たまりば

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お知らせ

2017年12月13日

1月13日(土)、大人のための数学教室を開きます。


12月9日(土)、大人のための数学教室を開きました。
本日も、数Ⅱ「複素数」の「解と係数の関係」の続きです。

こんな問題です。

問題 2次方程式 x2+6x+1=0 の2つの解をα、βとするとき、3α+2、3β+2 を2つの解とするxの2次方程式を求めよ。

前回も確認しましたが、解と係数の関係は、数Ⅰで既出の内容です。
α、βを2つの解とする2次方程式の1つは、
x2-(α+β)x+αβ=0
であることを利用するのでした。
2数の和と積がわかれば、その2数を解とする2次方程式を作ることができます。
だから、今回は、3α+2と3β+2の和と積がわかれば、2次方程式を求めることができます。
では、どうすれば、3α+2と3β+2の和と積がわかるか?
ここで、与えられた2次方程式を活用できることに気づきます。
まず、与えられた2次方程式 x2+6x+1=0 から、αとβの和と積を求めましょう。
解と係数の関係より、
α+β=-6
αβ=1
ですね。
よって、
(3α+2)+(3β+2)
=3(α+β)+4
=3・(-6)+4
=-18+4
=-14
また、
(3α+2)(3β+2)
=9αβ+6α+6β+4
=9αβ+6(α+β)+4
=9・1+6・(-6)+4
=9-36+4
=-23
したがって、求める2次方程式は、
x2+14x-23=0
です。

次の問題。

問題 2次方程式 x2-(a-1)x-2a=0 の解の差の平方が17のとき、aの値を求めよ。

こういうサラッと1行の問題、怖いですね。
問題集を解いているなら、例題を参考にして、「解と係数の関係を使うんだろうなあ」と考えることもできますが、こういう問題が実力テストや模試に出ている場合、何の単元の問題で、何を利用したらいいかわからない高校生は多いと思います。
次方程式が与えられて、解がどうのこうのと言われたら、とりあえず解と係数の関係が使えるのではないか?と発想できるように、頭の引き出しにこの定理を入れておくと解けるようになります。
結局、定理が使える状態で頭に入っているかどうかなのだと思うのです。

さて、この2次方程式の2つの解をα、βとしましょう。
解と係数の関係より、
α+β=a-1 ・・・①
αβ=-2a ・・・②
また、「解の差の平方が17」なのですから、
(α-β)2=17 ・・・③
です。
文字が3通り、式が3本。
この連立方程式は、解けますね。
aの値を求めるのがこの問題でしたね。
解いてみましょう。
③より、
α2-2αβ+β2=17
(α+β)2-4αβ=17
これに①、②を代入して、
(a-1)2-4・(-2a)=17
a2-2a+1+8a=17
a2+6a-16=0
(a+8)(a-2)=0
a=-8、2
これが解答となります。


問題 2次方程式 4x2-2x+a=0 の解がsinθ、cosθであるとき、定数aの値を求めよ。

さて、三角比が登場しました。
今回の大人のための教室では、これには動揺が走り、ノートに直角三角形を描き出す人もいらっしゃいましたが、この問題は、そのような三角比の最初の定義に戻る必要はないのです。
ここでは、単にsinθ、cosθというのはある数値だと理解してくだされば大丈夫です。
その2つの数値が、与えられた2次方程式の2つの解です。
ところで、今回、x2の係数が4ですので、そこにも注意します。
解と係数の関係より、
sinθ+cosθ=1/2 ・・・①
sinθ・cosθ=a/4 ・・・②
ても、これだとわからない値がaを含めて3種類なのに、式は2本で、解けないですね。
もう1本、式が必要です。
ここで、三角比の相互関係の公式を思い出せれば、この問題は解けます。
(*^^)v
sin2θ+cos2θ=1 という式がありました。(2は指数です)

よし、解きましょう。
①を2乗して、
(sinθ+cosθ)2=1/4
sin2θ+2sinθ・cosθ+cos2θ=1/4
sin2θ+cos2θ+2sinθ・cosθ=1/4
三角比の相互関係の公式より、
1+2sinθ・cosθ=1/4
2sinθ・cosθ=-3/4
②を代入して、
2・a/4=-3/4
2a=-3
a=-3/2
答えが出ました。

さて、大人のための数学教室、年内の授業は今回が最後でした。
来年は、冬期講習終了後の、1月13日(土)が初回です。

次回の大人のための数学教室のお知らせです。
◎日時  1月13日(土)10:00~11:30
◎内容  数Ⅱ「複素数」を続けます。p.27の問題29までが宿題です。
◎場所  セギ英数教室
       三鷹市下連雀3-33-13
         三鷹第二ビル 305
       春の湯さんの斜め前のビルです。
◎用具   ノート・筆記用具
◎参加費 2,000円
       当日集めさせていただきます。
◎予約  私の携帯メールかラインに、ご予約をお願いいたします






  


  • Posted by セギ at 12:39Comments(0)大人のための講座

    2017年12月11日

    奥多摩の御岳山から日の出山を歩きました。2017年12月。


    2017年12月10日(日)、奥多摩の御岳山に行ってきました。
    前回は、2015年1月に歩いていますから、約3年ぶりです。
    三鷹から、立川、青梅と乗り継いで、古里駅9:30。
    ホリデー快速が止まらない駅は、奥多摩駅に行くよりもむしろ時間がかかります。
    軍畑駅までで大半が下車し、電車内は人もまばらでした。
    古里駅の改札を抜けてすぐ左側がトイレ。
    降りる人が少ないので、トイレの行列もないのが幸いです。
    支度をして、出発。9:35。
    まずは大通りに出て、コンビニ前の信号を渡ります。
    そのまま、万世橋を渡ります。
    この橋は、歩道部分が車道部分より一段高く、その間にガードレールなどはないので、何だかちょっと高度感があって怖い橋です。
    登山道の崖っぷちの道よりはずっと幅があるのですが、何か怖いんですよね。
    意識してしっかり歩き、無事に通過。

    そのまま直進し、丹三郎屋敷門を通過し、まだかなあと思う頃、小さい道しるべが見えてきます。
    その道しるべにしたがって、舗装された坂道を上がっていくと、登山口。
    害獣除けのフェンスを手で開き、またきちんと閉じて、さてここから登山道です。9:45。

    登山道には霜が下り、地面が固く滑りやすくなっていました。
    え。麓でこんなふう?
    金曜日の夜に降った冷たい雨は、奥多摩では雪だったのですね。
    しかし、樹林帯に入ると、むしろ霜はなく、いつもの歩きやすい登山道で助かりました。
    道幅も広く、傾斜も緩く、快適です。
    御岳山に登る道は、ケーブルカーの道以外も今も生きていて、よく整備されています。
    でも、3年前の冬は、途中で迂回路になっていて、そこだけ歩きにくかったような?
    と思い出しながら歩いていくと、舗装された林道が見えてきました。
    そうか、あのときは、この工事が行われていたんだ。
    今は、林道を渡ってまたすぐに登山道に戻ります。
    昔からの登山道を舗装された林道が突っ切っていった形です。
    3年歩かないと、山は変わりますね。

    登山道に戻ってしばらく行くと、飯盛杉。
    丸太が何本も置かれてある休憩適地です。
    この木は2代目。樹齢百数十年。
    先代は樹齢数百年だったそうですが、落雷により焼失。
    その後植樹されたと、説明の板がありました。
    丹三郎のシンボルだそうです。
    里からかなり離れた距離なのに、里の人たちはこの木を知っていて、大切に思っていた。
    ここが御岳山の参道だからでしょうか。
    いや、大切なこの木の前をわざわざ通るように参道を作ったのでしょうか。
    奥多摩の歴史に思いをはせながら、しばし休憩。

    少し行くと、枝尾根に乗りました。
    樹間から、山々が見えます。
    眼下に見える町は、奥多摩町かな。
    だとすると、その向こうに見える山は、六ツ石山?
    この方向から眺めたことが少ないので、山座同定が難しいです。

    道はジグザグの急登が始まりました。
    3年前は凍結していてかなり厄介だったことを思い出します。
    今回は、道の端に少し霜が降りている程度でした。
    枯葉がすべり止めにもなっていて楽に通過できました。
    登りきると、平坦で心地よい道がしばらく続き、やがてケーブル山頂駅への分岐到達。
    ケーブル山頂駅への道は雪で真っ白になっていました。
    雪が残るかどうかは日当たり次第でしょうか。
    それとも、吹きっさらしの道と比べて、森の中の道は案外暖かいのかもしれません。
    「御岳山」という道しるべの通りに、真ん中の木段の急登の道を行きます。
    木段は壊れて崩れてきている箇所もありましたが、道は乾いて快適でした。

    木段を登っていくと、まずは休憩舎が見えてきます。
    その先が、大塚山。11:25。
    ここまではずっと静かな山道で、若い男性に道を譲ったことが2回あっただけでしたが、大塚山のベンチは、忘年山行らしい人たちがワイワイと煮炊きしていました。

    そこからは歩きやすい林の道が続きます。
    日差しも明るく、快適です。
    御岳神社が近づいてきます。
    おや?
    トレイルランナーが大勢。
    今日は、大会が開かれているのですね。
    御岳神社の石段の始まるところで、ランナーたちが、参加賞なのでしょう、Tシャツと飲み物を受け取っていました。
    参道沿いの宿坊には、ゼッケンごとの分類が表示されています。
    その宿坊で入浴できるようです。
    昼頃にゴールということだと、距離も短いでしょうから、初心者向けの大会なのでしょうか。

    石段を、中央の手すりで分けて、片側はランナー専用レーン。
    それは仕方ないですが、既にゴールした人たちがもう一方のレーンにたまり、仲間の応援や見物をしていました。
    これでは、観光客や登山客が通れない。
    トレイルランニングを最初に始めた創始者たちは、この光景をどう見るだろう。
    新参のスポーツということで、登山者との摩擦が起こらないように、とにかく気を遣っていた人たちでした。
    しかし、これだけ競技人口が増えてしまうと、そうした創始者たちの苦労や願いを知らない人も多いのかもしれません。
    自分たちこそが優先されるべきだと思っているような態度のランナーを高尾あたりで見ることがありますが、そういう人は、トレ・ランの初心者なのでしょう。
    奥多摩などの険しい道を独りでトレーニングしているランナーは、今も本当に礼儀正しいです。
    集団というものは、そこに所属しない者にとっては基本的にかさばって邪魔なもの。
    そこへの配慮がほしい。

