に教えたら、移項のときは符号を変えることとか、全然わかっていなくて」
    「・・・・・あ、移項で符号を変えるのは、小学生には無理なんです。小学生は、負の数を習っていないんです」
    「ええっ、そうなんですか?でも数直線は勉強しているでしょう」
    「はい。ただ、小学生の数直線は、0で止まってしまうんです」
    「だったら、どうやって解くんですか」
    「逆算の式を立てるんです」

    小学生は、負の数を知りません。
    小学生は、方程式を知りません。

    大人が小学生に算数を教えることの難しさの1つは、小学生のこの限界とどう折り合いをつけていくか、ということかもしれません。
    そのときも説明したのですが、小学生に算数を教えるときは、まず大人が教科書を読んで、解き方を理解した上で、その通りに教えるのが、一番良い方法です。

    小学校の教科書を読むと、大人はつい思ってしまいます。
    なんでこんなまだるっこしい解き方をしているんだろう?
    しかし、それは、発達段階として必要なまだるっこしさです。
    「負の数」や「方程式」という概念は、多くの小学生にとって、抽象的で理解しづらいものです。
    該当学年より上の内容をきちんと段階を踏んで順番に学習していくことは、素質のある子どもに対してなら、周囲の大人の責任において好きにやったら良いことだと思いますが、普通の5年生の知識を持っている子どもにいきなり負の数や方程式を教えても、理解できないのは当たり前です。
    ここは、大人のほうが「小学生の解き方」を学び直したうえで教えたほうが効果的です。
    自分のやり方に子どものほうを合わせようとする大人は案外多く、残念なことです。
    まずは教科書や塾のテキストを見て、その通りに教えてあげることが子どもにとっては一番わかりやすいのです。

    個別指導塾でも、アルバイト講師などで、本人に中学受験の経験がなく、研修も受けていない人が、小学生を相手に方程式で受験算数を教えてしまうことがあります。
    ご家庭で勉強を見てあげる場合でも、数学が得意なお父さんが子どもから文章題を質問されて、無理に方程式で解いてしまうことがあります。
    わからなくて苦しまぎれにそうしている場合もあると思うのですが、そうではなく、そうしたほうが良いと思っているのだとしたら、被害をこうむるのは子どもであるという点で罪深いことだと思います。
    そこまでの基礎を踏まずに突然教わる「正負の数」や「方程式」は、定着しないからです。
    余計な混乱が起こるだけです。
    中学校では、「正負の数」「文字式」「1次方程式」を教えるだけで、1学期が終わります。
    それだけボリュームのある学習内容です。
    その間に「算数」から「数学」への大転換に適応することがこの時期の重要課題でもあります。
    ちゃちゃっと教わってすぐ文章題に利用できるような内容ではないのです。

    「関係を表す式」の学習に否定的な子どもには、これが中学・高校と学年が進むにつれて学習の中心となっていく「関数」という大切な考え方の基礎であるという観点を示すこと。
    解き方がわからず困っている子に、「方程式」や「負の数」のような、その子にはまだ必要ではない解き方を教えて混乱させないこと。
    将来の関数嫌いを作らないために、小学生の頃から注意して見守りたいですね。

      


  • Posted by セギ at 13:13Comments(0)算数・数学

    2017年05月14日

    十分条件と必要条件。



    本日は、十分条件と必要条件について。
    「pならばqである」という命題が真であるとき、pをqであるための十分条件、qをpであるための必要条件という。
    それだけのことなのですが、実際に問題を解いてみると、高校生の多くの答えは逆転していて、何だか全然わからないと愚痴を言います。
    1つには、まず、「十分条件」「必要条件」という言葉が似ていて覚えにくいからなのでしょう。
    どっちがどっちでも、同じような意味に感じるのだと思います。

    例えば、「犬であるならば動物である」という命題があるとします。
    「犬であること」は、「動物である」ための十分条件。
    「動物であること」は、「犬である」ための必要条件です。

    でも、
    「え?逆じゃね?逆のほうが正しいっぽくね?」
    そんな疑念が生じて、ごちゃごちゃになってしまう子がいます。

    私の記憶違いでなければ、私の頃の教育課程では、これは中学3年生のときに学習しました。
    そのときの先生の解説が明解で、今でもよく覚えています。
    使われた命題も、この「犬であるならば動物である」でした。

    集合で考えるならば、犬の集合は、動物の集合の部分集合です。
    ベン図で言えば、動物の集合の輪の中に犬の集合がすっぽり入っています。

    目の前にポチという名の生き物がいたとして、その生き物が犬であるならば、その生き物が動物であることは、言うまでもないことです。
    「犬である」という条件を満たせば、「動物である」ということは十分に満たす。
    「犬である」ことは、「動物である」ための十分条件です。

    一方、「動物である」ことは「犬である」ための必要条件。
    こちらのほうが、ちょっとわかりにくいのかもしれません。
    これは否定して考えるとわかります。

    もし、目の前のポチが動物ではないのなら。
    ポチが動物でないのなら、犬であるはずがない。
    動物であることは、犬であるために必要なこと。
    だから、「動物であること」は、「犬である」ための必要条件です。

    とはいえ、この解説、聞いたときは「ほおなるほど」と思っても、またすぐ忘れてしまうらしいです。
    そうして、また混乱し、わからないわからないと言い出す高校生が多いです。
    なので、もういいから、50音順で「十分条件」の「じ」のほうが「必要条件」の「ひ」より先に出てくるから、pのほうが「十分条件」とこじつけて覚えなさいと言っています。
    (^_^;)

    一応理解しても、またわからなくなる高校生が多いのは、「十分条件」「必要条件」の定義と、実際の問題との構造が違うせいもあるでしょうか。
    「pならばqである」という命題が真であるとき、pをqであるための十分条件、qをpであるための必要条件という。
    このように、定義ではpとqを逆にして説明しますが、実際の問題では、pとqの配置は固定されています。
    それで、わからなくなる子も多いです。

    例題
    以下の空欄に「十分」「必要」「必要十分」のいずれかの語句を補充せよ。
    xy≧0は、x≧0 かつ y≧0であるための(  )条件である。

    「xy≧0ならば、x≧0 かつ y≧0である」
    という命題の真偽をまず考えます。
    これは、偽です。(反例 x=-1 , y=-1)
    なので、xy≧0は、x≧0 かつ y=0であるためのの十分条件ではありません。
    次に、逆を考えます。
    「x≧0 かつ y≧0ならば、xy≧0である」
    これは、真です。
    なので、xy≧0は、x≧0 , y≧0であるための必要条件です。
    よって、例題の空所を埋める語句は「必要」となります。

    え、え、え?
    今のどういうこと?
    という声が聞こえてきそうです。(^_^;)

    これ、地図を読むような感覚なのかもしれないと思います。
    方向感覚が狂いやすい人は、この逆転が理解しづらいのかもしれません。
    でも、これは慣れることで習得できます。
    慣れてしまえば、単純作業です。


      


  • Posted by セギ at 12:51Comments(0)算数・数学

    2017年05月12日

    集合と要素の個数


    今回は、「集合」の話。
    「集合」は、私が子どもの頃は、中学1年生の最初に学ぶ内容でした。
    現在は、高校1年生で学ぶ内容になっています。
    数Ⅰでも数Aでも出てくるちょっと特殊な単元です。
    数Aの最初に少しだけ出てくるのは、「集合」の基本的なことを知っておかないと、数A「場合の数と確率」の考え方の中で理解できないことがあるからでしょう。
    数Ⅰでは「命題の真偽」「十分条件と必要条件」「対偶による証明」「背理法による証明」などとともに学習します。

    用語も時代によって改められてきました。
    例えば、A∪Bの、「∪」という記号。
    私が子どもの頃は、「むすび」と読みました。
    「むすび」の「む」の字の形が、∪の文字と似ているので、それで覚えましょうなんて覚え方がありました。
    現在、「A∪B」は、「AカップB」と読むか「AまたはB」と読みます。
    「カップ」と気取って読むと格好いいのですが、意味が伝わってこないので、結局、「∪」と「∩」の区別がつかなくなって混乱する子がいます。
    カップは、マグカップ、大きくてなみなみとたくさん入っているほうだよー、と印象づけて覚えれば何とかなるでしょう。
    「A∩B」は、「AキャップB」あるいは「AかつB」と読みます。
    昔、これは「まじわり」で、「交」という漢字の下の部分と同じ形、というイメージで覚えました。
    今は、キャップは「鉛筆などに使うキャップ。マグカップと比べると狭いほう」というイメージで覚えると良いでしょう。

    集合の基本を学んだ後に学ぶのが、ド・モルガンの法則。
    オーガスタス・ド・モルガン。
    19世紀のイギリスの数学者です。
    ネットで、 ̄(オーバーライン)を文字の上に描く方法がわからないので、かなり伝わりにくい話になりそうですが、できるだけ言葉で説明すれば、

    A∪Bの補集合、つまり「AまたはB」の否定は、
    Aの補集合とBの補集合の共通集合、つまり「AでなくかつBでない」と等しい。

    A∩Bの補集合、つまり「AかつB」の否定は、
    Aの補集合とBの補集合の和集合、つまり「AでないかまたはBでない」と等しい。

    わかりにくいので、言葉で説明すれば、
    全体集合をクラスの生徒全員とした場合、
    Aは「スマホを持っている」人の集合。
    Bは「パソコンを持っている」人の集合。
    とするならば、
    「スマホまたはパソコンを持っている、ということはない」という内容と、
    「スマホも持っていないしパソコンも持っていない」という内容は、等しい。

    「スマホを持っていてかつパソコンを持っている、ということはない」という内容は、
    「スマホを持っていないか、またはパソコンを持っていない」という内容に等しい。

    うん、それはそうですよね。

    個数の少ない簡単な集合なら、ド・モルガンの法則なんか使わなくても、そのままで解けるのですが、個数の多い集合の、その個数を求める問題になると、この法則を使わないと混乱が起こります。

    たとえば、こんな問題。

    U={x|xは100以下の自然数}を全体集合とする。その部分集合を、
    A={x|xは2の倍数} , B={x|xは3の倍数},
    とするとき、「Aの補集合またはBの補集合」の個数を求めよ。

    これをまずはこのままで解こうとすると、
    Aの集合の個数は、100÷2=50。
    すなわちn(A)=50。
    よって、Aの補集合の個数は、100-50=50。
    Bの集合の個数は、100÷3=33あまり1。
    すなわちn(B)=33。
    よって、Bの補集合の個数は、100-33=67。
    それでは、Aの補集合またはBの補集合の個数は?
    単純に50+67=117として良いかというと、全体集合の個数を上回っていることからもわかる通り、これは、Aの補集合とBの補集合の共通部分をダブって数えてしまっています。
    ここから、Aの補集合とBの補集合の共通部分を引かねばなりません。
    Aの補集合とBの補集合の共通部分とは、すなわち、2の倍数でも3の倍数でもない数です。
    2の倍数でも3の倍数でもない数?
    そんなのどうやって計算したら良いのでしょうか?
    試しに1から6までで考えてみましょう。
    1,2,3,4,5,6
    この中で、2の倍数でも3の倍数でもない数は、1と5の2つです。
    今後もこの周期で、2の倍数でも3の倍数でもない数があらわれるでしょう。
    6個に2個。
    100÷6=16あまり4
    16周期あまり4だとわかります。
    1周期に2個だから、
    2×16=32
    最後のあまり4の中にも2の倍数でも3の倍数でもない数が1個ありますから、
    32+1=33
    これで、2の倍数でも3の倍数でもない数は33個とわかりました。
    したがって、Aの補集合またはBの補集合の個数は、
    50+67-33=84
    84個が答えです。

    答えを出せないことはないけれど、面倒くさいです。

    これ、ド・モルガンの法則を使えば、簡単です。
    Aの補集合またはBの補集合は、A∩Bの補集合です。
    まず、A∩Bの個数を求めます。
    これは、100以下の自然数のうちの6の倍数の個数に等しいです。
    100÷6=16あまり4
    つまりn(A∩B)=16
    したがって、それの補集合の個数ですから、
    100-16=84
    答えは、84個です。
    簡単ですねー。ヽ(^。^)ノ

    そんなわけで、ド・モルガン万歳です。
    法則とか公式にアレルギーの強い高校生は、何を教わっても利用しようとせず、地道に解こうとして失敗します。
    法則・公式は使いましょう。
    特に、集合がA、B、Cの3つになったとき。
    n(A∪B∪C)=n(A)+n(B)+n(c)-n(A∩B)-n(B∩C)-n(C∩A)+n(A∩B∩C)
    の公式は、絶大な威力を持っています。
    これを使わず、ベン図にあれこれ書き込んで解こうとすると時間ばかりかかってミスしやすいので気をつけたいですね。




      


  • Posted by セギ at 13:58Comments(0)算数・数学

    2017年05月07日

    5月20日(土)、大人のための数学教室を開きます。


    5月6日(土)、大人のための数学教室を開きました。
    数Ⅱの学習に入り、まずは3次式の展開、そして3次式の因数分解と学習しました。
    今回は、4次以上の式の展開に進みます。

    例題 (a+b)4 を展開しなさい。

    これは「二項定理」を用いて解いていくのですが、「二項定理」を理解し活用するためには、数Aで学習した「同じものを含む順列」という学習内容が身についていることが必要です。
    そして、「同じものを含む順列」を理解するためには、「組合せ」の基本を理解していることが前提となります。
    前回の3次式の因数分解でもそうでしたが、数Ⅰ・数Aの学習内容が身についていないと、新しい定理や新しい学習内容が理解できない場合がこの先もどんどん増えていきます。

    高校生への授業でも、「二項定理」を説明していく過程で、生徒が「同じものを含む順列」や「組合せ」を理解していないことに気づき、それらの復習に入ることがあります。
    しかし、そこへ路線変更されたのが理解できなかったのか、「二項定理」と「同じものを含む順列」の説明を混同し、余計に混乱してしまう子もいます。
    説明する側はきちんと路線変更したつもりでも脱線事故が起こりやすいところです。