    振り返るに、外秩父七峰縦走大会も、静かなあの山域を普段歩いている人にとっては、狂暴な光景なのかなあ。

    ともかくも、人ごみをぬって石段を登っていくと、御岳神社。12:05。
    朝から歩いてきた登山道よりも、ケーブル駅からの舗装された坂道と石段が一番険しいと感じます。
    考えてみれば、バス停からケーブルの麓の滝本駅までの坂道も急ですし。
    結局、観光客が一番足腰が強いのではないか?
    そんなことをぼやきながら、さて、道しるべを確認して日の出山へ。
    ところが、2つ目の分岐の道しるべを見逃してしまいました。
    ( ;∀;)
    ケーブル駅のほうに戻ってきてしまい、おかしいなと感じて坂を登り返し、正しい分岐から今度こそ日の出山への登山道へ。

    日の出山の登山道は道幅の広い緩やかな道が続きます。
    おや、朽ちかけていた鳥居が新しいものに変わっています。
    さらに行くと、道はやがて岩がちになってきて、その先、木段の急登が始まりました。
    ゆっくりゆっくり登っていくと、日の出山。13:00。
    ここは登山客で満員。
    でも、ケーブルに乗ってそこから歩いて来た人たちは、どんなにゆっくりお昼ご飯を食べてもそろそろ出発の時刻です。
    写真を撮りながら待っていると、予想通りベンチはすぐに1つ空きました。
    上の画像はそのときに撮影した写真です。
    武蔵五日市の街。
    その先の武蔵野台地の街並み。
    晴れ晴れとした眺望の山です。

    出発。13:30。
    今日は、つるつる温泉に下ります。
    ひので三ツ沢つるつる温泉 生涯青春の湯。
    名前だけで大変インパクトのある温泉です。
    山頂から道しるべに従い、まずは急な段差を下りました。
    整備されたばかりのようで、木段の木材が新しい。
    その先、細かい分岐が繰り返されます。
    その都度、「つるつる温泉」の道しるべをよく探して、その通りに降りていきました。
    道幅が本当に広く、段差の狭い木段で丹念に整備されていて、歩きやすい道が続きました。
    だんだん道は細くなります。
    傾斜の緩い道をのんびり下っていくと、沢が見えてきて、林道出合。14:20。

    舗装された林道をとぼとぼ歩いていくと、国道に出ました。
    道しるべ通りに左折。
    坂道を登っていくと、つるつる温泉。14:50。

    自動ドアで中に入り、さて、ここの温泉のシステムはどういうのだっけときょろきょろしていると、すぐにハッピを着た男性が近づいてきました。
    「靴箱に靴をしまい、鍵を受付にお渡しください。お客さまのザックは脱衣所のロッカーには入りませんので、あちらの荷物置き場に置いてください。貴重品はお持ちください。お風呂場は2階です」
    欲しい情報を全て、立て板に水で教えてくれました。
    (*^^)v

    本日、女湯は「美人の湯」。
    洗い場は10個ほど。
    広い内風呂が1つと、外に露天。
    とろっとした泉質です。

    さて、2階は、ソファの並んだ休憩所があり、ビールの自販機もありました。
    500mL、400円。
    他に食堂も個室もあるようです。

    建物の前がバス停。
    15:53出発。
    受付でもらったバス時刻表では「機関車バス」となっていましたが、やってきたのは普通の西東京バスでした。
    機関車バス、もう走っていないのかなあ。
    最初にこの温泉に来たときは、青い機関車バスで帰りました。
    あの頃は、奥多摩名物ロンヤス饅頭もまだ売られていました。
    昔むかしのお話です。

      


  • Posted by セギ at 14:44Comments(0)

    2017年12月06日

    受動態と日本語のリーディングスキルテスト。


    新聞やネットでご覧になった方も多いかと思いますが、先日結果の一部が発表された、中高生を対象に行われたリーディングスキルテストは、興味深いものでした。
    国立情報学研究所の研究チームが、2016年4月から2017年7月にかけて、全国の中高生約2万4000人を対象に行ったテストです。
    実際の教科書に載っている文章を生徒が正しく読解できるのかどうかを試すテストでした。

    例えば、こんな問題。

    仏教は東南アジア、東アジアに、キリスト教はヨーロッパ、南北アメリカ、オセアニアに、イスラム教は北アフリカ、西アジア、中央アジア、東南アジアにおもに広がっている。

    この文脈において、以下の文中の空欄にあてはまる最も適当なものを選択肢のうちから1つ選びなさい。

    オセアニアに広がっているのは( )である。
    ①ヒンドゥー教
    ②キリスト教
    ③イスラム教
    ④仏教

    正解②
    正答率 中学生62% 高校生72%

    ほお。結構読解できているじゃないですか。
    ところが、次の問題になるとガクンと正答率が下がっています。

    問題
    メジャーリーグの選手のうち28%はアメリカ合衆国以外の出身の選手であるが、その出身国を見ると、ドミニカ共和国が最も多くおよそ35%である。

    この問題文を読んで、メジャー選手の出身国内訳の正しい円グラフを4つの中から選ぶ問題でした。
    ドミニカ共和国が約9.8%のグラフが正解です。
    正答率 中学生12% 高校生28%

    これは、しかし、読解というより数学力かもしれません。
    「割合」が苦手な中学生は本当に多いですから。
    0.28×0.35=0.098 
    の式をすぐに立て、計算して正答を導く子は少ないと思います。
    割合×割合 という式は、私立中学を受験する小学生でも立てられない子は多いです。
    これは大きな課題です。

    でも、今回、私が驚いたのは、この問題ではありませんでした。
    次の問題を読んでください。

    問題 Alexは男性にも女性にも使われる名前で、女性の名Alexandraの愛称であるが、男性の名Alexanderの愛称でもある。

    Alexandraの愛称は( )である。
    ①Alex
    ②Alexander
    ③男性
    ④女性

    正答①
    正答率 中学生38% 高校生65%

    あるいは、こんな問題も。

    問題 
    幕府は、1639年、ポルトガル人を追放し、大名には沿岸の警備を命じた。

    上記の文が表す内容と以下の文が表す内容は同じか。異なるか。
    1639年、ポルトガル人は追放され、幕府は大名から沿岸の警備を命じられた。

    正答 異なる。
    正答率 中学生57% 高校生71%

    公開されている問題がまだ限られているので、正確な分析のはずもありませんが、これだけで判断すると、中学生はどうも「受け身」で語られることに弱いのでしょうか。

    どちらがどちらと「呼ばれる」のか、わからない。
    どちらがどちらに「命じられた」のか、わからない。
    受動と能動の区別がつかない。
    もしかしたら、そういう子が多いのではないか?

    英語の「受動態」は中学2年の最後、あるいは中3の最初で学ぶ単元です。
    解説すると、どの子も、大体は理解したような顔をします。
    しかし、その定着はかなり差がつく単元でもあります。

    問題 次の文を受動態に直しなさい。
    Mr.Nakata wrote this letter.

    「中田さんはこの手紙を書いた」という文です。
    受動態は、
    This letter was written by Mr.Nakata.
    「この手紙は、中田さんによって書かれた」となります。

    しかし、これを、
    Mr.Nakata was written by this letter.
    と書いてしまう子は、一定の割合で存在します。
    「いやいや。意味を変えないで書き直そう。その英語だと、中田さんはこの手紙によって書かれたという意味になって、気味わるいでしょう?」
    と説明しても、そういう子は、ポカンとしています。
    「・・・え?どういうことですか?」
    「だから、目的語と主語を入れ替えないと、同じ意味にならないでしょう?」
    「・・・え?この単語とこの単語を入れ替えればいいんですか?」
    「・・・・」
    入れ替えればいいという言い方は、単に操作上の確認をしているだけのように聞こえるのです。
    自分の誤答の何が問題なのか、本質がわかっているのかなあと不安になることがあります。

    問題の指示が不親切なのだという意見もあるかもしれません。
    「次の文を、文意を変えずに受動態に直しなさい」
    とすべきである、と。
    でも、わかる子は、わかるのです。
    出来上がった文が意味をなさない奇妙なものになるのを避けたい子は、正解します。
    なぜ、それを考えず、ただ機械的に受動態にする子がいるのだろう。
    英語の学習をしていて、文の意味というものを考えているのだろうか?
    言われた通りに単語を並べているだけなのか?
    そういう疑問を感じてしまいます。

    しかし、今回、リーディングスキルテストの問題の一部を見て、ああ、能動と受動の意味の違いを把握できない子が相当数いるのだと気づいて、目から鱗が落ちました。
    じゃあ、奇妙な受動態を機械的に作っても仕方ないかもしれません。
    意味が変わっていることに本人は気づかないのですから。
    能動も受動も、その子にとっては同じ意味で、おそらく、能動の意味しか把握できないのだと思うのです。

    母国語で区別がついていないものを、英語で理解できるわけがない。
    だから困難が生じる。
    そういうことなのかもしれせん。

    ただ、それならばなおさら、英語で受動態をしっかり学習することで、日本語にも受動の文があることを理解できる可能性はあるのだとも思うのです。
    日本語の文法を学習する意味も理解できるかもしれません。

    国語で文法を学習していて「そんなの知らなくても日本語は話せるし」と言う中学生は多いです。
    そういう子の多くは、日本語の文の主語・述語すら指摘できません。
    そのことは、英作文の能力に影響しています。
    「クラスの多くの男の子たちがやっているスポーツは野球です」
    という日本語を英文に直すとき、
    Class から書きだそうとし、その後が全く続かず万事休すという子に、私は問いかけます。
    「日本語で考えてみよう。この文の主語は?」
    「え?あ?男の子ですか?」
    「違います。主語は『スポーツは』だよ」
    「ええっ」

    日本語で主語が把握できると、英作文は易しいのです。
    上の文の書き出しは、The sport です。
    逆に、国語の文法がわかっていないと、構造の複雑な英文は上手く作れないんです。


    日本語の主語の見つけ方。
    まず、日本語の述語は、倒置法などの例外を除いて文末にあります。
    だから、述語はすぐに見つかります。
    そこから主語を判断します。
    日本語の文型は、主に、
    「何がどうする」(述語に動詞を使った文)
    「何がどんなだ」(形容詞・形容動詞を使った文)
    「何が何だ」(名詞・代名詞を使った文)
    の3通り。
    その文型から判断すれば、「何が」にあたる主語は見つかります。
    主語を見つけたら、英文は、その主語から始まります。
    あとは冠詞や前置修飾の修飾語の存在を判断して書きだしていくだけです。

    日本語の文法の知識が、英語の文法の理解を助ける。
    そして、英語の文法の理解が進むと、日本語の文法がわかってくる。
    その相乗効果はあると思うのです。

    ただ、上のようなことを、
    「理屈が通っていてわかりやすい。スカッとする。やっと英語がわかった」
    と感じてくれて、英語がグングンできるようになる子も多い一方、上のような話をしている限り、その先一歩も英語ができるようにならない子もいます。
    文法に対して信じられないほどの拒否反応のある子たちは、上のような話が大嫌いで、頭に残らないようなのです。
    文法なんかわからなくても、英語ができるようになる方法はきっとあるはず。
    そう考え、彷徨い始めます。

    上のような「ゴリゴリ、ガチガチの文法」を、文法なんか教えていない顔で教える方法を考えるべきなのか。
    理屈の嫌いな子に向けて。
    文法からアプローチできれば、英語は簡単なんだけどなあ。
    (*^^)v

      


  • Posted by セギ at 13:49Comments(0)英語

    2017年12月04日

    高川山を歩きました。2017年12月。


    2017年12月3日(日)、山梨県大月市の高川山を歩いてきました。
    2年ぶりです。
    7:48三鷹発中央特快高尾行きに乗車。
    高尾で向かい側ホームに待つ、中央線にすぐに乗り換えて、大月駅到着。8:56。
    駅前で支度。
    ふと見ると、「お待たせしました。12月8日より岩殿山登れます」といった掲示が。
    台風で登山道が崩れ、この夏から通行禁止になっていた岩殿山、解禁のようです。

    支度をして出発。
    駅前ロータリーからまずは甲州街道に出て、右折。
    そのまま、「え、こんなに歩くの?」というくらい甲州街道を直進します。
    大月橋を渡ります。
    徒歩で歩くには長い橋ですが、歩道が車道と区分けされていますので、あまりストレスはありません。
    橋を渡り切ってすぐに左折。
    病院を右手にみながら坂道を登っていきます。
    左手足元に富士急の線路が見えます。
    ここも橋なのですね。
    坂を登り切って、少し下り気味になり、突当りの手前に道しるべがありました。
    大月市内の山でよく見る、白く小さめの道しるべです。
    あとは道しるべの通りに坂道を上がっていくと、突当りに民家。
    その民家のまさに庭先から登山道が始まります。
    ここ、民家じゃないの?と足を止めると、登山道が見えてきません。
    民家の庭先、芝生まで入って初めて登山道が見えてきます。

    実は、ネットで、「大月から高川山への登山道は廃道になった」「駅から登山口まで道しるべはない」といった記述を事前に読んでいました。
    たった2年で廃道までいくかな?
    不可解に感じ、ダメだったら田野倉駅から登ろうと確かめに来ました。

    結論から言えば、大月から高川山への登山道は、今も明瞭です。
    廃道になったと誤解した人は、民家の手前の藪を閉ざされた登山道と判断したのかもしれませんね。
    あと一歩踏み込めば見えた道。
    朝から何やら考えさせられます。

    さて、「この付近で熊が目撃されています」という掲示も最初に歩いた5年前と同じ。
    熊鈴をリンリン鳴らしながらまずは細い登山道を登っていきました。9:25。
    すぐに、むすび山に到着。9:30。
    背中に飲料の宣伝が書いてあるベンチが1つおいてあります。
    しかし、以前よりも樹木が育ち、富士山の眺望はそれほどでもありませんでした。
    樹木越しに富士山の大きな頭は見えています。

    そこからは、右手に大月市街、左手に禾生駅付近の市街を見下ろす尾根道を行きます。
    アップダウンが続く道です。
    カエデの木も大半は葉が落ち、茶色の枯葉にカエデの赤が大量に混ざって、登山道は花が散っているように明るい。
    日差しも暖かく、気持ち良い尾根道でした。

    5年前、そして2年前にここを歩いたときは、向こうからやってくるのは単独行か2人連れの若い男性ばかりで、それも1日に2組程度でした。
    それが今年は、続けざまに3組とすれ違いました。
    しかも、男女ペアです。
    この道を下るのは技術的に難しいところがあるはずなのですが。
    それとも、あの急斜面は整備されて木段にでもなったのだろうか?
    だったらいいなあ。

    山道はいったん大きく下り、そこから登り返します。
    歩き始めて2時間ほど、ついに問題の急斜面が現れました。
    ああ。
    特に整備はされていません。
    のぺっとした広い急坂のままでした。
    しかし、そこを下ってくる若いお母さんと幼稚園生くらいと思われる男の子が。
    口を開けてみていると、お母さんは、急斜面をジグザグに切って颯爽と降りてきます。
    歩ける人だ。
    上手いなあ。
    男の子も、お母さんから少し遅れて、達者に降りてきました。
    「大変な坂ですね、これは」
    私が声をかけると、男の子が答えました。
    「大変な坂ですよ」
    「凄いですね。よく降りてこられましたね」
    「大変でしたよ」
    「ご苦労様でした」
    お母さんはただ笑っていました。
    さて、私の番。
    腰痛予防にストックを使っていましたが、ここでそんなものを使うと、のけぞって後ろ向きに落ちそうです。
    まずはストックを片付けて。
    基本は両手をついて、木の根などの少しの凹凸に頼って登っていきました。
    ロープは張ってありますが、劣化が進んでいる様子で、あまり頼り切らないほうが良さそうです。
    急坂の距離はそんなに長くなく、登り切ると道はジクザグ道になり、歩きやすくなりました。

    田野倉駅からの登山道との合流点。11:15。
    ここもロープの張ってある箇所もありますが、下る人のためのものでしょう。
    登るのには不安を感じない道でした。
    やがて道は岩がちになり、傾斜は先程の急坂よりも急なくらいですが、岩があると段差は岩を使って上り下りできますので、技術的にはむしろ楽です。
    山頂方向から次つぎと人が下りてきます。
    今日の高川山は賑わっているなあ。
    この快晴。
    富士山のよく見える山を歩きたくなりますよね。

    岩がちの登りが終わり、道が緩くなるとやがて山頂。12:20。
    山頂は子どもの集団でけたたましいことになっていました。
    子どもは20人ほどでしょうか。
    一人一人、大量のお菓子を詰めたジップロックの大きな袋を引きずるようにし、お菓子を頬張りながら岩場をぴょんぴょん歩いています。
    目についたリーダーは若い男女。
    それぞれ、カタカナの愛称を書いた名札をつけていました。
    サポートの保護者も何人かいるようです。
    これは何の集団だろう。
    リーダーの女性が口笛を吹き始めました。
    子どもたちが聞いている様子はないのに、ずっと吹いています。
    高音が耳に障ります。
    子どもの歓声は仕方ないが、口笛はちょっと余計かなあ。

    この違和感は何でしょう。
    善意でやっているらしいことに何かハレーションが起きている感じです。
    口笛のせいかな。
    カタカナの妙な愛称の名札のせいかな。
    子どもたちに自分を妙な愛称で呼ばせ、山に連れてくる行為は、エコロジーやスローフードといったものと親和性が高い気がするのです。
    それと大きなジップロックの大量のお菓子とがつながらず、違和感があるのかもしれません。
    子どもを山に連れてくるには、お菓子で釣るのが一番簡単だからなあと穿った見方をしてしまいます。

    ともかく、山頂から少しくだった岩場の隅に腰かけて、昼食。
    木の枝は少し邪魔ですが、そこからも富士山はよく見えました。
    すると、男の子のうちの1人がやって来て、私の座っている崖っぷちの岩から下へと降り始めました。
    おいおい。
    それを見つけた女の子3人が、お菓子の袋を引きずりながらやって来て、私と同じ岩に座り、男の子に話しかけます。
    「そこ落ちたら、人生の近道だよ」
    ゲラゲラ笑っています。
    子どもは、他人のパーソナルスペースは、あまり意識しないですね。
    移動したいのですが、お弁当を開いたばかり。
    移動したくても、山頂はどこも空いていないですし。
    女の子たちの騒ぎに、さすがに異変に気づいて、若い男のリーダーがやって来ました。
    口で言っても男の子は崖を降りていくのをやめないので、自分も崖を降りていきました。
    ようやく二人で戻ってくると、私の隣りに座り、リーダーはスマホをいじり始めました。
    イヤホンで聴いていた私のラジオに、スマホのせいで雑音が。
    (T^T)

    子どもの頃に親しんだ自然でなければ、人は本気で守る気にはならない。
    その後、山好きにはならなくても。
    むしろ山歩きは嫌いでも。
    だから、子どもを山に連れてくることには意味がある。
    そう思って、多少の違和感は帳消しとしよう。
    統率のとれていない子どもの集団を、怪我なく山に連れていき、無事に連れて帰るだけで大変なことなのですから。

    さて、下山。12:45。
    下りは一番整備されていて距離も短い、初狩駅への道を行きます。
    山頂から離れるとすぐに山の静寂が戻ってきました。
    無理せず、自分から離れれば良かったのです。
    せっかく富士山がきれいだったから、もう少し見ていたいなと思ったのが間違いだったかもしれません。

    初狩駅への道は、男坂、女坂、沢コースと別れます。
    女坂を選択。
    崖っぷちの細い道もあり、用心して降りていきました。
    植林帯に入ると道も広くなり、緩くなって、ほどなく登山口。13:40。
    そこからは舗装された道を道しるべ通りにいきます。
    道しるべのないときは、直進。
    高架下をくぐって、初狩駅。14:00。
    14:09、高尾行きの電車がやってきました。
    時間は早いのですが、登り下りともに急だったので、歩きごたえを感じた1日でした。

      


  • Posted by セギ at 14:47Comments(0)

    2017年11月30日

    三角比と測量の問題。図だけで問題を解くのはむしろ難しいです。




    今回も、「三角比」の学習。
    測量への利用です。




    問題  図のように、高さ200mの山頂Pから東方にある地点Aを見たら、俯角が30°であった。また、東から南30°にある地点Bを見たら、俯角が45°であった。
    2地点A、B間の距離を求めよ。

    この問題は、まず問題の意味を理解できるかどうかが1つ目のハードルです。
    こうやってネットに書いた場合、図の画像の粗さとネットの文字の読みにくさと、どちらがより強く影響するかという問題もあると思います。
    しかし、これをテキストで見た場合、図を先に見るか活字を先に見るかは、その人の普段の傾向がそのまま表れるのではないでしょうか。
    図の情報を優先する人と、文字情報を優先する人と。

    高校生の中には、図しか見ない子がいます。
    それではこの問題は解けないでしょう。
    図の上のほうの点線と、それぞれの示す角度が何を意味しているのか、図だけではわからないです。
    むしろ、問題文だけのほうがまだ情報を整理しやすいかもしれません。
    ただ、それにはある程度の読解力が必要なのも事実です。
    文字情報を頭の中で具体的なイメージにすることができないと、問題文だけでは理解しづらいと思います。
    つまりは「ちゃんと両方見なさいよ」という当たり前の話なのですが、それができない高校生は意外に多いのです。