    ですので、行き詰ってから復習に入るのではなく、今回、まず基本から順番に復習しておきましょう。

    数A「場合の数と確率」の中で、まずは「順列」を学習しました。

    例題 a、b、c、dから3つを選んで順番に並べる方法は何通りあるか。

    これが「順列」です。
    樹形図をイメージして考えていけば良いですね。
    一番目にくる候補は4通り。
    2番目は、そのそれぞれから樹形図の枝が3通りに広がります。
    3番目は、さらにそこから2通りに広がっていきます。
    したがって、式は、4×3×2=24
    これを4P3=4・3・2=24
    と表します。
    答は24通りです。
    したがって、順列の一般式は、
    nPr=n(n-1)(n-2)・・・・(n-r+1)
    となります。
    最後の(n-r+1)の意味がよくわからないという生徒がときどきいますが、要するに、nから順番に1ずつ小さくなる数を全部でr個かけていくということです。
    上の4P3ならば、4から始めて、4・3・2と全部で3つの数をかけました。

    それに対して「組合せ」は順番は関係ない選び方です。
    例題 a、b、c、dから3つを選ぶ方法は何通りあるか。
    3つ選ぶだけなので、順番は関係ないですね。
    abcという選び方も、acbという選び方も、同じ選び方です。
    順番が関係ないことが「順列」との違いです。
    ですから、上の4P3の計算方法では、同じ選び方を何回もダブって数えてしまうことになります。
    具体的には、どれくらいダブって数えているのか。
    abcを例にとれば、そのabc3つの並べ方だけダブって数えているでしょう。
    abc、acb、bac、bca、cab、cbaの6通りです。
    この計算方法は、3つから3つを選んで並べる順列です。
    すなわち3P3=3・2・1=6 です。
    よって、組合せは、上の4P3を3P3で割れば求められます。
    (4・3・2)÷(3・2・1)=4
    答えは4通りです。
    一般式としては、
    nCr=nPr÷rPrですね。

    「組合せ」の基本の復習が終わったところで、次は「同じものが含まれる順列」の復習に進みます。
    例題 a、a、a、b、bの5文字の並べ方は何通りあるか。
    これは、普通の順列5P5ではダメですね。
    普通の順列の計算では、3個あるaや2個あるbをそれぞれ区別して並べてしまうことになりますが、見た目が同じものは、同じ並べ方です。
    このaとあのaは実は違うと言われても、見た目が同じですから、同じ並べ方として数えるしかありません。
    5P5では、同じ並べ方を何回もダブって数えてしまうことになります。

    では、どうするか?
    同じものが含まれる順列は、これらの文字を入れる箱をまずイメージします。
    5個の箱が横に並んでいます。
    その箱のどれにa3個を入れるかを考えます。
    残る2個の箱には自動的にbが入ります。
    3個の箱の選び方で、上の5文字の並べ方を求めることができます。
    すなわち、5C3=(5・4・3)÷(3・2・1)=10
    答えは10通りです。
    ちなみに、bを入れる箱2個を選んでも同じ結果となります。
    5C3=5C2です。
    5C2=(5・4)÷(2・1)=10
    同じですね。

    さて、以上で復習が終わりました。
    いよいよ、ここから一番上の問題を解いていきますよー。

    例題 (a+b)4 を展開しなさい。

    ( )を全て書いていけば、
    (a+b)(a+b)(a+b)(a+b)
    となります。
    これを公式などを使わず、逐一展開していくと、
    =aaaa+aaab+aaba+aabb+abaa+abab+abba+abbb+baaa+baab+baba+babb+bbaa+bbab+bbba+bbbb
    同類項をまとめて、
    =a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4
    となります。
    ( )の中の文字aとbのどちらか1つを選んで4つ並べていくことで1つの項が形成されるのをご理解いただけるでしょうか。
    これを、このように逐一展開するのではなく、計算で解いていく方法はないでしょうか。

    aaaaすなわちa4という項は1つしかないことは逐一展開しなくても予想がつくでしょう。
    aaab、すなわちa3bは、逐一展開する中で何回か同じものが出てくるでしょう。
    それは、何回出てくるのでしょうか?
    その回数がa3bの係数となるでしょう。
    その計算方法はないでしょうか?
    それは、aaabの4文字の並べ方と同じ数ではないでしょうか。
    何番目の( )からbを選んだかの数と同じという言い方もできます。
    「同じものを含む順列」の考え方をここで利用できます。
    aaabの4文字を並べる順列。
    4C1=4です。

    次に、aabb、すなわちa2b2の係数はどうなるでしょう。
    aabbの4文字を並べる順列の数と同じでしょう。
    すなわち、4C2=(4・3)÷(2・1)=6です。

    abbb、すなわちab3の係数はどうでしょう。
    abbbの4文字を並べる順列の数と同じでしょう。
    すなわち、4C3=4C1=4です。

    最後にbbbb、すなわちb4は、1回しか出てこないとすぐに判断できますが、これも組合せの考えを使うならば、
    4C4=1とみなすことができます。
    ならば、最初のaaaaすなわちa4の係数も、4C0=1とみなすことができますね。
    bを1回も選ばないということです。

    よって、
    (a+b)4
    =4C0a4+4C1a3b+4C2a2b2+4C3ab3+4C4b4
    =a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4

    逐一展開したときと同じ結果になりました。ヽ(^。^)ノ

    これを一般化したものが「二項定理」です。
    二項定理をここに書こうかと思いましたが、上の式でも読みにくいのに、nだのrだと文字ばかりになると最悪の読みにくさなので、興味のある方は検索してみてください。

    さて、今回ご参加は一名様でした。
    今回ご参加の方から次回欠席のご連絡をいただきましたので、この「二項定理」の説明を次回もやろうと思います。
    数A「組合せ」の基本と「同じものを含む順列」を復習し、「二項定理」の理解に集中できる状態にしておいていただけますと、スムーズでしょう。

    ◎日時  5月20日(土)10:00~11:30
    ◎内容  数Ⅱ「整式と分数式」を続けます。p6「二項定理」から。
    ◎場所  セギ英数教室
           三鷹市下連雀3-33-13
             三鷹第二ビル 305
           春の湯さんの斜め前のビルです。
    ◎用具   ノート・筆記用具
    ◎参加費 2,000円
           当日集めさせていただきます。
    ◎予約  私の携帯メールかラインに、ご予約をお願いいたします。






      


  • Posted by セギ at 15:42Comments(0)大人のための講座

    2017年05月01日

    不等式の範囲に関する問題。


    さて、今日はこんな問題から。

    問題 次の連立不等式にあてはまるxの値のうち、整数のものが5個あるときの、aの値の範囲を求めよ。
    5x-4≦3x+10
    3x-2a≧3

    「方程式・不等式」の単元でも、関数の単元でも、xやyしか出てこない問題なら解く子が、他の文字、aやmやtが問題文に出てきた途端に、全く手をつけなくなることがあります。
    問題が何を言っているのか、わからないと言うのです。
    xやyに対する認識もふわふわしている場合、他の文字まで対応できないのかもしれません。

    しかし、上の問題の場合、とにかくやれることがありそうなのですが、それもやろうとしないのは残念です。
    無論、単純な計算問題ではありませんから思考力は問われますが、見ただけで諦めている様子の子が多いのです。
    子どもは、解き方の最後まで見通せないと、1行も答案を書きださないことがあるんですが、そんなことをやっていたら応用問題は解けるようになりません。
    とにかく、今できることは何かを考えましょう。
    1つ目の不等式は、aを含んでいないので、普通に解けることに気づくはずです。
    できることをまずやってみると、問題がほぐれてきます。

    5x-4≦3x+10
    2x≦14
    x≦7

    さて、次にどうしましょうか?
    下のほうの式も、解けるだけ解いてみたらどうでしょうか?
    3x-2a≧3
    3x≧2a+3
    x≧2/3a+1

    よって、xの範囲は、
    2/3a+1≦x≦7
    とわかります。

    最初の問題文に戻ると、xの整数値は5個あるとなっています。
    具体的には、3,4,5,6,7がその整数値でしょう。
    ということは。
    2/3a+1という上の左辺を1つの数ととらえたとき、その数が2であったら、xの整数値に2が含まれてしまいます。
    ですから、左辺は2よりは大きいことが必要です。
    また、左辺が3より大きくなってしまうと、xの整数値に3が含まれなくなってしまいます。

    ゆえに、上の不等式から、
    2<2/3a+1≦3
    という新しい不等式を導くことができます。
    これを解いて、
    1<2/3a≦2
    3/2<a≦3

    これが解答です。

    応用問題への姿勢は、子どもによって大きく違ってきますが、代表的なのは2つのタイプです。
    1つ目は、応用問題を見た途端に、もう解くことは諦めてしまう子。
    小学生からそういう傾向は表れます。
    文章題となると、もう全く解かないし、解かなくてもいいと思っている子がときどきいます。
    文章題を解かなくても、計算問題だけ解けば、小学校のカラーテストなら70点から80点くらいは取ることができます。
    あるいは、以前に何度も書きましたが、
    「今はかけ算を勉強しているんだから、かけときゃいいんでしょう?」
    という判断で式を立て、それで正解しているだけの子もいます。
    それで、そこそこ算数はできると満足しています。

    保護者の方も、その点数で「まあまあできているんじゃないの」と思ってしまい、中学受験を考えて塾に入れたりしますと、ここから悲劇が始まります。
    中学受験の受験算数は、入試に出る計算問題は2題程度です。
    あとは、全て文章題です。
    「1行問題」と呼ばれる易しい典型題さえ、そういう子にとっては、難解な応用問題です。
    だから、塾から出される宿題は、ほとんど解けません。
    また宿題をやっていないと怒られたって、わからないんだから解きようがない。
    なんで自分に解けと言うのか、意味がわからない。
    ちょうど反抗期と重なっていることもあり、大人の言うことには内心で全部反抗しています。
    結果、塾に3年通っても、線分図の描き方1つマスターできない子もいます。

    「わからない」と本人は言いますが、わかろうとしているかどうかは、かなり怪しいです。
    受験が近づくと、さすがに入試に落ちるのは嫌だと思うからなのか、以前は解かなかった問題を解くようになりますから。
    わかろうと努力すればわかることも、実はかなりあるということでしょう。
    意欲の問題が大きいのです。
    わかるのなら、最初からこれくらいの意欲で3年間学習すれば良かったのにね、と思うのですが、後悔先に立たずは子どもの常です。

    これは「カラーテストの点数が80点では中学受験は無理」というような単純な話ではありません。
    その80点の取り方の話です。
    問題を解く本人の姿勢の問題です。
    応用問題は、自分には解けないもの。
    そういう限界を決めていない子なら、今がどうであれ伸びていく可能性はあります。

    応用問題への態度としてよくある、もう1つのタイプ。
    これは、応用問題の典型題ならば解けるタイプです。
    応用問題も、教科書や参考書の例題として解説されているものは典型題です。
    典型題として認識し、解法パターンを記憶すれば、解けるようになる子は多いです。
    そういう子は、よく勉強し、努力もしているので、中学生ならば、定期テストの成績は良いことが多いです。

    しかし、入試問題はそのような典型題ばかりとは限りません。
    私立の学校では、学校の方針として、あえて典型題ばかりで入試問題を構成し、努力しているかどうかを評価する場合もありますが、見たことのないタイプの応用問題を入試に出す学校も多いです。
    本当はそれも典型題を2~3種類組み合わせた問題であり、全く新しい問題というわけではないのですが、子どもが「この問題は前に解いたことがある」と感じる種類の問題ではありません。
    高校入試でも、都立自校作成校の数学の問題は、後半は全てそのような問題になります。
    見たことのある問題、解いたことのある問題しか解けないタイプの秀才は、都立自校作成校の問題にはほとんど歯が立ちません。
    もっとも、都立自校作成校の数学の過去問は100点満点で30点から40点しか取れないとしても、合格の可能性がないわけではありません。
    他の受験生も大半がそんなものだからです。
    とにかく高い内申を取ることと、他の科目で取れる点を確実に取ることを実行できれば、数学が30点でも自校作成校に合格は可能です。

    しかし、それは数学的には敗北しているということです。
    上のよくある2パターンではなく、第3のパターンに進みたいですね。
    「初見の応用問題を自力で解くことができる」
    そういう、本物の学力を持ちたいものです。

    そのためには、普段から応用問題への姿勢を変えていく必要があります。
    解法をすぐ見て、解き方を覚えるのではなく、まずは考えてみたいです。
    自分で何とかしようとすることが大切です。
    上の問題で言えば、与えられた連立不等式のうち、1本はすぐ解けるのだから、とにかく解いてみること。
    2本目もどうなるかわからなくても、とりあえず解いてみること。
    解けないのかもしれなくても、試行錯誤をしてみること。
    やれることをとりあえずやってみると、その先のステージに進むことができ、そこから何ができるかを考えることができます。
    途中で詰まってその先に進めないことも多いかもしれません。
    でも、いつかは最後までたどりつけます。
    そういう姿勢で練習を繰り返すことで、初見の応用問題を解けるようになっていきます。

    解き方がわからないと、全く手が動かない。
    最後まで解ける見通しがないと、1行も答案を書かない。
    答案は白紙で、何もやった跡がない。
    解説を聞いて納得し、同じ問題は解けるようになるが、また別の応用問題には立ち往生。
    毎回、その繰り返し。
    それでは、入試問題を解けるようにはならないと思います。