    ここで言う読解力・イメージ力とは、上の問題文を読んだとき、イメージとして自分が山頂Pに立てるかどうか、です。
    図を見る場合でも、自分がスモールライトを浴びて山頂Pに立つと、問題の構造が理解しやすくなると思いす。
    これは中学3年生に理科の「天体」の授業をしているときもそう感じることです。
    月の見え方や金星の見え方に関する問題は、図の中の地球に自分が立って月や金星がどう見えるかをイメージできれば易しいです。
    しかし、それができず、外から地球を眺めているままですと、何でそう見えるのかうまく理解できません。

    さあ、イメージします。
    山頂Pに立ってみましょう。
    標高200m。里の低山でしょうか。
    埼玉県飯能の天覧山が標高197m。
    寄居の羅漢山が標高247m。
    毎日のお散歩コースにこのくらいの山があったらいいなあ。
    それはともかく。
    この山は、南面の見晴らしが良いようです。
    だから、南を向いて立っています。
    すると、東の方向俯角30°にA地点が見えました。
    俯角というのは、水平から下に30°の角度で見えたということです。
    ここで目を転じ、水平に30°南方向に目を向けると、今度は俯角45°にB地点が見えました。
    さて、AB間の距離は?
    という問題なのですね。

    ここで、山頂PとAとBを結んで、△PABで解こうとしてしまうと間違えます。
    ∠APB=30° と誤解しそうですが、そうではないからなんです。
    AとBの間が30°なのは水平での話で、斜めになると角度は変わります。
    山頂Pの真下、標高0mの地点をHとしましょう。
    △HABに着目すると、AB間の距離を求めることができます。

    ∠AHB=30° です。
    AHの長さは?
    これは△PHAに着目します。
    30°、60°、90°の直角三角形ですね。
    PHが200mなので、AHは200√3mです。
    次に、BHの長さは?
    これは△PHBに着目しましょう。
    45°、45°、90°の直角三角形です。
    PHが200mなので、BHも200mです。
    これで、△HABにおいて2辺とその間の角がわかりました。
    これならABの長さは計算で求められますね。

    余弦定理より、
    AB2=AH2+BH2-2・AH・BH・cos∠AHB
       =(200√3)2+2002-2・200√3・200・√3/2
       =40000・3+40000-40000・3
       =40000
    AB>0より 
    AB=200
    よって答えは200mとなります。

      


  • Posted by セギ at 13:58Comments(0)算数・数学

    2017年11月28日

    上川乗から笹尾根を歩いてきました。2017年11月。


    2017年11月26日(日)、笹尾根を歩いてきました。
    ホリデー快速あきかわ3号に乗って、終点武蔵五日市駅下車。
    2週間前も同じ電車に乗りましたが、乗客が随分減っています。
    楽に座っていくことができました。
    紅葉シーズンも終わり、これから、山は静かになっていきます。

    駅前から、数馬行きのバスに乗車。9:00。
    2台で発車。

    上川乗バス停下車。9:40。
    降りたのは、私1人。
    これは観光シーズンでもそうなので、あまり気になりません。
    バスの進行方向に少し歩き、三叉路でバスと別れて左折します。
    大きな橋で秋川を渡り、そのまま、道なりに舗装道路を登っていきます。
    ほどなく、左手に上川乗登山口。9:50。
    道しるべはありますが、登山口は狭く、最初に歩いたときは心細かったなあと思い出しながら、歩いていきました。
    夏草が邪魔しないので、細い山道も意外に歩きやすく、楽に尾根に乗ることができました。
    紅葉はもうほとんど終わっていますが、たまに朝の日差しに明るく輝く木があります。
    上の画像がそれです。
    尾根に乗った少し先、登山道は尾根から一段下がった道が続きます。
    やがて、尾根を乗り越えて、そのすぐ先が、浅間峠。11:00。
    あずまやとベンチがあります。

    ここから笹尾根に合流です。
    まずは上り坂。
    風があり、落ち葉が舞っていました。
    斜面は落ち葉がとどまらず常に動いているので、登山道もそれ以外のところも同じように見えてしまいます。
    足元の固さをよく確認しながら先に進みました。
    アップダウンを繰り返し、日原峠。11:50。
    古道らしい小さな石像があり、手を合わせました。
    落ち葉かさらに深くなり、尾根が広いところは登山道がわかりません。
    地形を考えて、尾根から外れないように注意しながら先に進みました。
    熊鈴の音。
    カサカサと落ち葉を踏む音。
    人のいない、晩秋の山道です。

    登っていくと、土俵岳。12:10。
    御前山と大岳山がよく見えました。
    景色を眺めながら、汗を拭きました。
    追い付いてきた人。
    向こうから来る人。
    この道を今日歩くのは自分だけではないとわかり、ほっとしました。

    南側の樹間から富士山が見えます。
    笹尾根は、これまでよく夏に歩いていました。
    歩く途中にも、富士山は見えるんだなあ。
    先程追い越していった人が、樹木が切れて富士山のよく見える場所で休憩していました。
    日向が気持ちよさそうです。

    丸山が見えてきました。
    名前の通り、こんもりとなだらかに丸い山です。
    単なる笹尾根の途中の山としては予想外に大きい円かな山。
    ゆっくりと登っていきます。
    山頂まであと少し。
    でも、山頂に何もないのは知っているから、まき道をいこう。

    笛吹峠。13:15。
    ここだけ尾根が広くなり、丸太がいくつか並べてあります。
    その1つに座って休憩。
    ここは見晴らしはないですが、晩秋の林の様子を眺めながらのお昼にします。
    今日は大洗町漁業協同組合協力の、しらすおにぎりセットをコンビニで購入しました。
    封を開くと、3種類のしらすおにぎりが入っています。
    おいしい。
    おかずが漬物だけなのは、少し寂しいかな。
    おにぎり2つで、少しおかずがついているといいなあ。

    熱いカフェオレを飲んで、チョコレートを食べて。
    ちょっとのんびりしすぎました。
    さて、出発。
    道が尾根道とまき道の二又に別れるところでは、尾根道にトレイルランニング大会用の赤い矢印がつけられていました。
    12月2日(土)に開かれる大会です。
    南高尾山稜から、関東ふれあいの道を通って、笹尾根を数馬まで行く全長42km。
    もう準備が進んでいるんだなあ。

    数馬峠に到着。14:00。
    面の見晴らしの良い峠です。
    富士山の青い姿がくっきりと見え、前景はススキが揺れています。
    しっかりしたベンチもあり、休憩はここでも良かったかもしれません。

    ここから登山道は尾根と離れ、斜面のまき道になります。
    道が細く、ところどころ崩壊していたり、霜が降りていたり。
    用心して歩いていくと、西原峠。14:35。

    そこから5分登って、槇寄山。
    本日の最高点です。
    晴れ晴れとした山頂です。
    ここにもベンチがあり、富士山が見えました。
    三頭山までは急登をあと2時間。
    時間的にもう無理ですね。

    西原峠に戻って、そこから、道しるべに従い、仲の平バス停へと下りました。
    夏の頃は、道が泥んこで踏ん張りがきかないところが少しある、林の中の道です。
    晩秋の今は、霜柱が午後になっても融けずに残っていました。
    そして、枯葉の堆積。
    枯葉の下に段差や石が隠れていることがあるので、歩きにくい下り道でした。
    トレッキングポールでさぐりながら歩を進めます。
    ときおり、鮮やかな紅葉に出会います。
    この時間の光では、写真に撮ってもきれいに写らないでしょう。
    スマホは出さず、ただ見上げ、眺めて楽しむ。
    それも贅沢な気がします。

    急な山道からあっけなく農地に出て、さらに下っていくと、舗装路に。
    そこからは、とにかく下りの道を選んでいくと、檜原街道に出ます。
    街道の手前で、大会の赤い矢印を設置している人と遭遇。
    土俵岳で追い抜いていった人です。
    今日1日、山の中で矢印の設置作業をされていたのですね。
    長い42kmを分担して、この作業をされていた方が各地にいるのでしょう。
    ご苦労さまです。

    さて、温泉センター数馬の湯。16:00。
    温泉に入っていくつもりで、お風呂セットも持ってきたのですが、16:08のバスに乗ると、17:21のホリデー快速に間に合って、三鷹に早く帰れるなあ。
    その誘惑に勝てず、今日は温泉はパスしました。
    バス停の行列も、2週間前と比べると半減しています。
    バスは2台。
    座っていくことができました。
    檜原街道を駅へと向かうバスの車窓からも、夕陽の中で赤く輝く紅葉をたくさん見ることができました。

      


  • Posted by セギ at 16:03Comments(0)

    2017年11月27日

    12月9日(土)、大人のための数学教室を開きます。


    画像は昨日撮影した数馬峠からの富士山。
    空がきれいに撮れない携帯カメラで残念です。

    さて、11月25日(土)、大人のための数学教室を開きました。
    今回は、「解と係数の関係」。
    これは、数Ⅰで学習済みの内容です。
    テキストをお持ちの方は数Ⅰテキストのp63をご覧ください。
    それに虚数解を加えたのが今回の学習内容です。

    解と係数の関係とは?

    2次方程式 ax2+bx+c=0 の2つの解をα、βとすると、
    α+β=-b/a 、αβ=c/a

    これが解と係数の関係です。
    これの説明は特に難しいものではありません。

    α、βを解に持つ2次方程式の1つは、
    (x-α)(x-β)=0 と表すことができます。
    これを展開すると、
    x2-αx-βx+αβ=0
    x2-(α+β)x+αβ=0 ・・・①
    となります。
    一方、ax2+bx+c=0 の両辺をaで割ると、
    x2+b/ax+c/a=0 ・・・②
    ①と②は同じ方程式ですから、係数を比較すると、
    α+β=-b/a 、αβ=c/a

    この説明で、
    α、βを解に持つ2次方程式の1つは、
    (x-α)(x-β)=0 と表すことができる。
    というところがまず1つのヤマ場かもしれません。
    例えば、
    (x-2)(x-3)=0
    という2次方程式を解けと言われたら、
    x=2、3
    という解になります。
    逆に、解がx=2、3 である2次方程式を復元するなら、
    (x-2)(x-3)=0
    は、その1つです。
    「1つ」というのは、x2の係数は1とは限りませんから、上の式の両辺を何倍かした方程式は全て、x=2、3 を解に持ちます。
    ですから、x=2、3 を解にもつ方程式は無数に存在するけれど、とにかく、
    (x-2)(x-3)=0 はその1つです。
    同じように、解がx=α、β である2次方程式の1つは、
    (x-α)(x-β)=0 です。
    ここがわかれば、その後は特に難しいことはないと思います。
    符号処理で少し混乱する人がいるかな?というくらいでしょう。

    問題 2数 2+√5i 、2-√5i を解とするxの2次方程式を求めよ。

    もう一度確認しますが、α、βを解とするxの2次方程式の1つは、
    x2-(α+β)x+αβ=0 です。
    ですから、α+βとαβ、すなわち、2つの解の和と積を先に求めてしまうと、2次方程式は楽に復元できます。
    上の問題で2数の和は、
    (2+√5i)+(2-√5i)=4
    2数の積は、
    (2+√5i)(2-√5i)
    =4-5i2
    =4-5・(-1)
    =4+5
    =9
    よって、求める2次方程式は、
    x2-4x+9=0
    です。


    問題 連立方程式 x+y=-4、xy=6 を解け。

    急に応用になって、え?どういうこと?と思いますね。
    この学習の流れでないならば、普通に代入法で解くことを思いつくでしょう。
    まずはそれでやってみましょう。
    x+y=-4 より y=-x-4
    これをxy=6 に代入して、
    x(-x-4)=6
    x2-4x-6=0
    x2+4x+6=0
    解の公式を用いて、
    x=-2±√4-6
     =-2±√-2
     =-2±√2 i
    x=-2+√2  i をx+y=-4 に代入して、
    -2+√2 i +y=-4
             y=-4+2-√2 i
              =-2-√2 i
    また、x=-2-√2 i をx+y=-4 に代入して、
    -2-√2 i+y=-4
             y=-4+2+√2 i
              =-2+√2 i 
    よって、(x、y)=(-2+√2i、-2-√2i)、(-2-√2i、-2+√2i)

    これで構わないわけですが、与えられたのがxとyの和と積であることを利用する解き方もあります。
    定理に戻ると、αとβが解である2次方程式の1つは、
    x2-(α+β)+αβ=0 でした。
    和と積がわかっていれば、その2数を解とする2次方程式はすぐに作れるということです。
    では、xとyの和と積がわかっている今回、その2数を解とする2次方程式はすぐに作れるんじゃないでしょうか。
    xとyが今回はαとβにあたるのです。
    だから、xやyとは違う文字の2次方程式にしましょう。
    tを用いてみます。
    t2-(x+y)t+xy=0 
    という式の解は、t=x、y 
    となる仕組みですね。
    よって、
    t2+4t+6=0
    t=-2±√4-6
     =-2±√2 i
    xとyはこの方程式の2つの解で、どちらがどちらであると特定できるものではありません。
    したがって、
    (x、y)=(-2+√2 i、-2-√2 i)、(-2-√2 i、-2+√2 i)

    さて、次回の大人のための数学教室のお知らせです。
    ◎日時  12月9日(土)10:00~11:30
    ◎内容  数Ⅱ「複素数」を続けます。p.26の問題20までが宿題です。
    ◎場所  セギ英数教室
           三鷹市下連雀3-33-13
             三鷹第二ビル 305
           春の湯さんの斜め前のビルです。
    ◎用具   ノート・筆記用具
    ◎参加費 2,000円
           当日集めさせていただきます。
    ◎予約  私の携帯メールかラインに、ご予約をお願いいたします。





      


  • Posted by セギ at 12:12Comments(0)大人のための講座

    2017年11月24日

    三角比と余弦定理。上手な利用の仕方。


    「三角比」の学習。いよいよ佳境です。
    今回は、余弦定理の学習をしましょう。

    △ABCにおいて、
    a2=b2+c2-2bc cosA
    b2=c2+a2-2ca cosB
    c2=a2+b2-2ab cosC

    公式としては、きちんとサイクリックで覚えておいたほうが良いです。
    サイクリックとは、ab、bc、ca、といった循環のことです。
    caを見ると、必ず「ac」と直そうとする人が、数学が苦手な人の中にときどきいるのですが、それは不要なこと。
    a、b、cしか文字がない式の場合、caのほうがサイクリックで美しいのです。
    そして、普段からそのような意識を持って文字を見ていれば、余弦定理は、3本あるように見えて、実は1本の公式であることが理解できると思います。
    文字を順番に使っているだけなのがわかりますね。

    余弦定理の証明はここでは省略しますが、使うのは、三角比と三平方の定理です。
    そう難しいものではないですので、興味があれば、検索してみてください。
    課題は、やはり余弦定理をどう利用するか、です。

    問題 ⊿ABCにおいて、b=1、c=√2、A=45°のとき、aを求めよ。

    a2=b2+c2-2bc cosA
    に代入すれば良いですね。
    というわけで、答案としては、

    余弦定理より
    a2=1+2-2・1・√2・1/√2
      =1+2-2
      =1
    a>0 より
    a=1

    問題 ⊿ABCにおいて、a=√2、b=2、c=√3-1のとき、Bを求めよ。

    角の大きさを求める場合、余弦定理を変形させた式を覚えておくと楽です。
    それも含めて余弦定理です。
    今回利用するのは、
    cosB=(c2+a2-b2)/2ca
    という式です。
    b2=c2+a2-2ca cosB
    を、cosBについて解いた式ですね。

    余弦定理より
    cosB={(√3-1)2+2-4}/2・(√3-1)・√2
        =(3-2√3+1+2-4)/2√2(√3-1)
        =(2-2√3)/(2√6-2√2)
        =(1-√3)/(√6-√2)
        =(1-√3)(√6+√2)/(6-2)
        =(√6+√2-3√2-√6)/4
        =-2√2/4
        =-√2/2
    0°<B<180°より
    B=135°

    これは、一番地道な解き方で解きました。
    しかし、この計算過程を正しくたどれない高校生は多いです。
    複雑な式の中で、2乗の乗法公式を忘れてしまう人。
    分母が2種類のルートのとき、どうやって有理化するのかわからない人。
    単純な符号ミスを起こしやすい人。
    複雑な計算をしているとストレスが強くかかるのか、数字の書き間違いをしてしまう人。
    エラーの原因は無数に存在します。

    一方、数学が得意な人は、答えをある程度予想し、それにそって式を変形します。
    上の問題は、「Bを求めよ」と言われています。
    Bは角度です。
    cosBを求めよと言われているわけではありません。
    三角比の表を使わない限り、三角形の角度は、30°、45°、60°、90°、120°、135°、150°のどれかでなければ計算では求められません。
    15°や75°などの特殊な角度の三角比を暗記している人もいますが、その暗記を前提とした問題が出題されることはまずありません。
    ということは、角度を求める問題ならば、コサインの値は、見慣れた数字のどれかになるものです。
    それを見越してまとめていくと、計算はかなり楽になります。

    cosB={(√3-1)2+2-4}/2・(√3-1)・√2
        =(3-2√3+1+2-4)/2√2(√3-1)
        =(-2√3+2)/2√2(√3-1)
        =-2(√3-1)/2√2(√3-1)
    ここで、分母・分子を(√3-1)で約分して、
        =-2/2√2
        =-1/√2

    分母の√3-1 は、三角比としては必要のない数字です。
    これは、おそらく約分できるでしょう。
    だから、最初から( )を開かないのです。
    その方向で分子をまとめていくと、確かに、同じ√3-1の要素が出てきます。
    そういうまとめ方です。

    地道な解き方でも良いのですが、地道な解き方ほど煩雑な計算に耐えられる計算力が必要です。
    しかも、地道に計算すると答えは-√2/2となります。
    これが-1/√2 と等しいことがわからず、B=135°と求められない人もいます。
    いろいろなことが悲しい結果に終わりがちなのが、余弦定理です。
    ( 一一)

    ところで、cosB= などで始まる余弦定理について、数学が得意な人は、
    「こんな式、覚えていなくても、必要になったらいつでも復元できる」
    と簡単に言うのですが、四則計算に今ひとつ習熟しきれていない高校生の場合、普通の余弦定理をこの形にすぐに変形できるかというと、残念ながらできない場合があります。
    式の変形はなぜそれほどハードルが高いのでしょうか。
    方程式なら計算できるのに。

    例えば、
    3x=2
    を解けない高校生はほとんどいないと思います。
    数字とxだけの方程式なら解くことができるのです。
    けれど、それは解き方を覚えているだけで、等式の原則を理解して操作しているわけではないのかもしれません。
    だから、極端な話、
    2=3x
    という見た目になっただけで、もう計算できなくなる子もいます。
    手順を暗記しているだけの人の計算力は脆弱で、少しの揺さぶりに耐えられないのです。

    cosB= の形の式を別に暗記しておくのが安全でしょう。
    同時に、中学の数学に戻って、「式の変形」を復習すると良いと思います。
    苦手だから、嫌いだからと言って、避けていなかったでしょうか。
    式の変形の仕方さえ理解できていれば、確かに、cosB= の公式なんてすぐに復元できるのです。

    ところで、もっと応用問題になって、複雑な図形の中で余弦定理を利用する場合に、aにあたる長さを求めるのに、どちらがbでどちらがcにあたるかわからなくて、混乱してしまう人がいます。
    実は、そんなことは、考える必要がないのです。
    bとcなんて、どっちがどっちだっていいのです。
    余弦定理は、3本も式があることもあって、初めて見ると動揺しがちなのですが、これは、三角形の合同条件と連動して考えれば、とてもシンプルな式です。
    一番上のa2から始まる式を例にとって考えてみると、Aというのはその対角、bとcは残る2辺であることがわかります。
    すなわち、右辺にあるのは、「2辺とその間の角」なのです。
    つまり、余弦定理は、2辺とのその間の角がわかれば、残る1辺の長さは計算できる、という定理です。

    bとcが逆転しても、計算の結果には全く影響しません。
    どうせ、図を裏返せば、bとcはひっくり返るのですから。
    とにかく、2辺とその間の角から残る1辺の長さを計算できるのです。
    そういうことが把握できると、余弦定理はざっくりと、そして快適に利用できるようになります。

      


  • Posted by セギ at 13:12Comments(0)算数・数学

    2017年11月22日

    三角比と正弦定理。


    「三角比」の学習も佳境。
    今回は、「正弦定理」を学習しましょう。

    ⊿ABCにおいて、
    a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R
    (ただし、Rは三角形の外接円の半径)
    ∠Aの対辺がa、∠Bの対辺がb、∠Cの対辺がcです。