    「だって、どうやるのか、本当に全くわからない」
    そういう声も聞くのですが、そういう子は、何かを考えている様子が見られないことが多いです。
    考えている様子はなく、ただ困っているようです。
    そして、私がしびれを切らして説明するのを待っています。
    そんなふうに見えてしまうことが多いのです。
    できることの選択肢が頭の中にザッと並び、それを取捨選択している気配が目の色にうかがえないのです。
    これは感覚的なものなのですが、目が意識の内側を向いているように見えるとき、この子は本当に考えているという手応えを得ることがあります。
    全く動きはないが、この子は考えている。
    分析と判断を、今、繰り返している。
    そういう表情というのは、確かにあります。
    考えているふりをしているときの表情とは本質的に異なるものです。
    「考えているふり」の表情を作っても、せいぜい1分しかもちませんし。
    人間、本気で考えている場合、5分なんてすぐに過ぎますし、本人の体感ではそんなのは30秒にもならないのですから。


    「何をどう考えていいのか、わからない」
    これももっともな話なのですが、まず「今、何ができるか」を考えることから始めてみましょう。
    応用問題を解ける人は完全に最終解答まで見通して問題を解いている。
    そのように誤解している子は多いですが、解き方を知っている問題を解くのでない限り、そんなことはほとんどありません。
    最後までは見通せないまま解きだしている場合が多いのです。
    とにかく、できることをやってみる。
    整理できることは整理する。
    どうゴールするかを考えるのではなく、とにかくスタートすることから始めてほしいと思います。
    上の問題で言えば、まず1つ目の不等式を解いてみることを発想できるかどうか、だと思うのです。



      


  • Posted by セギ at 12:56Comments(0)算数・数学

    2017年04月26日

    5月6日(土)、大人のための数学教室を開きます。


    4月22日(土)、大人のための数学教室を開きました。
    本日は数Ⅱの2回目。「3次式の因数分解」の授業を行いました。
    まずは公式通りに代入すれば正解に至る問題を練習した後、少し応用問題に入りました。
    例えば、こんな問題です。

    問題 x6-64 を因数分解しなさい。

    シンプルに見えて、これが意外に難しかったようです。

    3次式の因数分解の公式にこういうものがあります。
    a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)
    直前まで、この公式を使うための基本練習をしていますから、当然それに引きずられます。

    xの6乗は、xの2乗の3乗。
    64は、4の3乗。
    ということは、
    x6-64
    =(x2-4)(x4+4x2+16)
    =(x+2)(x-2)(x4+4x2+16)
    よし、できたー。ヽ(^。^)ノ
    と思ってしまうのですね。
    しかし、これは正解ではありません。

    x4+4x2+16 は、さらに因数分解できます。
    数Ⅰで学習しました。
    複2次式の因数分解というものです。
    x4+4x2+16
    =x4+8x2+16-4x2
    =(x2+4)2-(2x)2
    =(x2+4+2x)(x2+4-2x)
    =(x2+2x+4)(x2-2x+4)
    平方完成の考え方を利用する解き方です。
    存在しないものをあえて足し、その後同じものを引いて辻褄をあわせます。
    そんなことをしていいの?とキョトキョトする高校生もいます。
    そのときは理解できても、定期テストが終わると、もう忘れてしまう子も多いです。

    子どもは天性の陽気さを持ち、楽天的で、接していてそれに助けられることは多いのですが、
    「数ⅠAくらいは大丈夫だから」
    と言う子もいて、ちょっと困ってしまうこともあります。
    定期テスト以降、一度も復習らしいことをしていないのに、どうして大丈夫だと思うのでしょう。
    数Ⅱの学習になると、数Ⅰとは段違いの難しさにびっくりして、理系に行くつもりだった子も諦めて文系に進路変更することがありますが、数Ⅱが難しいというよりも、数Ⅰの学習内容が身についていないから数Ⅱがわからない場合は多いです。
    今回のこの因数分解の問題もそうですね。

    それにしても、この問題、本当にこんなに難しい解き方しかないのでしょうか?
    実は、もっと易しいやり方があるのです。

    x6-64
    =(x3+8)(x3-8)
    =(x+2)(x2-2x+4)(x-2)(x2+2x+4)

    中3で学習した2次式の因数分解の公式、a2-b2=(a+b)(a-b)をまず利用します。
    その後、3次式の因数分解の公式を利用すると、このように簡単に解いていくことができます。
    3次式の因数分解を勉強したのだから、3次式の公式だけを使うのだ。
    そういうふうに視野が狭くなっていると、一番上の解き方しか発想できません。
    とにかく視野を広くして、これまで学習したことは全て使うのだと思って解いていくと、楽な解き方を発想できると思います。

    続いて、「3次式の展開公式の利用」。
    こんな問題です。
    x+1/x=3のとき、x3+1/x3の値を求めよ。

    対称式の値に関する問題です。
    これも基本は数Ⅰで学習済みです。

    しかし、基本対称式は、和と積と2本の式があるはずなのに、この問題は和の式しかない。これじゃ、解けないよ。

    こういうふうに考えてしまう子は、x・1/x=1 となることに気づいていないのです。
    何年か前、数学が苦手な男子高校生とこんな会話を交わしたことがあります。
    「x・1/x=1になるんですよ」
    「何でですか」
    「約分すると、そうなりますよ」
    「どうしてですか」
    「分母のxと分子のxを約分すると、1になるでしょう?」
    「でも、xって、何の数かわからないじゃないですか」
    「・・・・え?」
    「何の数かわからないのに、約分していいんですか」
    xが0の場合はダメなのですが、今回はそうではないし、その話をすると余計に混乱しそうです。
    「・・・・いいですよ。分母のxが例えば8なら、分子のxも8なのだから、約分できるじゃないですか」
    「xが8って、何でわかるんですか」
    「『例えば』と言いましたよ。8でも7でも、分母のxと分子のxは同じ数ですから、約分できますよ」
    「分母のxが8で、分子のxが7だったら、どうするんですか」
    「そういうことはないから、大丈夫ですよ」
    「何で大丈夫だってわかるんですか」

    ・・・・うーん、これは厄介だ。
    数学が苦手な子の頭の中で、「変数x」は、こんなにも不安定なものなのだなあと感じました。
    数Ⅰの復習云々ではなく、小学校の「関係をあらわす式」のあたりから、もうxとyに不信感があり、理解したふりで理解できずに高校生になってしまったのだろうと思います。
    方程式のときはxの値が定まったり。
    関数になると定まらなかったり。
    数学がわからない子は、このあたりが特に混沌としているのかもしれません。
    この子は、中学生の頃はほとんど無言で何を考えているのかよくわからない子でした。
    勉強全体が苦手なのだけれど、何がどうわからないのか語ることもありませんでした。
    高校生になって遅い反抗期が来た様子で、ふいに饒舌になり、今まで不信を抱いていたことを語るようになりました。
    喧嘩ごしのことも多く、対応が大変でしたが、ああ、こういうことがわからないのかと知る機会があったのを懐かしく思い出します。

    ともかく、上の問題を解いてみましょう。
    x+1/x=3 のときのx3+1/x3の値です。
    これは、この公式を利用します。
    a3+b3=(a+b)3-3ab(a+b)
    何でそうなるというほどのものではなく、右辺を展開すれば左辺になりますね。
    対称式の値を求めるために作られた公式です。
    a2+b2=(a+b)2-2ab
    の3次式版、といったところです。

    x3+1/x3
    =(x+1/x)3-3x・1/x(x+1/x)
    =33-3・1・3
    =27-9
    =18

    さて、次回の大人のための数学教室のお知らせです。

    ◎日時  5月6日(土)10:00~11:30
    ◎内容  数Ⅱ「整式と分数式」の学習を続けます。p5「3次式の展開公式の利用」大問8 から。
    ◎場所  セギ英数教室
           三鷹市下連雀3-33-13
             三鷹第二ビル 305
           春の湯さんの斜め前のビルです。
    ◎用具   ノート・筆記用具
    ◎参加費 2,000円
           当日集めさせていただきます。
    ◎予約  私の携帯メールかラインに、ご予約をお願いいたします。





      


  • Posted by セギ at 13:05Comments(0)大人のための講座

    2017年04月24日

    外秩父七峰縦走ハイキング大会、完歩しました。2017年4月。


    2017年4月23日(日)、恒例の外秩父七峰縦走ハイキング大会に参加しました。
    去年は、足の具合が思わしくなく参加できず。
    その後、独りで同じコースを歩いたら、夏日でバテたのと、靴ズレで両足の裏に大きな水ぶくれができて速く歩けず、完歩はしたものの寄居駅到着午後8時というとんでもないことになってしまいました。
    年々ゴールは遠くなります。

    三鷹4:38。そこから西国分寺で乗り換え、北朝霞駅へ。
    一昨年、ここの乗り換えに失敗し、電車が1台遅れてしまいました。
    今回は、階段に最も近い車両からダッシュで改札を抜け、隣りの東武朝霞台駅からホームへと駆け上がりました。
    時刻表は2年前と変わらないのに、余裕で間に合いました。
    一昨年は、JRが30秒遅れて到着したなどのアクシデントがあったのかなあ?
    それほど今年は余裕がありました。

    多分去年からなのでしょう、受付は小川町駅前ではなく小川町役場でした。6:40
    駅から徒歩3分。
    受付で受け取ったのは、記録カード、コースマップ、キシリトールガムの試供品。
    参加賞もなくなったのですね。
    私はこの大会、10回くらい参加しているのですが、昔の「何だこれ?」感の強い、多機能過ぎて現実にはあまり役に立たないものから、近年の手袋など、もらってとても嬉しく重宝しているものまで、色々思い出があります。
    なくなるのは寂しいですね。

    役場からも人の流れは途切れることなく続きます。
    私の見た限りのことなので事実と違うのかもしれませんが、高齢者の参加が激減した印象がありました。
    あれ?今年から年齢制限が設けられたのだったっけ?と思ったほどです。
    完歩帽がなくなったからかな。
    ・・・いや、インターネット申込みだけになったのが大きいのかもしれません。

    バテるのを恐れてセーブし、ほとんど人を追い越さずに、まずは官ノ倉山登山口へ。
    渋滞。7:20。
    登山口で渋滞するのは例年のことですが、今年は登り口がもう見えているところでの渋滞開始でした。
    人の流れがかなりスムーズな様子です。
    どういうことだろう?

    登っていってわかりました。
    鎖場付近にスタッフがいないのです。
    数年前、ここで倒れた人がいて以降、ここには必ずスタッフが立ち、参加者は一列になって登っていたのですが、今年はスタッフがいませんでした。
    複線化した登山道を3列くらいに別れて登っているので、渋滞がかなり解消されているのです。
    スムーズなのはいいけれど、落石の危険もあるのに、こんなに我先に登るようになって大丈夫なのかな?

    鎖場を過ぎ、山頂を回避するいつもの左の道をとろうとしたら、道がなくなっていました。
    崖崩れでも起きたのでしょうか。
    石尊山山頂を通過する道しかありません。
    1年で山は変わるなあ。

    そこからは少し滑りやすい急坂を下りて、あとはなだらかな良い道がしばらく続きました。
    流れがかなり速いです。
    官ノ倉山CP。8:10。
    登山口までほとんど人を追い越していないのに、例年通りの完歩ペースでした。
    ロープの張ってある下り道もスムーズに通過して、車道へ。

    去年、独りで歩いたときは、ここからの車道歩きで体温が上がり、その後、バテて速く歩けなくなりました。
    今年は、首には保冷剤をつけ、服装も白いTシャツを選ぶなど、慎重に暑さ対策を講じました。
    同時に、靴ズレ対策も万全。
    靴ズレしやすい位置にあらかじめ絆創膏を張り、靴下もヨレがないように丁寧に履き、靴を履くときも慎重に靴下の位置を修正しました。

    和紙の里。8:40。
    昨夜、三鷹は予想外に激しい雨が降って今朝食べる分のパンを購入できず、ビスケットをちょっとつまむ程度で出てきましたから、お腹がすきました。
    ここで買い食いをするのは初めてでしたが、おやきを購入。130円。
    まだ温かくておいしーい。
    ヽ(^。^)ノ

    建物をくぐり、印象的な八重桜の木を眺め、さて登り坂の始まりです。
    階段とスロープに別れた道を登り切っても安心はできません。
    V字を描いて左折するところから、舗装された林道の長い長い登りが始まります。
    傾斜は大したことはないのですが、何しろ長いので、晴れた日はアスファルトの照り返しでたちまち体温が上昇します。
    今年はそれを恐れ、加減して歩きました。
    それでも、この先の渋滞回避のため、本当に遅い人は追い越します。
    今年は追い越しがスムーズでした。
    横に広がって大声で喋りながら歩き、追い越すのが面倒なグループをあまり見かけませんでした。
    1人または2人参加で、黙々と歩いている人が大半の印象でした。

    一昨年うっかり入ってしまった、車道左側のコース外の上り坂。
    今年もそこに道しるべはありましたが、向きがはっきり車道を示していて、誰1人誤って入っていくことはありませんでした。

    長い坂道を登りきると、そこからコースは2つに別れます。
    左の車道はかなり遠回りです。
    でも、右の登山道は例年渋滞します。
    いつも通り右の登山道を選択。
    渋滞を言い訳に少し立ち休憩するつもりでした。

    ところが今年は一度も詰まることなく通過できてしまいました。
    今年は参加者そのものが少ないのかもしれませんが、高齢男性や中高年女性の参加が減ったことも大きいように思います。

    だからといって、それを単純に喜ぶ気持ちになれず、何だか気持ちが沈んでしまいました。
    この大会の面白さは、遅い人をいかに上手く回避し時間内にゴールするかのゲーム的要素が強いと私は感じていたせいかもしれません。
    42kmを歩けるかどうかだけの話なら、何でもない日に独りで歩けばいいのです。
    体力さえあれば歩けます。
    コースの明瞭な低山と舗装道路なんですから。
    参加者6千人。
    半分歩ければいいと思っている参加者もいて当然です。
    体力が尽きて、一所懸命なんだけれど速く歩けない人もいます。
    その人たちが塞ぐコースをいかに時間内に歩くか。
    それが面白いから、わざわざ大会の日に歩く。
    私がこの大会にはまっている要素の1つは、そのゲーム性なのでしょう。

    萩平丁字路。10:00。
    渋滞がなかった分、例年より少し早く着きました。
    ここから、道はまた2つに別れます。
    登山道は滑りやすい粘土質の道。
    例年、大渋滞が起こります。
    ここは舗装道路を選択。
    ところが、合流点に来てみると、人がスムーズに通っています。
    いやいや、合流点はスムーズなだけで、途中でかなり詰まっているのかも。
    そこからもまた舗装道路を選択。
    次の合流点は、登山道から舗装道路に上がるところが滑りやすい急な登りになっていて、ためらう人や時間がかかる人が多く、そこが詰まって例年大渋滞が起こります。
    今年、そこにはロープが張ってあり、しかも、登ってくる人がいませんでした。
    ・・・・これは、登山道のほうもかなり空いているのかも?