    これが正弦定理です。
    高校数学の定理としては比較的簡単に証明できるものです。
    図が必要なので、ここでは説明しませんが、検索すればすぐに証明は出てくると思います。
    鋭角三角形、直角三角形、鈍角三角形に場合分けして証明しなければならないのが多少わずらしいでしょうか。
    証明の根拠は、中学三年生で学んだ「円周角の定理」です。

    証明を理解し、納得したら、あとは定理の利用。
    こちらのほうが重要です。
    正弦定理が凄いのは、三角形の合同条件と連動していることです。
    三角形の合同条件の1つに、「1組の辺とその両端の角がそれぞれ等しい」というものがあります。
    その条件を満たす三角形は合同だということ。
    すなわち、そのような三角形は、この世に1つしかないということです。
    この世に1つしかない三角形ならば、残る1つの角の大きさと2つの辺の長さは定まっているでしょう。
    それを計算できるのが、正弦定理です。

    残る1つの角は、三角形の内角の和が180°であることから、楽々と計算できます。
    あとは、正弦定理を用いれば、残る2辺の長さは簡単に出てきます。
    ヽ(^。^)ノ

    問題 ⊿ABCにおいて、a=3、A=60°、B=45°のとき、bおよび外接円の半径Rを求めよ。

    A=60°、a=3がわかっていますから、正弦定理を用いますと、他の辺の長さを求めることができます。
    正弦定理により、
    3/sin60°=b/sin45°
    これをbについて解けば良いのですね。

    しかし、分数計算が苦手な子は、この先で苦労しがちです。
    教科書や問題集の解説は、この後の計算過程の解説が雑です。
    まさか高校生が分数が苦手とは思っていないからでしょうか。
    でも、多くの高校生は、正弦定理がわからないわけではないのです。
    その先の分数計算が上手くできないのです。

    絶対安全なやり方としては、分数=分数 の形の式になったときは、
    左辺の分子×右辺の分母=右辺の分子×左辺の分母
    という、たすきにかけた形の等式に直すと、あとの処理が楽です。
    a/b=c/d のとき、ad=bc です。
    これは、比例式、a:b=c:d のとき、内項の積=外項の積で、
    ad=bc 
    とするのと同じ考え方です。

    上の問題で言えば、
    b・sin60°=3・sin45°
    と書き換えます。
    sin60°=√3/2、sin45°=1/√2 ですから、
    √3/2・b=3・1/√2
    b=3/√2×2/√3
     =6/√6
     =√6

    この通りの計算手順でなければならないわけではないのです。
    計算ルールとして間違っていなければ、他のやり方でも良いのです。
    しかし、計算が苦手な子ほど、なぜかsinの値を早めに代入してしまい、分数の分母がさらに分数という繁分数に自分でしてしまう傾向があります。
    そして、その処理方法がわからなくて行き詰まってしまうのです。
    そんなときには、
    「分数は、割り算に直せるよ。分子÷分母だよ。上÷下だよ」
    とアドバイスするのですが、既にパニックを起こしていて、2を3と書き間違えるようなケアレスミスを繰り返し、何度解き直しても、どうにもこうにも正答に至らないということが起こりがちです。

    あるいは、この問題は分子であるbがわからないのでまだ楽なのですが、分母であるsinの値を求める問題になると、式をどのように変形して良いかわからなくなる人は多いです。
    そうした人のためにも、上のように、「分数=分数」の式を「かけ算=かけ算」の式に変形しておくことをお薦めします。
    うすれば、その先は、どの問題も同じ解き方になるので、いちいち考えなくて済むのです。

    もしも、うっかり繁分数にしてしまい、行き詰まって、しかも分子÷分母を忘れてしまったら、1/3を思い出してください。
    1/3は、1÷3ですか?それとも、3÷1でしょうか?
    1÷3ですよね。
    それで、「分子÷分母だ」と思い出すことができます。
    (*^^)v

    さて、外接円の半径Rも求めるのでした。
    これも正弦定理により、
    2R=3/sin60°
       =3÷√3/2
      =3×2/√3
      =6/√3
      =6√3/3
      =2√3
    R=√3
    この辺りも、代入後の分数の処理、そして、分母の有理化で手間取る高校生は多いです。

    でも、計算しやすいように式を変形することを覚えるだけで、随分楽になります。
    計算が得意な人は、楽に計算できる方法で計算しています。
    困難で複雑な計算方法に立ち向かっていったりはしていないのです。

      


  • Posted by セギ at 12:28Comments(0)算数・数学

    2017年11月20日

    高尾山から南高尾を歩いてきました。2017年11月


    2017年11月19日(日)、高尾山から南高尾を歩いてきました。
    朝、高尾山口駅を降りたときからもう混雑しています。
    今は高尾山が1年で一番混雑するシーズン。
    朝のうちに高尾山頂を通り抜けないと、渋滞に引っかかるぞー。

    リフトの切符売り場も大行列でした。
    PASMOで切符を購入できる販売機に並んだのですが、3人ほど前の人が、「大人片道2枚、子ども1枚」の切符を購入するのに5分ほどもかかっていました。
    観光シーズンの観光地には、世慣れていない人がいます。
    前の人がどのように購入しているか、見ておくと良かったのになあ。
    購入ボタンを押してからPASMOをかざすというやり方は、初めてだと確かに戸惑います。
    販売機にその説明は書いてあるのですが、焦ると説明は目に入らなくなるし。
    2種類の切符を複数枚買うのなら、人が手売りしてくれる窓口に並んだほうが楽に購入できたでしょう。
    でも、そういうことを即断即決で的確に判断する社会性というものは、観光地には似つかわしくないのかもしれません。
    このようにして、観光シーズンの観光地の混雑がさらに激化していくのは、まあ仕方ないか。

    急な階段を上がっていくと、リフトはそれほど長い行列にはなっていませんでした。
    前に並ぶカップルの女の子が、
    「私、リフトから落ちたことある。リフトが全部止まっちゃって、恥ずかしかったー」
    ええ?と思い、きき耳をたてますと、スキー場のリフトでのことのようです。
    スキーを落として流してしまう人はいるけど、本人が落ちるのはレアケースでは?
    無事で良かったなあ。
    そんなことが起こるくらいなら、切符の自動販売機で5分くらい余計に待たされるのは、何でもありませんね。

    「リュックは前に提げてください」
    「ベルトに立ったら、そのまま、歩かないでください」
    係員さんは二人体制で指示していました。
    さて乗車。
    高尾山のエコーリフトは、登りよりも下りのほうが見晴らしがよくて好きなのですが、帰りはいつも大行列になっていて、なかなか下りには乗れません。
    6分ほどで山頂駅。
    リフトを降りるときは、いつも少し緊張します。
    つまずいて転んだら、どうしよう。
    でも、今回も無事に降り立つことができました。

    リフト山頂駅。8:55。
    支度をして出発。
    1号路も朝から混雑しています。
    山頂近くの、3号路との分岐にある大きなトイレも行列ができていました。
    観光シーズン、凄いなあ。

    山頂。9:40。
    富士山は尖った雲をまとって、険悪な様相。
    現地は荒れた天候でしょう。
    丹沢は晩秋の色。
    秋の朝の明瞭な視界の下、深い紫に茶色が混じった山肌は、少し怖いような印象でした。
    紅葉は、今年はやはりダメですね。
    それでも、肉眼で見る限りはきれいです。
    朝の光に透かして見れば特に。
    若い女の子2人が、撮った写真を見ながら、大声で喋っています。
    「わあ、きれいだよ。こんなに大勢人がいるのに、主役感、凄いよ」

    ・・・若い女の子の感覚は、面白いなあ。
    周りはモブ扱いかあ。
    今日だけは自分が主役とか、写真の中では自分が主役とか、そういうことは、いつかどうでもよくなるよ。
    人はいつでも主役だし、また、常に脇役だよ。
    なんてね。

    さて、石段を下りて、ここより奥高尾。
    急に人が少なくなり、紅葉台からの下りの木段を淡々と降りていきました。
    一丁平。10:10。
    上の画像は、一丁平のベンチから奥を撮ったものです。
    ここから、今日は南高尾に回ります。
    まずは大平林道へ。
    あずまやを左に見て、細い道を行きます。
    突当りを左に折れて、あと道なりに進みます。
    9月には夏草で塞がれていた道も、草が枯れ、歩きやすい良い道に変わっていました。
    大平林道に降り立つと、すぐ右手に道しるべがありました。
    「大垂水」と示す方向の通りに大平林道と別れ、斜面につけられた細い道に入りました。
    やがて道が少し広くなり、コンクリートの階段が現れ、そこから甲州街道を渡る歩道橋と直接つながって、南高尾への道へ。10:40。

    甲州街道が樹間から透けて見えるのでちょっと怖い崖っぷちの細い道をしばらく進み、そこから上り坂が続きます。
    春夏は暑くてつらい道ですが、気温の低い今日は、気持ちよく登っていけました。
    大洞山。11:05。

    ここから先は、秋は特にしみじみとして好きな道です。
    茶色の落ち葉に赤や黄色の葉が彩りを添える道を踏みしめて、ゆっくりと歩いていきました。
    少し前を行く登山者の、つばの狭い生成りの帽子と、なで肩に古い型のザックを背負った後ろ姿が、秋の道に似合っていました。

    展望台。11:45。
    津久井湖とその周辺が箱庭のように見渡せるベンチで昼食。
    ぽかぽかと日差しか暖かく、1枚羽織る必要もなく食事ができました。
    ポットには熱いコーヒーを詰めてきました。
    担いでいるスポーツドリンクの分量も少なくて済むし、秋から冬の山歩きはいいなあ。

    さて、再び出発。
    細い道をトレイルランナーとすれ違います。
    今日の南高尾は、登山客は少ないけれど、トレイルランナーが多いです。

    三沢峠。12:45。
    ここはまき道も含めて5叉路の道。
    ベンチもあって、休憩適地です。
    「高尾山口」の道しるべの通りに上り坂を行くと、東高尾の遊歩道と合流します。
    道は広く、階段が整備されています。
    急な階段をどんどん降りて、最後に登ると、草戸山。13:15。
    ここは、いつも通りに人で賑わっていました。
    ベンチに座って見上げると、葉の落ちた木に柿の実がいくつか残っています。
    青い空と柿の実に見とれていると、お尻に何か気配があり、振り返ると、あ、犬だ。
    「すいませんっ」
    と飼い主さんが、リードを縮めました。

    さて、下山。
    高尾山口へは、植林帯の暗い下りから始まりますが、すぐに日差しの明るい尾根道へと変わります。
    この時間に登ってくる人が意外に多いのは、混雑を避けてのことでしょうか。
    時差登山。フレックスかな。

    途中の道しるべに、
    「四辻より先、高尾駅を示す誤った落書きによる道迷いが発生しています」
    という掲示が提げられていました。
    四辻から京王線高尾山口駅に降りる道と別れ、まっすぐ進むJR高尾駅への道があります。
    随分前に私も一度歩きました。
    下山口を見つけるのが難しかった記憶があります。
    人があまり歩かないので、この季節は落ち葉が積もり、もっと不明瞭でしょう。
    そういうときに間違った落書きを残していくのは、ひどいなあ。

    四辻まで来ると、12月2日(土)、南高尾を回り、笹尾根を登って数馬がゴールのトレイルランニングの大会が行われるという掲示がありました。
    だからトレイルランナーが多かったんですね。
    距離は、42km。
    外秩父七峰と同じ距離だけど、アップダウンから考えると、これは走れるところでは走らないと1日では無理だろうなあ。

    四辻から、高尾山口へ。
    あっという間に高尾の信号前に出て、観光客でごった返す駅前へと戻ってきました。14:35。
      


  • Posted by セギ at 14:42Comments(0)

    2017年11月17日

    三角比と関数の融合問題。


    三角比と関数の融合問題を今回は扱ってみましょう。

    問題 0°≦x≦180°のとき、 y=2sin2x-2cosx-1 の最大値と最小値を求めよ。

    小学生や中学生は、文章題を見ると、
    「問題が6行も書いてある。こんなの解けるわけない」
    と、問題文の長さだけで解くのを諦めたりします。
    あるいは、中学数学の関数や図形問題で、前提となる問題文を読まず、(1)の短い設問とグラフや図だけを見て、
    「わからない、わからない。難しい」
    とうんうんうなっている子も、珍しくありません。
    問題文を読む習慣のない子は、かなりの割合で存在します。
    どうせ大したことは書いていないと思っているのでしょうか。
    文字を読み取ること自体が苦痛なので、できるだけ省略したいのでしょうか。
    そういうタイプの問題は、問題文を読まないと解けるわけないんですけど。
    (^-^;

    しかし、高校の数学には、もっと別の怖さがあります。
    こういう問題文が1行だけの問題が増えてくるのです。
    何行も問題文が書いてあれば、どこかにヒントがありますが、こんなふうに1行で終わられたら、何もとっかかりがありません。
    何をどうしたらいいのかわからない、という事態に至ります。

    問題が何を言っているのか、わからない。
    何を要求しているのか、わからない。

    何をどうすることがこの問題を解いたことになるのか全くわからない、ということが起こりうるのです。
    教わったときだけは何とか解き方を暗記しても、2か月も経って、校外実力テストや模試でこういう問題が出ていると、この1行を見つめたまま固まることになります。
    そんな高校生は、多いです。
    高校数学に白紙答案があるのは、そういう理由です。
    わざと解かないわけではない。
    どう解いたら良いのか、本当に何もわからないのでしょう。

    この問題は、
    「最大値・最小値って、関数で出てくる用語だよね」
    と気づくと、問題がほぐれてきます。
    そう思って見ると、
    y=2sin2x-2cosx-1
    って、関数ですよね。

    これと似ている関数のイメージは、
    y=2x2-2x-1
    だから、ああ、これは2次関数なのだと気づきます。

    しかし、普通の2次関数と違うのは、xではなく、sinxとcosxが使われていること。
    うん?
    それは、書き換えられたんじゃなかったでしたっけ?
    サインはコサインに、コサインはサインに、転換する方法がありましたよね。
    ここで、三角比の相互関係の公式を用いるのだと気づけば、もう先は見えてきました。
    公式は、こうです。

    sin2θ+cos2θ=1 (2は指数)
    すなわち、
    sin2θ=1-cos2θ
    今回は、角度はθではなく、xが使われていますから、
    sin2x=1-cos2x
    これを代入します。

    y=2sin2x-2cosx-1
     =2(1-cos2x)-2cosx-1
     =2-2cos2x-2cosx-1
     =-2cos2x-2cosx+1

    ああ、これは2次関数ですねえ。
    慣れてくるとこのままでも先に進めますが、見やすくするため、cosx=t と置き換えてみましょう。
    すなわち、
    y=-2cos2x-2cosx+1
     =-2t2-2t+1
    これの最大値と最小値を求めたらいいんだー。
    ヽ(^。^)ノ

    しかし、その先もそう簡単にはいかない人がいます。
    「三角比」の学習に入る頃には「2次関数」で学んだことの大半を忘れてしまっている子が多いのです。
    数学は積み上げ科目なので、一度学習したことは忘れたらダメなのですよー。

    2次関数の最大値と最小値の求め方?
    何をどうするんでしたっけ?
    2次関数のグラフは放物線です。
    まずは定義域を無視して考えるのなら、頂点の y 座標が最小値か最大値になります。
    下に凸の放物線ならば、頂点の y 座標が最小値。
    上に凸の放物線ならば、頂点の y 座標が最大値。

    頂点の座標を求めるためには、平方完成をします。
    平方完成のやり方、覚えていますか?
    高校生が相手ですと、ここでまたドタバタ。
    平方完成という言葉すら忘れていたりします。

    y=-2t2-2t+1
     =-2(t2+t)+1
     =-2(t+1/2)2+1/2+1
     =-2(t+1/2)2+3/2

    すなわち、頂点の座標は、(-1/2 , 3/2) となりますから、
    t=-1/2のとき、最大値3/2となります。

    ところで、これは、定義域にある数なのか?
    そもそも定義域ってあったっけ?
    この確認は大切です。
    t の定義域って?
    cosx=t としたのですから、その定義域を考えればよいわけです。
    問題の最初に書いてある通り、0°≦x≦180°なので、
    cosxの変域は、-1≦cosx≦1。
    すなわち、-1≦t≦1。

    高校生は、ここでさらにドタバタ。
    コサインの変域ということが、どうにもこうにも理解できない人が現れます。
    そこで、単位円を描いて、もう一度、コサインの定義から説明し直しとなる場合が多いです。
    半径1の単位円上の点をP(x,y)とし、動径OPとx軸の正の方向とのなす角をθとすると、
    cosθはxの値そのものでした。
    ですから、θ=0°のとき、すなわち、OPはx軸が重なっているときは、P(1,0)ですから、
    cos0°=1
    θ=90°のときは、P(0,1)ですから、
    cos90°=0
    θ=180°のときは、P(-1,0)ですから、
    cos180°=-1
    このように、0°≦θ≦180° のとき、-1≦cosθ≦1 です。

    さて、コサインの変域が理解できたので。
    定義域は、-1≦t≦1。
    おお、t=-1/2は、定義域内に入っていますね。
    これで、最大値は確定です。

    ところで、最大値を答えるときは、xが何の値のときにyが最大値になるのかも答えなければなりません。
    t=-1/2
    すなわち、cosx=-1/2
    頭の中で単位円を想像して。
    それがまだ無理なら、実際に単位円を描いて。
    cosx=-1/2
    すなわち、x=120°

    次に最小値を考えます。
    放物線は、左右対称です。
    今、放物線は上に凸。
    頂点から離れるほどに、急激に y の値は小さくなっていきます。
    tの変域の内部で、頂点の t の値-1/2から距離があるほうの端の値が、最小値となります。
    -1と1。
    -1/2から遠いのはどちらか?
    もちろん、1ですね。
    ですから、t=1のとき最小値です。
    t=1を代入して、
    y=-2t2-2t+1
    =-2-2+1
     =-3
    さて、t=1すなわち cosx=1のとき、
    またまた、単位円をイメージして。
    x=0°

    したがって、
    x=120°のとき最大値3/2
    x=0°のとき最小値-3

    これが最終解答となります。
    問題に出てくるxとyと、コサインの定義に出てくるxとyとで混乱が起こる人もいます。
    cosθならばわかるけれど、cosxと書いてあるだけで、何のことかわからなくなる人もいます。
    「そんなところでxを使っていいんですか?」
    と不安になり、納得できない様子なのです。
    「きちんと定義してあれば、どんな文字だって使っていいでしょう」
    そう説明しても、頭の中の霧は晴れない様子です。

    数学が苦手な人の頭の中を覆うこうした「霧」の正体は何なのか。
    xやyなど、文字が数学に登場した頃から、実は納得できていなかったのではないか?
    何か使い方にルールがあるはずなのに、自分だけそのルールが理解できないでいる。
    そんな不安があるのだろうかと想像してみるのですが、まだよくわからないことが多いです。
    生徒の言葉の端から想像してみるしかないのです。
    わからないことの何がどのようにわからないのかを明確に語ることができるのなら、それは「わかっている」のと同じでしょう。
    何がわからないのかわからないから、本人も悩んでいるのだと思います。

    不安は、比較的理解力のある高校生の中にもあるようです。
    わからないわけではない。
    説明を聞けばわかるのです。
    でも、自分で解こうとすると、途中で詰まってしまう。
    あれ、何のことだっけ?
    今、何をやっていたんだっけ。
    そうやって何度も詰まる。
    そんな感想の人もいると思います。
    わからなくなる度、なぜそれで解けるのかを考え直し、頭の中に明瞭な筋道を作っていきましょう。
    作業手順だけ覚えてやり過ごそうとしても、作業手順が長すぎて、覚えきれないです。
    覚えることは、これだけではないのですから。

    思うに、希望はあるものとも言えぬし、ないものとも言えない。
    歩く人が多くなれば、それが道になるのだ。

    歩くのが自分一人ならば、何回も歩けば、それは道になります。
    ヽ(^。^)ノ

      


  • Posted by セギ at 12:29Comments(0)算数・数学

    2017年11月16日

    冬期講習のお知らせ 2017年度


    2017年度冬期講習のご案内です。
    詳細は、11月末の授業時に書面をお渡しいたします。
    お申込み受付は、12月1日(金)からとなります。
    メールまたは申込書でお申込みください。
    なお、この期間、通常授業はありませんので、いつもの時間帯の授業を希望される方も改めてお申込みください。
    今回も、外部生の受講は承っておりません。
    大変申し訳ありません。
    以下は、冬期講習募集要項です。

    ◎期日
    12月25日(月)~12月30日(土) 
    1月4日(木)~1月7日(日)
    なお、12月23日(土)は、祝日休校とさせていただきます。
    1月8日(月)は、祝日ですが、平常授業となります。

    ◎時間帯
    10:00~11:30 , 11:40~13:10 , 18:20~19:50 , 20:00~21:30

    ◎費用
    1コマ90分4,000円×受講回数

    ◎指導科目
    小学生 一般算数・受験算数・英語
    中学生 数学・英語
    高校生 数学・英語

    ◎空きコマ状況 12月14日現在
    12月26日(火)
    10:00~11:30、11:40~13:10

    12月30日(土)
     11:40~13:10 , 20:00~21:30

    1月6日(土)
    10:00~11:30 , 11:40~13:10 ,20:00~21:30

      