    とはいえ、次も舗装道路を選択。
    判断を誤って後悔したくない。
    3つ目の合流点からは登山道一択です。
    登山口から渋滞が始まりました。
    ほらね、ほらね。

    笠山への登り坂は、例年大渋滞が起こります。
    急な登り道のため、登りに弱い人が登山道を塞いでしまうのです。
    無理をすると私も体温が急上昇して歩けなくなるので、この渋滞はむしろ歓迎。
    のろのろペースで楽に山頂までたどり着きました。
    笠山CP。11:15。

    笠山からの下りは急に人の流れがよくなりました。
    ときどき木やロープにつかまりながら、ガレ場の下りを通過。
    いったん車道に出て、再び登山道に入ります。
    歩きやすい緩いアップダウンを繰り返し、笠山峠からはまた登り坂です。
    旧道と新道と2つあり、渋滞に辟易しているなら広い旧道のほうが追い越しやすいのでそちらにしようと思っていましたが、むしろ渋滞が恋しい気分で、新道を選びました。
    多少詰まり気味でしたが流れはあり、ときどき道幅が広くなるところで追い越したり追い越されたりして、旧道との合流地点までこれも楽に登れました。
    そこから堂平山への最後の登りは結構こたえました。
    やっぱりバテてきているかなあ。

    堂平山は、広く平らな芝生の山頂です。
    すがすがしく、このコースの中でも好きな場所の1つです。
    前夜の雨で空気が澄んで、眺望も良好でした。
    ああ、両神山が見える。
    上の写真は登山道を振り返って撮ったものです。

    そこから車道に出ると堂平山CP。11:53。
    スタンプがいくつか置かれてあって、自分で押すシステムでした。
    テントが張られ、色々な売店が並んでいる様子を左手に見ながら、ここは休憩なしで通過。
    一昨年までいたコバトンを初めとするご当地キャラが今年はいません。
    去年は雨が降ったから来なかったのかもしれませんが、今年は、もう本当にいないんだなあ。
    この大会に対する地元の姿勢が変わってきたということなのかなあ。
    あまり経済効果がないのですかね?

    舗装道路をしばらく歩き、剣ヶ峰CP。12:05。
    そこから登り坂が始まり、その先は丸太の短い階段です。
    ここをきつく感じ、暑さでバテ始めていることに恐怖しながら何とか登りきり、そこからの気持ちの良い下り道でどうにか息を整えました。

    白石峠で車道を渡ると、今度は丸太の長い登り坂です。
    土が流れ落ちて丸太が飛びだし、歩きにくいところでしたが、その全てに土嚢が入り、とても歩きやすい階段道に変わっていました。
    わあ、良かった。
    整備してくださってありがとうございます。
    ヽ(^。^)ノ

    先程の丸太の短い登り道でかなりもたついたので、今年は追い越したい人が楽に追い越せるよう、右端を地道に歩きました。
    ところが日向は辛くても、ここは日陰。
    冷たい風も吹いています。
    しかも空いています。
    自分のペースで淡々と登ったら、あっけなく登り切ってしまいました。
    おお?
    これは、まだいける?

    その先は、しばらく平坦な道。
    そして緩いアップダウンが繰り返されます。
    例年渋滞する岩がちな登りは少し詰まり気味でしたが、それなりに動きはありました。
    気持ちの良い道を流れに乗って歩き、急な下りを終えると、車道へ。
    定峰峠。13:05

    定峰峠は売店のあるオアシスです。
    ここまででスポーツドリンク500mL3本を飲み切っていたので、スポーツドリンク2本とコーラを購入しました。
    先週、赤コーラの威力を実感しました。
    こういうときはカロリーゼロなんかダメです。
    砂糖、カフェイン、炭酸。
    疲れた身体にガツンと高カロリー。
    普段、コーラや栄養ドリンクとは無縁の生活をしているから効くのであって、こういうものを常用するようになってはいかんなと、有難く飲んでいるくせに難癖をつける変なモードで大休憩しました。

    さて、次は大霧山への登りです。
    この縦走コース上でバテる危険度が高いのは、和紙の里から萩平丁字路までの車道。
    堂平山への登り。
    そして、大霧山への登り。
    ここさえクリアできれば、完歩の可能性が高まります。
    頑張ろう。
    大霧山までは小さなアップダウンが繰り返されますが、中でも大きな登りが3か所あります。
    1つ目は、登山口に入ってすぐの登り。
    やはり疲れています。
    かなりこたえました。
    それでも、下りに入れば獅子岩を確認する余裕はありました。
    晴れて日差しはありますが、上空に寒気が入っていて、最高気温は20度止まり。
    日向は暑いけれど、日陰に入れば意外なほどヒンヤリしていて冷たい風も吹いていました。
    それに助けられました。
    これで夏日だったら、ここで終わっていましたね。
    2つ目の登りも何とかクリア。
    人の列も途切れ気味になってきて、自分のペースで歩けるのも大きかったです。
    右手にフェンスが現われ、緩い登り坂を行き、左折すると最後の大きな登り。
    岩がちのこの登りをクリアすると、大霧山CP。14:20。
    良かった。完歩ペースです。
    これなら、大丈夫。
    大霧山からの眺望も抜群でした。

    さて、ここからは急な下りが続きます。
    まだあまり摩耗していないトレイル・ランニングシューズを履いてきたので、例年よりも靴底の性能が良く、こういう下りは楽に通過できました。
    どんどん下って、粥新田峠。14:45。
    ここの下山指定時刻が15:20なので、体力は残っていても、ここで引っかかってしまうと完歩できません。
    体力はまだあるのに完歩できない悲劇は、主にここで起こるようです。

    そこから舗装道路の緩い登りがあり、その先は車道。
    秩父高原牧場が見えてきました。
    名物のソフトクリームは長い行列ができていましたが、立ち休憩のつもりで列に並びました。
    1個300円。
    10分並んで購入できました。
    食べながら車道を登っていきます。
    長い車道の登りを終え、二本木峠を越えて、皇鈴山への登山道へ。
    ここは短い登り坂なのですが、例年渋滞が起こります。
    最後の最後、ここに来て体力の尽きた人の起こす渋滞です。
    体力が尽きたのは仕方ない。
    その人を責めても意味はありません。
    渋滞の原因となっている先頭の人を後ろの人が登山道が少し広くなるチャンスを活用して上手く追い越していくとそれでも大きな渋滞にならないのです。
    遅い人の後ろの2~3人が遅いペースに乗ってしまうと、後は全員がそのペースで歩くことになります。
    今年は、この最後の渋滞が長かったです。
    皇鈴山CP。15:50。
    たったか下ろうと思いましたが、そこもすぐに渋滞。
    詰まり気味の登山道を歩いていきます。
    いったん車道に出てしばらく行くと、七座目、登谷山への最後の登り。
    やはり渋滞気味のまま、何とか山頂。16:10。
    寄居の町を見晴らして、先を急ぎます。
    下りの登山道はすぐに壊れかけた舗装の道に変わり、道が広いので、自分のペースでたったか下っていけました。
    舗装道路まで下りて、ひと安心。
    ここから先は渋滞はありません。
    時間的にも、もう必ず完歩できます。
    釜伏峠。16:15。
    もう接待は終わっている時刻でしたが、まだ夏みかんが残っていました。
    わあい。ヽ(^。^)ノ
    名水の日本水をペットボトルに汲み、500mLを2息で飲みほして、さあ、最後の車道歩きです。
    体力が残っていることを実感。
    前半でセーブしたことが効いている様子です。
    ガンガン追い抜きます。

    ゴールの鉢形公園。17:45。
    無事、完歩できました。
    1250番くらいとのことでした。
    いつもの完歩証明書をもらいました。

    去年で完歩帽はなくなりました。
    そうか。
    完歩帽がなくなったということは、私の好きな完歩タオルマフラーもなくなったのですね。
    今持っているものを大切に使っていこう。
    無料配布はなくなりましたが、完歩帽もタオルマフラーも有料販売はしていました。
    去年の残りなのでしょうか。
    タオルマフラー1000円。
    ほほお。

    ゴール会場には、食べ物・飲み物のテントが並んでいました。
    芝生にレジャーシートを敷いて、遅れている仲間を待ちながら宴会を始めているらしい人たちが何組もいました。
    時間内にゴールしてきた仲間を迎える華やいだ声がこだまします。
    私も缶ビール500mLを400円で購入。
    飲み干して、寄居駅へと向かいました。

      


  • Posted by セギ at 14:54Comments(2)

    2017年04月20日

    1次不等式の文章題。



    不等式。
    昔は中学2年生で学習する内容でしたが、「ゆとり教育」の時代に高校の学習内容に移り、新課程になってもそのまま高校数Ⅰの学習内容となっています。
    高校数学としては易しいと思うのですが、ケアレスミスのなくならない単元でもあります。
    例えば、こんな計算問題です。

    2-3x>2x-8
     -5x>-10
        x<2

    両辺を-5で割るので、不等号の向きが逆になります。
    負の数の絶対値の大小関係からそうなるのですが、何で逆になるのかよく理解できないまま「そういうものだ」と丸暗記して、結果、すぐ忘れてしまうミスが目立つところです。

    さらに難しいのは、文章題。
    苦手な人が多いです。
    たとえば、こんな問題です。

    ある商品をA店で購入すると、1個につき10%値引きしてくれます。同じ商品をB店で購入すると、最初の1ダースは定価ですが、それより多い個数については、1個につき17%値引きしてくれます。何個以上購入するとき、B店で購入するほうが安くなりますか。

    x個購入するとして、不等式を立てます。
    (A店での購入金額)>(B店での購入金額)
    という式になれば良いですね。
    しかし、ここで困るのは、1個あたりの定価がわからないこと。
    そういうときは、それも文字にしてみると関係がスッキリします。
    多分、その文字は2行目で消える。
    慣れてくるとそういうことも判断できますが、その判断ができなくても、とりあえずやってみることが大切です。

    1個あたりの定価をa円とします。
    A店では10%値引きしてくれるので、1個0.9a円となります。
    それをx個買うので、購入総額は、0.9ax円。
    いっぽうB店は、1ダースまでは定価です。
    たまに、ダースという単位を知らない高校生がいます。
    1ダースは12個です。
    ダースやカートンは普段使わない単位なので、仕方ない面もありますね。
    ダースは鉛筆で、カートンはタバコでしか使わないイメージが私にもあります。
    流通業界では、きっと今も高い頻度で使っているのだと思うのですが。

    とりあえず、1ダース分の購入金額は、12a円。
    全部でx個買うのですから、値引きされる個数は(x-12)個となります。
    17パーセント値引きされるので、1個の金額は0.83a円。
    よって、値引き分の購入金額は、0.83a(x-12)円。
    したがって、B店での購入総額は、12a+0.83a(x-12)円。
    これで不等式を立てることができます。
    0.9ax>12a+0.83a(x-12)   
    予想通り、全体をaで割れば、aを消すことができます。
    0.9x>12+0.83(x-12)
    あとは、これを解くだけです。
    全体を100倍して、
    90x>1200+83(x-12)
    90x>1200+83x-996
    7x>204
    x>204/7
    x>29+1/7
    よって、30個以上買えばB店のほうが安くなります。

    以前、この問題を解説していて、興味深い質問を受けたことがあります。
    x個買うのではなく、x個以上買うのだから、式で使う個数はx個と決めつけるわけにはいかないのではないかというのです。
    (x+1)個かもしれないし、(x+2)個かもしれないのに、x個と決めることはできない。
    でも、そうすると、左辺・右辺の値が場合によって変わる気がする。
    どうやって、不等式が立てられるんですか。
    その子は、そう言うのでした。

    「x個以上買う」のではなく、「x個買う」のです。
    不等式を解いた結果、xの範囲が不等式で表れて、何個以上買えばよいかわかるのですよ。
    そう説明しても、スッキリした顔はしていませんでした。

    その子の論はいわゆる「詭弁」でしょう。
    アキレスと亀に代表される、あれですね。
    数学よりも哲学の匂いがします。
    面白いなあと思いました。

    数学が苦手な子の多くは、なぜわからないのかを語る言葉を持ちません。
    だから、たまにこういう刺激を受けると、私はわくわくします。
    ただ、こうした詭弁に取り付かれてしまった子に正しい解き方を理解してもらうのは、まっさらな状態の子に教えるよりも数倍難しいのですが。

    これも昔、大人の方で、就職関係の試験に数学があるのに数学がとても苦手で、過去問を入手したけれど答しか載っていなくて解き方がわからないというご連絡をいただき、1回きりの個別指導をさせていただいたことがあります。
    その方は、計算問題ならば自力で解けるのですが、文章題で苦戦されていました。

    「8%の食塩水と14%の食塩水を混ぜて、12%の食塩水を300g作ります。8%の食塩水を何g混ぜれば良いですか」

    連立方程式で解いても良いのですが、xとyと、2種類も文字が出てくると、その計算方法から練習しないといけなくなります。
    xだけの1次方程式で解こうと私は判断し、説明を始めました。
    「求めたい8%の食塩水をxgとします。そうすると、14%の食塩水は、(300-x)gと表すことができますね」
    「えっ、何でですか?」
    「えっと・・・・・・」
    「300って、どこから出てきたんですか?」
    「ああ。混ぜたら300gと、問題に書いてあるので、それを使っています」
    「あっ。だったら、8%の食塩水も、(300-x)gじゃないんですか?」
    「あ。そのときは、14%の食塩水のほうをxgとしていますよね。今は、8%の食塩水をxgとしています」
    「え?」
    「どちらも、(300-x)gとしてしまうと、じゃあ、xは何なんだという話になりますよね?」
    「え?そうですか?」
    「うーん・・・・・」

    こういう対話をしているとき、私は、内心でワクワクしています。
    面白いなあ、と感じています。

    子どもの多くは、文章題が苦手です。
    立式できません。
    でも、何が頭の中で詰まっているのか、教えていてよくわからないことがあります。
    「何がわからない?何で困っている?」
    と問いかけても、子どもの多くは、黙り込んでしまいます。
    思っていることを口にして、バカにされないか。
    叱られないか。
    そういう迷いもあるかもしれませんが、何よりも、子どもは自分が思っていることを表現する力が足りません。
    多くの場合、何をどう考えているか説明する言葉を持っていないのです。

    自明の理のように感じられることのどこに誤解の要素があるのだろう。
    そのことを照らし出してくれるのは本当にありがたいです。

    また別の問題で、
    「ある商品の3割の値段と書いてありますから、定価×0.3となります」
    と説明しますと、
    「えっ。3割は、×0.7じゃないんですか」
    「あ。それは、3割引きの場合です。今は、ある商品の3割の値段となっていますから、×0.3なんです」
    「えっ。3割って、0.7のことじゃないんですか」
    「あー・・・・・・」
    「ああ、そうか。いつもいつも3割引きって計算しているから、もうそこが頭の中でつながってるんだ」
    「ああ、そうかもしれません」

    こういう1つ1つの誤解が、本当に面白くて、忘れがたい90分でした。
    私自身が、すごく勉強になったと感じました。

      


  • Posted by セギ at 14:18Comments(0)算数・数学

    2017年04月17日

    上川乗から高尾まで縦走しました。2017年4月。


    2017年4月16日(日)、恒例の縦走をしてきました。
    ホリデー快速あきかわ3号に乗車し、終点武蔵五日市駅下車。
    駅前から数馬行きのバスに乗車。
    今回は、4台同時発車でした。
    出発。9:00。
    上川乗下車。9:40。
    まずはバスの進行方向に進み、三叉路で左折します。
    橋を渡って、上り坂を歩いていくと、登山口です。9:55。
    熊除けの鈴をリンリン鳴らしながら、ジクザグ道を登っていきました。
    道が平らになり、尾根を乗り越すように向こう側にまわると、すぐに浅間峠。10:40。
    ここで早くも靴ズレに気づきました。
    以前は平気だった靴で靴ズレするようになったということは、足の形が変わったのかなあ。
    そして、絆創膏がザックに入っていないことに気づいて、愕然としました。
    とりあえず、靴下の中にティッシュを挟むことで応急処置。

    ラジオからは、夏日の予報が流れていました。
    まだ新緑の季節には早く、木陰が少ない埃っぽい春の笹尾根を行きます。
    足が痛いのに加えて、ここで一気に体温が上昇。
    先週まで奥多摩は積雪が懸念されていたのに、今度は急に夏日。
    アップダウンが堪えます。

    熊倉山。11:40。
    去年は5月の新緑の中を歩いて、気温も今日より低かったので、今年より20分早く到着しました。
    今日は、ベンチも陽当たりが良過ぎて、暑い・・・。( ;∀;)
    しかし、下っていった先にカタクリを見つけて、心なごみました。
    軍刀利神社からは、予想しなかった富士山の大きな姿を見ることができました。
    春霞で少しぼんやりしている富士山でした。
    まだ雪が多いなあ。

    三国山。12:10。
    去年より25分遅れです。
    ここは例年通り人でいっぱいでした。
    ベンチからはみ出し、登山道脇で食事している人も多数。
    休憩は諦めて、先に進みます。
    生藤山への岩がちな登り。
    ゆっくりゆっくり登る高齢者パーティに行く手を阻まれているふりで、実はゆっくり登れて助かっている自分を発見する登り坂でした。

    生藤山の山頂はもともと狭いのですが、ここも満員。
    さらに先を目指します。
    こうして、休憩が先へ先へと伸びていくのはバテていく1つのパターンなのですが、木陰すらないので、先に進むしかありません。
    生藤山の下りは本日一番の難所です。
    今回は、靴ズレしているとはいえ、靴自体はグリップ力のあるものなので、安心して通過できました。
    ここからはのどかな良い道が続きます。
    まき道から来た人がヘルメットにピッケルを手にしていました。
    わあ、どこから来たんだろう。
    奥多摩の上のほうは、まだ雪が残っているようです。

    連行峰のベンチでようやく昼食休憩。12:45。
    日が陰り、風が強くなってきて、ようやく涼むことができました。

    ここから醍醐丸まで、いつもはあっという間のところをひどく長く感じ、疲れを実感しました。
    だんだん道が険しくなり岩がちになってきても靴底は安定しているので、その点は安心なのですが、登りがつらいのです。
    やっと醍醐丸。14:00。去年より30分遅れ。
    山頂のベンチに座り、ザックからヘッドランプを取り出し、電池を入れて点灯を確認。

    ようやく和田峠まで下りて、売店でコーラを購入。14:40。
    ベンチに座って大休憩。
    このコーラが効きました。
    最悪のときのカフェインと砂糖と炭酸の効果は絶大ですね。
    がつんと覚醒する感じです。
    もうここから下山しても良いのですが、体温さえ下がれば体力はまだ十分あります。
    多分日没にはなるけれど、先に進むほど安全度の増すコース。
    よし、最後まで行ってみよう。

    階段道を登り返して、陣馬山。15:10。
    山頂はまだ人が沢山いました。
    ここから1時間もかからず陣馬高原下に下山できますから。
    さて、私はここからが長いぞー。

    明王峠。15:45。
    いつも通りのペースに戻ってきました。

    しかし、底沢峠のところで、まき道と間違えて底沢へと下る道に入ってしまいました。
    道しるべがあるのに、見逃しました。
    やっぱり暑さでぼんやりしていたのかなあ。
    これは痛恨のミスです。
    何度歩いたかわからない奥高尾主脈でこんな道迷いをしてしまうとは。
    どんどん尾根と離れていき、さらにジクザグに曲がっていくことがわかったところで登り返しました。
    もう少し早く気づきなさいよ、ですね。
    底沢に降りることも考えたのですが、歩いたことがない道を下るのは、この時間ではむしろ危険かなと感じました。
    相模湖駅まで長そうですし。
    奥高尾主脈を歩いたほうが、最悪でも日没前に城山まで着ければ、そこからの道はヘッドランプで楽に歩けます。

    景信山は巻いて、小仏峠。17:30。
    熊鈴をリンリン鳴らして歩いている私に向こうから来た男性が声をかけてきました。
    「鈴を鳴らしているということは、クマが出る可能性があるということですか」
    「はい・・・・。朝や夕方には目撃情報があります」
    「うわあ、マジか。まあ気をつけます」
    山姿ではないこの人は、こんな時間にこれからどこへ行くのだろう。

    一丁平からは、桜の道。
    夕暮れで、写真はもう撮れないけれど、肉眼で眺めるには十分です。
    きれいだなあ。
    飽かず眺めました。

    紅葉台への登り道は取らず、まき道を行く途中でヘッドランプ点灯。
    高尾山下。18:30。
    ケーブルの最終がちょうど出る時刻でした。
    あと30分早ければなあ。
    やはり、道迷いが痛恨のミスでしたが、夏日でペースが落ちたのが根本の原因ですね。
    普段は、最終より1つ前、18:15のケーブルに乗車できますから。

    高尾山も巻いて、道がコンクリートになると、さらに安心です。
    トイレのところで他の登山客と遭遇しました。
    日没後の高尾山は無人ではないのですね。
    薬王院にも何人か人がいました。
    大きなカメラや三脚持参の人たちです。
    夜桜を撮るのかな。
    星を撮るのかな。

    双眼鏡が設置されている、見晴らしの良いところにも数人。
    夜景を見物に来ている様子です。
    私も少し立ち止まって眺めました。
    ダイヤモンド富士を撮影に来たとき、ここの夜景も撮影したけれど、スマホではあまりきれいに撮れなかったので、今回はひたすら目に焼き付けました。

    さて、1号路を下ります。
    懐中電灯で登ってくる人がいます。
    トレイルランナーもいます。
    ハセツネは夜間に奥多摩を走りますので、夜に走る経験は必要なのでしょう。
    登山者や観光客を気にせず走れますし。

    「夜間登山は危険です」
    という看板を見て、すいませんと小声でつぶやいていたら、光る2つの目を発見しました。
    地面すれすれの位置です。
    私のライトが反射しているのでしょうが、夜に活動する動物の目って本当に光るんですね。
    多分タヌキでしょう。
    しばらく立ち止まってこちらを見ていましたが、1号路を横切って斜面に消えました。
    夜の1号路は、いろんな発見があります。

    下山。19:40。
    登山口からは街灯の灯りで歩いていけました。
    高尾の麓も桜が満開。
    街灯の光でも十分にきれいでした。
    しばらく見とれて、駅に入りました。

      


  • Posted by セギ at 13:46Comments(0)

    2017年04月13日

    対称式の計算と、数学の成績がなかなか上がらない理由。


    対称式の計算について、まずは考えてみましょう。
    対称式とは、文字を入れ替えても値の変わらない式のことです。
    例えば、x+y。
    xとyを入れ替えても、値は変わません。
    x2+3xy+y2
    などもそうです。
    その中で、x+yとxyの2つを特に基本対称式と呼びます。
    この2つを利用した計算問題は、高校数学の各単元で繰り返し出てきます。

    問題 x+y=5、xy=3のとき、x2+y2の値を求めよ。

    x+y=5
    これをまずは2乗してみます。
    (x+y)2=25
    これを展開すると、
    x2+2xy+y2=25
    xy=3を代入して、
    x2+6+y2=25
    よって、
    x2+y2=19

    答案としては、
    x2+y2=(x+y)2-2xy
    として一気に代入して計算してOKです。

    そんなに難しくないはずなのですが、高校生の中に、これを、
    「わからない」
    「わからない」
    と言い続ける子がいます。

    勝手に(x+y)を2乗して、2xyを引くことで辻褄を合わせるやり方に納得がいかないのでしょうか。
    存在しないものを勝手に足して、その上で同じものを勝手に引いて、ほら解けた、というやり方が釈然としないのでしょうか。
    存在しないものは勝手に足してはいけない、そんなやり方はありえない、という思い込みが他の人より強いのかもしれません。

    もう1つのタイプは、理解できないことはないけれど、自分で実際に解くときにそのやり方を使える自信がない。
    存在しないものを思いつける気がしない。
    そうした未来への不安に襲われ、わかるんだけどわからない、となってしまう子でしょうか。
    説明したことがわからないのかと私は思い、もう1度説明するのですが、解決はつきません。

    結局、説明はわかっているんです。
    あとは精神的なもので、未来に自分で使えるかどうかなんて、今考えても仕方がないことに不安になって「わからない」と言われても、それは私もわかりません。
    とにかく練習してみましょう、練習して様子を見ましょう、手を動かしてみなければ何も始まりませんよと私は言うのですが、そういうタイプの子は、失敗するのが嫌いなのか、完全に出来ると確信してからでないと練習しようとしないのです。
    他人の前で間違えたくない、失敗したくないというプライドがあるのかもしれません。
    励ましたりなごませたり、いろいろと別のアプローチが必要となってきす。

    高校数学は、多くの子どもにとって気持ちの負担なのだと感じることは多いです。
    中学まではそれなりに理解できたのに、高校数学になって全くわからなくなる子がいます。

    1つには、練習量の問題があるのでしょう。
    数学が得意な子が5分で解く問題。
    しかし、計算の遅い子は、1問に15分くらいかかってしまいます。
    計算過程が複雑なので、計算力に不足のある子は、高校数学になるとかなりもたつくようになるのです。
    ノートを覗き込んで確認すると、何でこんな面倒なやり方をわざわざ選んでいるんだろうと首をひねらざるを得ない、遠回りで計算ミスをしやすいやり方を選んで計算している場合が多いです。
    約分、通分、計算の簡略化、( )をいつ開くか、全てにおいて、計算のセンスが少しずつ悪いのです。
    どうでも良いところをもたもた丁寧に書いていくのに、そこを省略したらミスをしやすいでしょうというところで暗算したりもします。
    遠回りでも正解ならまだ良いのですが、バランスの悪いやり方をしていますから、どこかで計算ミスをしてしまいます。
    それの直しに、また15分くらいかかります。
    結局、数学が得意な子が5分で解く問題に、合計30分かかります。
    1問に6倍の時間です。

    ということは。
    数学が得意な子が週に3時間勉強するとして、同じ量の勉強をするために、数学が苦手な子は6倍の18時間必要となります。
    1週間に18時間、数学を勉強する。
    理屈では可能ですが、現実には無理でしょう。
    他の科目の勉強もありますし、やりたいこともあります。
    でも、1週間に18時間勉強していかない限り、数学の得意な子との差は、どんどん開いていくばかりです。
    数学が得意な子が週に3時間勉強している学習量をそうしないとこなせないということなのですから。

    数学が苦手な子がどんどん数学がわからなくなっていくのは、このように端的に学習量が足りないことに原因があります。
    解いている問題数が、定着するには足りないのです。
    反復もほとんどできないですから、覚える量より忘れる量のほうが多いでしょう。
    数学がわからないのは、理解力がないからではなく、前提となる既習の知識を忘れてしまっているからという場合は少なくありません。

    計算力のない高校生は、学校から渡されている教科書準拠の問題集をテスト前に1回解くだけで精一杯で、余力がありません。
    学習量を増やすために、「塾は塾のテキストを宿題に出しますよ」と言っていると、テスト前になって、学校の問題集が終わっていない、テスト当日に提出しなければならないのに、と生徒に言われて頭を抱えてしまうことがあります。
    毎週の塾の宿題は締め切りがあるので、とにかくそれを優先した結果、定期テスト前が提出期限の学校の問題集は手つかずのまま放置されてしまうのです。
    学校の問題集と、塾のテキストと、復習用に自分で買った問題集と、3つくらい並行して解くのが当たり前でしょう、なんて言っても通用しません。

    18時間は無理でも、最善を目指しましょう。
    やっているうちに、少しずつ速くなります。
    少しずつ能率が上がります。
    計算のやり方で助言されたことを実行に移し、改善していくことも必要です。
    テクニック1つで激変することもありますからね。

    短い時間で効果的な学習。
    そんなことが良く言われますが、それは、現在既に能率の良い学習が可能な場合の話でしょう。
    不器用な子は、どうしても時間がかかります。
    現在の自分はどうにも不器用だと自覚したら、時間をたっぷり投じる覚悟をしましょう。
    耳ざわりの良い情報に惑わされて、人生を無駄にしないでください。
    時間をかけなければ結果はついてこないこともあると思います。

      


  • Posted by セギ at 14:54Comments(0)算数・数学

    2017年04月09日

    4月22日(土)、大人のための数学教室を開きます。


    4月8日(土)、大人のための数学教室を開きました。
    今回が、数A最後の授業です。
    内容は、「分数の小数表示と記数法」。
    10進法の分数をn進法の小数に直す問題を解きました。

    例題 1/4を5進法の小数で表せ。

    これは、10進法の小数をn進法の小数に直すときと、基本の考え方は同じです。
    まず、
    1/4=a/5+b/5の2乗+c/5の3乗+・・・・①とおきます。
    ①×5をすると、
    5/4=a+b/5+c/5の2乗+d/5の3乗+・・・
    両辺の整数部分を比較して、
    a=1とわかります。
    次に両辺から1を引いて、
    1/4=b/5+c/5の2乗+d/5の3乗+・・・②とおきます。
    ②×5をすると、
    5/4=b+c/5+d/5の2乗+・・・・
    よって、b=1。
    左辺に1/4と5/4しか出てきませんから、以後は同じことの繰り返しですね。
    以下同様に、c=d=・・・・・=1とわかります。
    したがって、1/4=0.1111・・・・・です。

    さて、これでめでたく数Aの学習は終了し、授業の後半は数Ⅱのテキストに進みました。
    まずは中3の数学や高校数Ⅰで学習した乗法公式の復習をしました。
    新しく学習した内容はなく、全て、これまでの復習ですが、今までに出てきた乗法公式を全て並べるとちょっと圧迫感があったかもしれません。
    授業は少しずつ先に進み続けていますが、時間に余裕のある方は中3や高1のテキストに戻っての復習を並行して続けることをお勧めします。

    数Ⅱの学習は、とにかく大量に公式が出てきます。
    数Ⅰの5倍くらいの数の公式を新しく覚えることになります。
    「軌跡と領域」「三角関数」「指数関数・対数関数」「微分・積分」といった単元が並んでいますから。
    公式の数の多さに対する体感は5倍以上かもしれません。
    1つ1つの公式を大切に理解し、覚えていきましょう。

    さて、次回の数学教室のお知らせです。

    ◎日時  4月22日(土)10:00~11:30
    ◎内容  数Ⅱ「整式と分数式」の学習を続けます。p5「3次式の因数分解」から。
    ◎場所  セギ英数教室
           三鷹市下連雀3-33-13
             三鷹第二ビル 305
           春の湯さんの斜め前のビルです。
    ◎用具   ノート・筆記用具
    ◎参加費 2,000円
           当日集めさせていただきます。
    ◎予約  私の携帯メールかラインに、ご予約をお願いいたします。






      


  • Posted by セギ at 15:55Comments(0)大人のための講座

    2017年04月07日

    絶対値の難しさ


    絶対値は、中学1年の最初の単元、「正負の数」で学習する内容です。
    しかし、正しく把握している子はわずかです。
    「絶対値って何だっけ?」
    と質問したときに、多くの中学生はこう答えます。
    「数字の符号のないやつ」
    まあ、何も答えられないよりは、そんなことでも答えられるほうがずっといいのですが。

    絶対値の定義はこうです。
    「数直線上の原点からの距離をその数の絶対値という」
    距離は負の数ではないので、だから、絶対値は全て正の数です。

    この説明で覚醒し、目を輝かせる子もいるのですが、「数直線」と聞くとむしろ顔が曇る子も多いです。
    「数直線、嫌い」
    と言うのですが、何で数直線がそんなに嫌いなのかは謎です。

    1つには、小学校で学習する線分図と混同しているせいかもしれません。
    受験算数の線分図は洗練されたわかりやすいものですが、小学校の教科書に載っている「線分図もどき」は、わかりやすいことをむしろわかりにくくしているような印象があり、私もあまり好きではありません。
    あんな図を使わなくても解けますし。
    数量を線の長さで表すというのは1つの抽象化で、その仕組みが一度で理解できれば理解の助けになるでしょうが、そうでない場合、問題の数量関係を理解するためにさらにハードルを上げるだけの結果になりかちです。

    受験算数の線分図は、挿絵ではなく、あれが解き方そのものです。
    線分図を使わなければ解けない問題で線分図を使うことで、初めてその良さがわかるものです。
    そうでなければ、良さがわからないのは仕方ないことだと思います。

    しかし、数直線はそもそも線分図とは関係ありません。
    数直線は、むしろ、関数と関係の深いものです。
    数直線は、関数のx軸だけが描かれているものと考えることができます。

    高校生になると、その学校の学力レベルによっては、絶対値の学習は省略します。
    絶対値を含む方程式・不等式。
    絶対値を含む関数とそのグラフ。
    易しい内容だけを学習する高校は、それらは全て省略することがあります。
    どれだけかみくだいて説明しても、理解できる可能性は少ない。
    そういう判断だと思います。

    根本の単純な話で言えば、
    a<0のとき、0<-a 
    これが理解できないことが、絶対値の理解を阻む主な要因でしょう。
    こんな書き方もできます。
    a<0のとき、a<-a
    これに対し、
    「え?」「え?」「え?」
    と全員がなってしまうと予想される場合、この学習内容は省略しますよね・・・。
    -aは、負の符号がついているから、負の数だ。
    そんなことを言い張る高校生と30分話し合い、どうにも解決がつかなかったことが私にもあります。

    そういう混乱の芽は中1の頃からあります。
    a+b、a-b、abなどの値の正負から、aの正負、bの正負を判定していく問題があります。
    その中で、aが負の数だとわかると、「-a」とメモする中学生がときどきいます。
    「それは違うよ。aが負の数なら、-aは正の数になるんだよ」
    と説明しても、直さない子がいます。
    「でも、こう書いたほうがわかりやすい」
    「文字自体に符号が含まれているんだよ」
    「わかってる」
    「わかっていたら、そういう書き方はしないよ」
    「大丈夫」
    こんな会話を交わした子が何人かいましたが、どの子も、高校生になると数学がどんどんわからなくなっていきました。

    文字が数を表すことにそもそも違和感があり、その文字が符号を含んでいることには思い至らないのかもしれません。
    符号と計算記号との関係が理解できていないため、全ての数字が符号を含んでいるのだと理解できていない場合もあるでしょう。
    理由はいろいろ考えられますが、小学校の算数から中学の数学への移行がスムーズに行かなかったことが原因となっている子は多いです。
    素質のある子が思いがけない誤解をしている場合があります。
    中学数学の最初は特に丁寧に勉強を見てあげてください。
      


  • Posted by セギ at 14:39Comments(0)算数・数学

    2017年04月02日

    多摩湖自転車道を走ってきました。2017年4月。


    2017年4月2日(日)、東京のソメイヨシノの標本木は満開らしいですが、三鷹のソメイヨシノはまだ咲き始め。
    でも、早咲きの種類の桜が咲いていないかな。
    そこで、1年ぶりに多摩湖自転車道を自転車で走ることにしました。
    午前10時過ぎに家を出発。

    道路地図でおおよその地理を把握してから出発したので、今回は迷わずに自転車道入口まで行くことができました。
    三鷹から境浄水場へ。
    桜橋交差点を右折し、北上。
    浄水場西交差点を左折。
    関前五の交差点の信号を渡ると、多摩湖自転車道の入り口です。

    やはりソメイヨシノは咲き始め。
    それでも、多くの人が歩いたり、ジョギングしたり、自転車に乗ったりして、それぞれに自転車道を楽しんでいます。
    随所にベンチやあずまやがあるので、休憩ポイントも多数。
    好きなところで立ち止まり、また進み、のんびり楽しむこともできれば、そうしたのんびりした人たちを上手にかわして爆走するのもまた楽しい自転車道です。
    来週の日曜日はきっと満開で、この道も今日以上に賑わうことでしょう。

    小金井や小平では桜まつりが開かれていました。
    紅白の幕が張られ、様々な露店が立ち、多くの人で賑わっています。
    早咲きの種類の桜は満開でした。
    上の画像がそれです。
    密が特別甘い桜なのか、一本の木にメジロがたくさん集まっていました。
    菜の花の黄色も鮮やかです。

    予想よりずっとカラフルで楽しい道にペダルも進み、昼の12時前に多摩湖に到着。
    多摩湖1周ウォーキング大会が開かれている様子で、受付の長机が置かれていました。
    まだ時間が早いから、私も多摩湖を1周してみよう!
    入り口からすぐの、多摩湖を渡る広い橋からは、晴れた日には、奥多摩三山や雲取山がよく見えるようです。
    あいにく今日はうす曇りで、山影はあまりに薄く、山座同定は不可能でした。

    橋を渡って左へ。
    反時計回りに一周開始です。
    しかし、この自転車道は、眺望は何もなく、道はタイヤとの摩擦が強い印象で、しかもアップダウンも多く、走り始めてすぐに後悔。
    それでも、西武ドームの前を通るときには感動しました。
    西武ドームまで、自転車で来たぞー。ヽ(^。^)ノ

    西武ドームを過ぎてからの後半は下り道が多く、快適でした。
    多摩湖までの自転車道は度々道路と交差するので、そこは神経を払わないといけないけれど、この道はまさに1本道で、横から車が出てくる心配はありません。
    慣れると快適だなあ。
    そうするうちに、再び多摩湖入り口に戻ってきました。

    まだ午後1時過ぎです。
    1周、約1時間でした。
    これで帰るのは勿体ない気がします。
    トイレと、その前に駐輪場があったので、自転車をいったんそこに置いて、隣接する狭山公園を散策することにしました。

    スニーカーで来ていたので、よく踏まれた道や階段道も何だか勝手が違って、そろそろと歩きます。
    軽登山靴なら、ザクザク行けるんだけどなあ。
    それにしても、狭山公園は広い様子。
    今度来るときは軽登山靴持参で、ここの散策をメインにするのも良さそうです。
    池のほとりのベンチに座って、ちょっと休憩。
    ここも桜が満開だとさらにきれいでしょう。

    さて、そろそろ帰ろう。
    来た道を戻ります。
    歩行者を上手にかわすことにも往路より慣れて、快走し、あっという間に、自転車道入り口に戻ってきました。
    武蔵境のヨーカドーに寄って買い物し、帰宅してもまだ午後3時。
    来年はもう少し細かく計画し、昼食なども持参して行こうかなと思います。
    そして、やっぱり、ソメイヨシノが満開のときに行きたいなあ。
      


  • Posted by セギ at 19:17Comments(0)

    2017年03月26日

    学年末テスト結果集計出ました。2017年3月。


    学年末テストの結果が出ました。
    以下の通りです。

    数学
    90点台 1人  80点台 2人 70点台 1人 50点台 1人 50点未満 2人
    英語 
    90点台 3人 80点台 1人 70点台 1人 60点台 1人 50点台 1人 50点未満1人


    中学・高校の数学のテスト勉強は、どこに力点を置くべきかが子どもの学力によって異なり、そこの対応が難しいところです。

    公立中学に通う子に多いのが、基本問題しか解かない子です。
    学校から配られている教科書準拠ワークの「基本問題」「A問題」などのページはそれなりにやりますが「B問題」のページは解けなくてもいいと思っている様子です
    「わからない」
    「難しい」
    と本人は言うのですが、公立中学のワークの「B問題」は、大抵の場合、最後の別枠の1問だけは本当に応用問題でも、他は「標準問題」です。
    わからないことはないし、難しいこともなく、解けないと後で困るものばかりです。
    一般都立の入試問題も、そのくらいのレベルですから。
    勿論、定期テストもそのレベルの問題が多く出ます。
    しかし、本人はそのことに対して無自覚です。

    小学校からその傾向は表れているのかもしれません。
    カラーテストの表の面さえ解ければ良い。
    裏の面は応用問題だから、自分は解けなくて良い。
    そう思い込んでいないでしょうか?

    勿論、現時点でそういう学力の子もいます。
    とにかく基本問題だけはきちんと解けるようになろう。
    当面そういう学習目標の子もいます。
    でも、「あなたは裏の面も解けなくちゃ」という学力の子が、裏は応用だから自分は関係ないと思い込んでいることがあります。
    応用と言ったって、受験算数のような問題が出ているわけではありません。
    少し難しいだけで、学校で学習する内容の枠内の問題です。

    何でこうなるのだろうと不思議に思います。
    自己評価が低いのでしょうか。
    あるいは、意識が低いのでしょうか。
    難しいことをやらずに済ますほうが楽だからでしょうか。
    素質があるのに勿体ない。
    そういう子は案外多いです。

    ただ、そういう子の成績は上げやすいのです。
    集団指導塾に通っている間は、面倒くさがって宿題をきちんと解かなかったり、
    「わからなかった」
    と言い訳して済ませていた子も、個別指導ではそうはいきません。
    その子の学力は手応えですぐにわかってしまいます。
    「わからなかった」
    と本人が主張しても、本当にわからない問題か、考えればわかるのにわからないと決めつけて解いてこなかったかは、講師は判断できます。
    本人がしぶるのを叱ったり励ましたりしながら、できるだけその子が自分の手を使って解くようにしていけば、だんだんと頭の中に道筋はできてきます。
    本人が勝手な判断で「自分には関係のないもの」と思い込んでいたレベルの問題を解くようになれば、当然学力が上がります。
    「難しい問題ばかり解かされて嫌だなあ」
    と最初は思っていたとしても、実際にテストの得点が上がれば、これで良いのだと本人も納得するようになります。


    一方、私立や都立の中高一貫校に通う子の中には、逆に「応用問題さえ解ければ」と思い込んでいる子がいます。
    しかし、本人に足りないのはむしろ基礎力です。
    こういう場合、成績を上げるのはそう簡単ではありません。

    数学の定期テストは前半が基本問題、後半が少し難しい問題というわかりやすい構成になっている場合がほとんどです。
    その中でも、本当の応用問題は最後の1問だけという構成のテストは多いです。
    本人は過度に応用問題にこだわるのですが、実際のテスト結果を見ると前半でぽろぽろ失点しています。
    計算ミスもありますが、それ以上に、基本的な公式や解法が身についていないのを感じる答案です。

    テスト対策をしている間、
    「定期テストというのは、そんなに難しいものではないよ。問題の難易度は普通だから、基本をしっかりやろう」
    と言っても納得せず、
    「うちの学校のテストは難しい。応用問題が出る」
    と主張します。
    「応用問題は最後の1問だけだよね。あれは、今は解けなくてもいいよ。あれを解こうとする時間があったら、見直しをしよう」
    そう助言しても、なかなか納得してくれません。
    応用問題さえ解けるようになれば自分の成績は上がると思い込み、諦めがつかない様子です。

    「80点台を取れるようになったら、応用問題をやろう。でも、今はまだ50点も取れないのに、最後の応用問題を気にすることに何の意味があるの?」
    「だって、テスト当日にノートを提出しなければならないから」
    学校の教科書準拠問題集からテスト範囲が指定されていて、テスト当日にノートを提出しなければならないことを気にしている様子です。
    「解けない応用問題は解答を赤ペンで書き写せばいいよ。そういうふうに学校で言われているでしょう」
    だって、テストに出るから」
    「問題集と同じ問題は出ていませんよ。テストの応用問題は本当に応用問題じゃないですか」
    「だって、最後の問題は、1問7点ですよ」
    「・・・・あなたは基本問題で何点失っているの?」
    「・・・・・・」
    こんな会話を続けていると、相手の生徒は傷つくし、私も気が滅入ります。
    ろくなことがないのですが、ここまで言わないと諦めてくれないほどに、「応用問題さえ解ければ」という幻想に取り付かれている子もいます。

    学校側としては、数人でも有名大学の理系に進学する子がいますので、その子たちを伸ばすためにかなり高度な課題も出すのだと思います。
    これは全員が取り組むべき課題かなあ?と思われる内容も含んでいます。
    一方、定期テストの問題は生徒全体の学力にあわせた標準的なレベルのもので、基礎をしっかり固めておけば80点は楽に取れる内容です。

    学校の先生も、生徒によっては発展問題・応用問題を解くのは無理だとわかっているので、ノートを点検する際に、応用問題を自力で解いていないからといって平常点を下げるようなことはしません。
    しかし、そういうことをわかっていない生徒が多いです。
    丸が多いノートのほうがいいのだと誤解して、解答を見ながら解いたのに全部赤丸をつけてしまう場合もあります。
    それは解答を丸写ししたノートと見た目が同じなのでむしろ印象が悪いよと助言しても、それすらなかなか納得しない子もいます。

    教わって解いた応用問題や、解答解説を見ながら解いた応用問題は、その類題を何題も解くことで定着します。
    しかし、そうしたことに時間をかけられるのは、基礎が身についている子に限っての話です。
    公式通りに当てはめれば解ける基本問題でも自力で解けるかどうかわからない学力の子は、テスト前に本当に公式を覚えているか確認しなければなりません。

    特に、家庭学習では教科書や問題集の解答解説を見ながら問題を解くことが常態化している子は危険です。
    本人はスラスラ解いているつもりでも、公式や解法を見ながら解いているだけなので、解答解説がないと基本問題も解けない可能性があります。
    そのことを自覚してもらい、何も見ないで基本問題を解けるように練習するのがその子に対するテスト対策です。

    一方、本人は「そういう勉強は自分でもできる」と思っています。
    その子の勉強方法では、教科書の例題や問題集の解答解説を見ながら単なる代入をしているだけで、学習が空洞化しているのですが。
    真面目に時間をかけて勉強しているはずなのに、学習した内容が頭にとどまっていないのです。

    しかし、わからないときに教科書の例題を参考にしたり、いっそ解答解説を見て確認したりというのは、勉強法として悪いわけではありません。
    勉強が得意な子も、それはやっています。
    勉強が得意な子の勉強法と表面上は似ているということが、この問題が解決しない原因なのかもしれません。

    勉強が得意な子は、自分が例題を参考にしたことや解答解説を見たことを自覚しています。
    それは「自力で解けなかった問題」です。
    当然、問題にチェックを入れます。
    解けなくて悔しかった記憶とともに、その問題の解法は鮮明に記憶に残ります。
    だから、次に類題を解くときに、
    「あ、これはあの問題だ」
    と気づいて、今度は自力で正答することができます。

    基本問題が解けない子は、解答解説を見ながら解いたことに無自覚です。
    「自力で解けなかった」
    と思っていません。
    だから、基本問題はチェックしません。
    チェックを入れるのは、難しい応用問題ばかり。
    解答解説を読んでもわからない問題だけが「自力で解けなかった問題」という判断をしている様子です。
    そして、テスト本番で、基本問題も解けないことに自分で驚き、動揺してしまいます。

    不本意な点数の答案が返ってきてからの反省も的外れです。
    わかっていたのに、度忘れしたー。
    うっかりしてたー。
    やっぱり、うちの学校のテストは難しい・・・。
    ・・・・と、分析もそんなふうに間違っていることが多いです。

    基本問題を自力で解けますか?
    解答解説を見て理解できることと、自力で解けることとは違うんですよ。

    このつらい現実を認めて、やり方を変えることができた子は、成績に変化が見えています。

      


  • Posted by セギ at 11:13Comments(0)講師日記

    2017年03月22日

    南高尾山稜を歩きました。2017年3月。

     
    2017年3月19日(日)、南高尾山稜を歩きました。
    週半ばに冷たい雨が降り、檜原村や奥多摩では麓にもうっすらと雪が積もったと聞いていました。
    あれから暖かくなったとはいえ、山道で凍結箇所や泥濘に悩まされるのは嫌だなあ。
    そういう山に行きたい日もあるのですが、今週はもっと楽をしたい気分です。
    そんなときは奥高尾が一番。

    というわけで、高尾駅北口から小仏行きのバスに乗車。
    高尾温泉のラッピングバスを含む3台のバスが同時発車しました。
    春の観光シーズンが来ましたね。
    日影下車。8:50。
    支度をして出発です。

    日影林道は毎月歩いているような錯覚がありますが、よく考えたら秋から来ていませんでした。
    半年ぶりに沢沿いの道は、かなり舗装が進んでいました。
    え?
    通行禁止のときもあったんですか?
    全然知らなかった。
    今は休工中だそうです。

    暖かくよく晴れた日でしたが、まだこのくらいの気温ならバテることはなく、小仏城山到着。10:20。
    空いているトイレに入ろうとすると、若い女の子に声をかけられました。
    「そこ、鍵がかからないんです」
    「鍵ですか?」
    試しに鍵の突起部分を押しながら回してみると、しかし、特に問題なく動きます。
    「・・・・あれ?」
    声をかけてくれた子は不思議そうにしていました。

    以前も、ここのトイレで同じやりとりがあったことを思い出しました。
    若い子は、たてつけの悪い戸に慣れていないのかもしれません。
    鍵が固まって動かないときは、突起を抑えて鍵を回すと動きだすことがあります。
    上手く鍵穴に入らないときは、隙間から覗き込みながらドアを少し押したり引いたりするなどの調節をすると上手く入ることが多いです。
    山のトイレは、風雨にさらされ、寒暖の差も激しいですから、そんなにたてつけはよくないので、工夫して入りましょう。
    ヽ(^。^)ノ

    さて、昼にはまだ早い時間帯ですが、ベンチはほぼ埋まる盛況でした。
    早咲きの梅の花もちらほら。
    ここから高尾山までの尾根道は桜の名所。
    今から楽しみです。

    さて、今日は南高尾山稜を歩きます。
    ちょっと休憩し、高尾方面に向かって木段を降りてすぐの分岐を右へ。
    大垂水へと降りていきます。
    急坂ですが木段が整備され、足止めも多く埋められて、昔と比べると本当に歩きやすくなったなあと、毎回同じ感想を抱きながら、たったか降りて行きました。
    下りるだけ下りきると、その先は斜面をトラバースする細い道。
    そこから、斜面をジグザグに下っていくと浅い沢沿いの道に出ます。
    すぐに沢と別れ、鉄柵に頼って急な下りを慎重に行くと甲州街道です。

    甲州街道を渡る歩道橋は、そのまま南高尾の登山道につながっています。
    このあたりでトレイルランナーと多くすれ違いました。
    登山者も多いです。
    南高尾も賑やかになったなあ。
    数年前までは、スミレや桜の季節ですら、こんなに人はいなかったように記憶しています。

    大洞山。11:35。
    ここのテーブルとベンチが無人だったのは、逆に驚きました。
    何事もタイミングというものでしょうか。

    ここからは緩やかに登ったり下ったり。
    まき道は崖っぷちで少し細いところもあり、慎重に通過しました。
    段差の大きいところは木段が整備され、新たに鎖がつけられていました。
    ここも来る度に少しずつ変わっていますね。
    ベンチなどが多く整備され、休憩できる場所が増えているのも感じます。

    見晴台。12:20。
    幸いベンチがちょうど1つ空いていたので、ここで昼食。
    冬は陽だまりが気持ち良い場所ですが、この陽気ではちょっと暑かったです。
    これからの季節は、ここではなく、木陰の場所で昼食をとるのがいいかなあ。
    でも、眺望は間違いなくここが一番です。
    春霞で丹沢もぼやけていましたが、沢筋や山頂付近は積雪しているのが見えました。
    やはり数日前の雪が残っているのだなあ。

    さて出発。
    この先もベンチが増えているのを確認しながら、歩きやすい道をどんどん行き、三沢峠。13:05。
    おや、ここも新しく丸太型のベンチが設置されています。
    そこに座って、ちょっと休憩。
    今日はここから、いつもとは違う、梅ノ木平への道を歩いてみることにしました。

    「車両侵入禁止」の看板が道の真ん中に立っています。
    林道レベルの幅広な道でした。
    平坦で、ゆったりと下っていくことができました。
    尾根道ではないので展望はありませんが、歩きやすい道でした。
    足許には早咲きのスミレが。

    やがて道は沢に沿って進むようになりました。
    未舗装ですが途中からは車の侵入もOKな林道となりました。
    でも、車は全く通りませんでした。
    どんどん歩いていくと老人ホームがあり、そこからは舗装道路でした。
    道なりにさらに歩いていくと、高尾の有名な料理屋さんに出ました。
    ははあ。ここに出るのかあ。
    山支度では前を通るのでも気がひけるわあと思いながら通り過ぎると、その先は分岐ごとに道しるべがありました。
    その通りに歩いていくと、甲州街道に。

    しかし、ここは高速道路の入り口でもありました。
    歩行者がどう進めば良いかは明確で危険もないのですが、交通量が多いので若干ストレスがあります。
    歩道を渡って、地下道を通って、高速道路と別れてからは、甲州街道を淡々と行きます。
    道の両側にしっかりした歩道がありますので、ここも危険はありません。
    でも、やっぱり、いつもの草戸山から高尾山口に降りていく道のほうがいいなあ。
    1回歩くと、こういうことがわかりますね。

      


  • Posted by セギ at 11:17Comments(0)

    2017年03月20日

    4月8日(土)、大人のための数学教室を開きます。


    前回の授業料合計6000円を、みちのく未来基金に寄付させていただきました。
    銀行振り込みをしたことをみちのく未来基金に連絡するメールに、「あの日、小学6年生だった子どもたちが、この春、大学に進学するのですね」とほんの1行書いたのですが、そのことに触れた真摯な返信を事務局からいただきました。
    大手企業がサポートする大規模な財団法人でありながら、何年経っても事務的にならず暖かい。
    今年も約100人がみちのく未来基金から奨学金を受けて希望の大学に進むとのことです。

    さて、3月18日(土)、大人のための数学教室を開きました。
    今回も「n進法」の続きです。
    例えば2進法ならば、「2の0乗の位」「2の1乗の位」「2の2乗の位」というように、1桁上がるごとに2の指数が上がっていくのだということを前回確認しました。
    では、小数はどのように扱われるのでしょうか?

    まず10進法で考えるのならば、小数は、小学生の頃からやっているように、小数第1位は「10分の1の位」、小数第2位は「100分の1の位」、小数第3位は「1000分の1の位」です。
    それは、「10分の1の位」「10の2乗分の1の位」「10の3乗分の1の位」と書き表すこともできます。
    1つ下の位から見て、1つ上の位はそれを10倍した数の桁、という関係が成立しているのが10進法です。

    2進法も同じように考えます。
    小数第1位は、「2分の1の位」、小数第2位は「2の2乗分の1の位」、小数第3位は「2の3乗分の位」です。
    そうすることで、1つ下の桁から見て1つ上の桁の数は2倍の関係が成立しています。
    ちなみに、2分の1は、指数では「2の-1乗」、2の2乗分の1は、指数では「2の-2乗」と表します。
    ところで、「2の2乗」を「にのじじょう」と読む人は多く、数学学会が公式に訂正しても、こういうことはなかなか改善されないのですが、「2の-2乗」を「にのマイナスじじょう」と読む人はさすがにそれよりは減ってきます。
    高校の数学の先生は「にじょう」と正しく読む人が多いことも関係しているかもしれません。
    「2乗」のときだけ「じじょう」と読むのは、本来、不自然なことです。
    数字は「いち、に、さん」と読みます。
    「いち、じ、さん」ではありません。
    「2乗」だけ「じじょう」と特別扱いの読み方をすることには理由がありません。
    しかし、自分が信じてきたことを否定されると拒絶反応が強い人もいます。

    「じじょう」は「自乗」という意味なんだ!
    という説を展開する人がいます。
    しかし、「2乗」だけそんな特別扱いをすることには理由がありません。

    「にじょう」なんて読み方はまぬけっぽいだろ!
    という人もいます。
    しかし、そういう主観は、数学とは関係ありません。

    ただ、読み方なんか究極どうでも良いので、生徒が「じじょう」と読むのを訂正はしないのですが、私が「にじょう」と読むのを生徒が「このセンセイ、読み方を間違えている」と感じているのではないかなあと考えてしまうことはあります。
    こういうことは多勢に無勢かもしれません。

    おっと話が逸れました。
    マイナスの指数の話でした。
    2分の1は、「2の-1乗」、2の2乗分の1は「2の-2乗」、2の3乗分の1は、「2の-3乗」。
    指数はこのように表記されます。
    これは、n進法の桁の仕組みと整合しています。
    指数がこのように負の数に拡張されることは、n進法を理解していると容易に納得できることです。
    指数の拡張は、詳しくは数Ⅱの「指数関数」で学習します。

    では、n進法に戻って、実際に問題を問いてみましょう。

    問題 10進数0.375を6進法で表せ。

    6進法の小数第1位は、6分の1の位。
    6進法の小数第2位は、6の2乗分の1の位。
    ですから、
    0.375=a/6+b/62+c/63+・・・・
    と表すことができます。
    この両辺を6倍すると、
    2.25=a+b/6+c/62+d/63+・・・・・
    b/6以下は、全て分母のほうが分子より大きい真分数ですから、両辺を比較すると、
    2=aであることがわかります。
    両辺から2=aを引いて、
    0.25=b/6+c/62+d/63+・・・・
    この両辺を6倍すると、
    1.5=b+c/6+d/62+e/63・・・・
    1=bであることがわかります。
    両辺から1=bを引いて、
    0.5=c/6+d/62+e/63+・・・・
    この両辺を6倍すると、
    3=c+d/6+e/62・・・・・
    3=cであり、d以降は0であることがわかります。
    よって、10進数0.375は、6進法では、2.13です。
    上のように、6倍して整数になったものを次の桁の数字と確定していきますので、それを利用した筆算が可能です。
    整数になったものを取り除きながら、次々と×6をしていく方法です。

    さて、春期講習を挟みますので、次回の数学教室は3週間後の4月8日(土)です。
    10進数の分数をn進法で表すやり方を学習します。
    あと1ページで数Aの学習内容は終了。
    ペースが良ければ、次回、数Ⅱのテキストをお配りします。

    ◎日時  4月8日(土)10:00~11:30
    ◎内容  数A「整数の性質」の学習を続けます。p116「分数の小数表示と記数法」から。
    ◎場所  セギ英数教室
           三鷹市下連雀3-33-13
             三鷹第二ビル 305
           春の湯さんの斜め前のビルです。
    ◎用具   ノート・筆記用具
    ◎参加費 2,000円
           当日集めさせていただきます。
    ◎予約  私の携帯メールかラインに、ご予約をお願いいたします。






      


  • Posted by セギ at 12:39Comments(0)大人のための講座

    2017年03月17日

    消しゴムやシャーペンの使い方。




    もうすぐ新年度。
    教科書もテキストも新しくなり、気分も一新されます。
    高等部に進学する子たちの高校数学の予習も始まりました。

    高校数学の最初の学習内容は、「式の計算」。
    まずは、「降べきの順」というルールについて。
    次数の高い項から順番に項を書いていくということで、中学生の頃から数学の教科書や問題集は降べきの順で書いてあります。
    例えば、 5x2+2x-3 といった形ですね。
    そうやって何年もかけて無意識に訴えかけていますので、大体は問題ありません。

    ところが、中学生の中に、なぜか降べきの順に逆らって書く子がいます。
    問題に 5x2+2x-3 と書いてあるのに、わざわざ -3+2x+5x2 と書き直すんです。
    なぜそのように書き直すのか尋ねても、明確な理由を語りません。

    「次数の高い項から書いていったほうがいいよ」
    「でも、これでも、いいんでしょう?」
    「中学生の間は、それでもいいけど」
    「・・・・・これでもいいんなら、いいでしょう?」
    「いいんだけど、なぜ、わざわざ順番を換えて、そう書くの?問題の通りに順番に書いていったら、そうはならないよね?」
    「・・・・・でも、これでも、いいんでしょう?」
    「・・・・・いいけどねえ・・・・・」
    と、歯切れの悪い会話を交わすことがあります。
    本人の中で、「昇べきの順」のほうが気持ちがいいというルールがあるのなら、それは仕方ないのですが、その「本人ルール」が私には読み取れないこともあります。
    いつもそのように書くわけではないからです。
    そのときどきで順番はバラバラです。

    ・・・・目についたものから書いているだけなのではないか?
    ルールをもって整理しながら書いていくということが、出来ないのではないか?
    「ルールをもって順番に」ということが、理解できていないのではないか?
    それは、分析力に関わっていくことなので、心配になります。

    あるいは。
    うっかり書き始めて、消すのが面倒くさいだけなのではないか?
    消しゴムを使うのが面倒くさいのではないか?
    そんなふうに思えてくることもあります。

    消しゴムの使い方1つとっても、個別指導をしていますと心配なことがあるんです。
    「この消しゴム、消えない」
    と文句を言う子どもがいます。
    消し方が汚く、元の文字が残っていて、その上に新しく書いても、何を書いたのかよくわかりません。
    玩具みたいな消しゴムを使っている場合は、それは消えないでしょうと思いますが、普通の消しゴムを使っていても、そんなことがあります。
    「貸して」
    と受け取って、試しに消してみますと、別に何の問題もない消しゴムです。
    本人の消し方が悪いんです。
    力の入れ方や、丁寧に消すやり方が身についていないのでしょう。

    「消しゴム」を使わない勉強方法というのは、あります。
    間違えた答案を消して直すのではなく、きちんとバツをつけて、横か下に赤で正答を書き込むという勉強方法です。
    間違えた答案をすぐ消して書き直し、赤で堂々と丸をつけて、正答したと自分でも思い込む不可解な子どももいますから、その勉強方法を小中学校の先生が生徒に義務づけるのは理解できます。
    でも、書き間違いには消しゴムを使います。
    そんなのをいちいち残していたら、答案が汚ならしくて、読み取れないですから。
    そんなときに、消しゴムをきれいに使えない子がいます。

    なぜ、消しゴムを正しく使えないか。
    それは、教わっていないからなんでしょう。
    手取り足取り教わらないと、消しゴムの正しい使い方が身につかない子はいます。
    大人がやっているのを観察して、見よう見真似で正しい方法を身につけていくということができないようです。
    あるいは、消し方を自分なりに少しずつ工夫し、改善していくということもできないのでしょう。
    教わらない限り、消しゴムを使ってきれいに消す方法が身につかないのです。

    学習能力の根本は、自分で観察し、考え、工夫していくところにあると思うのですが、教わらないと自分では改善できない子は一定数います。
    自分で改善しなければならないという発想そのものがないようにも感じます。
    そして、自分の技能の低さを無視し、消しゴムのせいにします。

    シャーペンもそうですね。
    芯を折りまくる生徒は多いです。
    バキバキボキボキ、90分間に5回や10回は芯を折っている子がいます。
    あげく、シャーペンを詰まらせて、その修理のために授業停止。
    (^_^;)

    「このシャーペン、芯がすぐ折れる」
    と生徒は言います。
    本当にそう思うのなら、シャーペンの先端をよく観察したほうが良いです。
    ペン先に微かな凹凸がある場合、それにひっかかって芯が折れやすいということはあると思います。

    芯が粗悪品ということも、ないわけではありません。
    以前は、100円ショップで購入した芯は、折れやすかったかもしれません。
    かなり当たり外れがある印象は、私も持っていました。
    でも、最近は、そうでもないような気がします。

    多くの場合、芯がすぐ折れるのは、ペンや芯のせいではなく、本人のせいです。
    芯を出し過ぎているんです。
    出し過ぎた芯で、シャーペンを斜めに持って、高い筆圧で書いたら、それは折れます。
    力学的に考えたらわかることです。

    自分が何をしているために、どういう結果になっているか。
    シャーペン1つのことでも、少し考えて、少し工夫したら、わかること。
    どうして何年も何年も、そのことに気づかず、芯を折り続けているのか。
    家電ですら学習能力を持つ昨今、そんなことでどうするのか?
    どうしてもどうしても芯を折ることを改善できないのなら、芯の折れないシャーペンも発売されていますよ。
    (*^_^*)

    消しゴムを使うと、よく消えない。
    シャーペンを使うと、すぐ折れる。
    勉強自体よくわからないのに、勉強の周辺にもストレスがいっぱい。
    これは、学習意欲に影響します。
    同時に、目の前の課題を解決できないという点において、学習能力が多少表れていると見ることもできます。

    シャーペンの芯くらいいいじゃないか、好きなだけ折らせておけば、というのも1つの見解かもしれませんが、何しろ個別指導をしていますで、折れた芯が私の顔に当たることがあります。
    さすがに ┐(´д`)┌ヤレヤレ という気持ちになります。
    私は眼鏡をかけているから良いですが、他人の目に芯が入る危険もあります。
    芯を折っている子は、そういうことに気づかないという点も、私は心配しています。

    そういうわけで、自衛の意味もあり、シャーペンの芯をよく折る子には、その指導も行っています。
    面白いもので、シャーペンの使い方に改善が見られ、芯を折らなくなる子は、成績も上がっていきます。
    細かいことではあるけれど、私が何のために何を言っているのか理解でき、改善できるということは、学習面の他のことも改善可能だからでしょうか。
    技術の伝達が可能だということかもしれません。

    一方、助言や注意がいちいち耳に逆らう様子の子もいます。
    ありのままの自分が最高に素晴らしいことを褒めてほしい。
    褒めて伸ばしてほしい。
    そういう願望の子どもや保護者の方は最近減ってきました。
    褒めるだけでは限界があることが広く知られるようになってきました。
    それでも、自分のやり方を直させられることに不満を感じる子も中にはいます。
    しかし、その子がスポーツをやっている場合、スポーツになぞらえて説明すると案外理解してくれます。
    フォームが悪ければ直すでしょう。
    我流の間違ったフォームでどれだけ練習したって、結果なんか出ないでしょう。
    逆に、ちょっと直すだけで大きく変わってくることはあるでしょう。
    こう言うと、反発せず、耳を澄まして聞いてくれたりします。
    腑に落ちる経験があるのだと思います。


    私が何か言うまでもなく、成績の良い子は、勉強するための正しい形が小学生でも身についています。
    どこをどう直せばさらに良い結果が出るようになるか。
    その助言が欲しくて個別指導塾に来ています。

    そうした内面だけでなく、見た目も勉強するにふさわしい良い形を身につけている子が多いです。
    「姿勢が良い」といっても、変に緊張した姿勢の良さではなく、何時間でも楽にそのままでいられる座り方をしています。
    勉強道具は使いやすい大きめのペンケースに必要なものが入っています。
    シャーペンの使い方も、消しゴムの使い方も、無駄な動きがなく、安定しています。
    使い終わった消しゴムを放り投げるように置いて、机から落として、身をかがめてそれを拾って、といったくだらないストレスとも無縁です。
    勉強をたくさんする毎日なので、文房具は友達。
    大切に使って失くしませんし、新しい文房具にも興味があり、新製品を私に見せてくれたりします。
    (*^_^*)

      


  • Posted by セギ at 14:26Comments(0)講師日記

    2017年03月13日

    高尾のハナネコノメを見に行ってきました。2017年3月。


    2017年3月12日(日)、今年も山スカートひらりの春がやってきましたー。
    私はどちらかと言えば、〽高尾の春よー と歌いたいほうではありますが。
    今の1フレーズは替え歌です。
    ヽ(^。^)ノ

    春を告げる、スプリングエフェメラル。
    春の妖精と呼ばれる早春の花たち。
    その中でも、数年前に京王電鉄のポスターに取り上げられて以来、高尾はハナネコノメが有名です。


    ごく普通のところに咲いているのですが、この花がどこに咲いているかの知識を持っていないと、多分気づかない。
    そういう花です。
    有名な場所が2か所。
    他にもう1つ、私の秘密の場所。
    「秘密の場所」と思っている人は私の他にも大勢いるとは思うのですが、それでも、やはり私の秘密の場所です。

    そんなわけで、今年も、どういうコースを歩いたのかは秘密です。


      


  • Posted by セギ at 10:50Comments(0)