  • Posted by セギ at 12:40Comments(0)大人のための講座

    2017年11月15日

    11月25日(土)、大人のための数学教室を開きます。


    11月11日(土)、大人のための数学教室を開きました。
    「複素数」の学習、今回は2回目です。
    今回は、いよいよ2次方程式の解に関する問題から。

    問題 次の2次方程式を解け。
    6x2-2x+1=0

    因数分解できないので、解の公式を使って解きます。
    xの係数が偶数なので、2本目の解の公式が有効ですね。
    x=1±√1-6
     =1±√-5
     =1±√5 i

    虚数単位を使うと、このように、全ての2次方程式に解が存在します。

    問題 次の方程式の実数解を求めよ。
    (2+i)x2+(3+i)x-2(1+i)=0

    これは、係数が虚数ですね。
    このまま強引に解の公式を利用する方法もあるのですが、まだ学習していない内容なので、ここはシンプルに、実部と虚部に分けて考えると楽に解けます。

    (2+i)x2+(3+i)x-2(1+i)=0
    2x2+ix2+3x+ix-2-2i=0
    (2x2+3x-2)+(x2+x-2)i=0
    ここで、xは実数なので、2x2+3x-2、x2+x-2は、それぞれ実数です。
    虚数a+bi=0 のとき、a=0、かつb=0 ですから、
    2x2+3x-2=0 かつ x2+x-2=0 
    となります。
    ですから、これを連立方程式としてその解を求めれば良いですね。
    2x2+3x-2=0
    (x+2)(2x-1)=0
    x=-2、1/2・・・①
    x2+x-2=0
    (x+2)(x-1)=0
    x=-2、1・・・②
    ①かつ②が解となるので、
    x=-2


    xを基準にまとめるのか、iを基準にまとめるのか、途中でよくわからなくなることもあるようですが、今は実部と虚部に分けて整理しようしているので、iの有無で分けていくだけです。

    ここらへんになると、やっていること自体は特に難しくない計算問題なのですが、気持ちで負けてしまう高校生が多く、精神的に支えていくことが私の仕事のかなりの部分を占めるようになります。
    数学が嫌いな子の多くは、中学の数学もそんなに身についているわけではありません。
    「中学の数学くらいわかりますよっ」
    と主張するのですが、2次方程式の解の公式をスラスラ活用できるかというと、それはかなり怪しかったりします。
    「公式くらい、わかってますよっ。でも、僕は、引き算が苦手なんですよっ」
    と言われて、言葉を失ったこともあります。
    ・・・・そうか。
    じゃあ、ゆっくりやろう。
    そう声をかけても良いのですが、そんな優しさはむしろ相手を傷つけてしまいそうでした。
    何より本人が、自分の言った言葉に自分で傷ついて、涙目になっていたのです。

    問題 次の2次方程式の解を判別せよ。
    1/3x2-1/2x+1/5=0

    解の判別に関する問題は、数Ⅰ「2次関数」の章で学習済みです。
    ただし、その頃は虚数解というものはなく、「実数解なし」という判別をしていました。
    そこを改めていくだけですね。

    解を判別するには、判別式を用いるのでした。
    2次方程式 ax2+bx+c=0 のとき、
    解の公式は、x=(-b±√b2-4ac)/2a です。
    この√ の部分がもし0ならば、解は x=-b/2a の1つだけとなります。
    これがすなわち重解です。
    √ の中身が正の数ならば、異なる2つ実数解が求められますね。
    このように、√ の中身で解の個数を判別できるので、√ の中身の部分を「判別式」と言うのでした。
    すなわち、判別式D=b2-4ac
    また、xの係数が偶数のときの解の公式の√ の中身を用いることも可能です。
    判別式D/4=-b'2-ac
    となります。

    まとめますと、
    D>0 のとき、異なる2つの実数解
    D=0 のとき、重解
    D<0 のとき、異なる2つの虚数解
    今後は、このように判別していくことになります。

    さて、上の問題は、
    1/3x2-1/2x+1/5=0
    という見た目では計算しにくいので、係数が整数になるように整理しましょう。
    方程式ですから、両辺を何倍かしても、関係は変わらないのでした。
    3と2と5の最小公倍数は30ですから、両辺を30倍すると、分母を払うことができます。
    10x2-15x+6=0
    よって、
    判別式D=152-4・10・6=225-240=-15<0
    よって、解は 異なる2つの虚数解です。

    しかし、単純に解を判別するだけでは、退屈ですね。
    そろそろ少し応用的なものを解きたくなります。
    例えば、こんな問題です。

    問題 2次方程式 x2+(k+1)x+k+2=0 が異なる2つの虚数解をもつようなkの値の範囲を定めよ。

    判別式を使うんだなあということはピンとくると思います。
    使ってみましょう。
    D=(k+1)2-4・1(k+2)
     =k2+2k+1-4k-8
     =k2-2k-7
    異なる2つの虚数解をもつのですから、D<0 です。
    よって、
    k2-2k-7<0
    これは2次不等式です。
    まず2次方程式に直して計算します。
    k2-2k-7=0
    解の公式を用いて、
    =1±√1+7
     =1±2√2
    よって、上の2次不等式の解は、
    1-2√2<k<1+2√2
    これが最終解答です。

    途中まではわかっても、「2次不等式」のところで詰まってしまう高校生は多いです。
    数Ⅰの内容があまり身についていない高校生は、この2次不等式の解き方をもう忘れてしまっているのです。
    そもそも、その前の段階の「判別式」を数Ⅰで学習したことすら曖昧になっている子もいます。
    学校では、数Ⅰでやった内容はざっと復習するだけです。
    それだって随分親切な授業でしょう。
    進学校なら「これは数Ⅰでやったな?」と確認をとるだけで終わる可能性もあります。
    しかし、完全に忘れてしまっている子にとっては、せっかくやってくれる「ざっと復習」も、その授業スピードでは、速すぎて理解できないようです。
    数Ⅱで大きく崩れ、数学の授業についていけなくなる子が多い原因の1つは、このように、数Ⅰの内容が身についていないことにあると思います。

    もっとも、高校2年の秋ともなりますと、数学が苦手な生徒の限界への配慮もあります。
    授業スピードはゆるめないものの、定期テストは易しくなる高校が多いです。
    数学の単位が取れないと、卒業できないですから。
    進学校なのに計算ドリルみたいなテストだったりします。
    そうしたテストをつくづくと眺め、結局数学の最終学年でこんなテストになるのなら、中等部のときにあんなに異様な分量と難度のテストで生徒を苦しめて数学嫌いにさせなければよいのに、と嘆息することもあります。
    公立中学から普通の都立高校に進学していたら、この子も、センター試験くらいは対応できる数学力がついたのではないかと、つい思ってしまうのです。
    どの進路が子どもを伸ばすかは、1人1人違うので、難しいです。

    おっと、話が随分それました。
    次不等式の話でした。
    詳しくは、このブログの前のページに戻ってください。
    2次不等式の基本を説明してあるページがあります。

    さて、次回の大人のための数学教室のお知らせです。
    ◎日時  11月25日(土)10:00~11:30
    ◎内容  数Ⅱ「複素数」を続けます。p.25の問題16までが宿題です。
    ◎場所  セギ英数教室
           三鷹市下連雀3-33-13
             三鷹第二ビル 305
           春の湯さんの斜め前のビルです。
    ◎用具   ノート・筆記用具
    ◎参加費 2,000円
           当日集めさせていただきます。
    ◎予約  私の携帯メールかラインに、ご予約をお願いいたします。




      


  • Posted by セギ at 13:53Comments(0)大人のための講座

    2017年11月13日

    払沢の滝から浅間尾根を歩きました。2017年11月。



    2017年11月12日、久しぶりに山を歩いてきました。
    ホリデー快速あきがわ3号に乗車し、終点武蔵五日市下車。
    駅前発の数馬行きのバスは3台同時発車でした。9:00。
    本宿役場前下車。9:20。
    三叉路を左に曲がっていくバスを見送り、横断歩道を渡って右のゆるい坂道を登ると、有名なお豆腐屋さん。9:30。
    車を誘導する人が立っていました。
    観光シーズンですね。

    看板の矢印通りに、まずは払沢の滝を見物。
    整備された遊歩道を奥へと歩いていきます。
    今年は夏の日照時間が不足していましたから、紅葉はそれほどきれいではないでしょう。
    でも、あまり期待しないで行くと、赤が鮮やかに出ている木もあり、何だか得をした気分になりました。
    少ないものをしみじみと味わう気持ちになります。

    遊歩道の突当りが、払沢の滝。9:40。
    写真好きの人たちが三脚を立て、既にスタンバイ完了の状態で待機していました。
    これから滝に陽が差してきたら、シャッターチャンスなのでしょうか。

    滝壺まで岩の階段を上がって行くことができます。
    近場でじっくり滝を見物。
    その後、あずまやでひと休み。
    そうして、のんびり来た道を戻りました。
    遊歩道の入り口まで戻ると、浅間尾根への道しるべがあります。
    その通りに歩いていくと、まずは駐車場。
    ペーパーの設置されたきれいなトイレがありました。

    駐車場の端から山道の始まりです。
    林道と、林道をショートカットする細い山道が繰り返され、高度を上げていきます。
    向こうに見える隣りの尾根の山の色も、秋の色。
    赤紫に霞んでいました。

    時坂峠を越えて、さらに林道を行くと、峠の茶店。
    その先、徒歩5分ほどで、そば処みちこ。
    今日はここでお昼ご飯です。11:00。



    山道を徒歩1時間の蕎麦屋というとかなり秘境の印象です。
    でも、ここまで舗装された林道が通り、駐車場もありますので、車で来ている人も多いようです。
    2年ほど前に通りかかったときと比べ、表の垣根の色合いも随分ひなびて良い雰囲気でした。

    しかし、店内は、アンジャッシュ渡部の写真入り色紙などが壁にずらっと飾られてありました。
    ああ、こういう感じかあ。
    ちょっとがっかり。
    「秘境飯」系のテレビ番組の取材を受けることが
    多いのでしょうか。

    メニューは冷たいお蕎麦が3種類。季節限定の温かいきのこ蕎麦が1種類。
    全て、天ぷら付きにできます。
    私は、手打ち二八蕎麦、天ぷら付。1200円を注文。
    私の前に立て続けに3組、客が入っていたこともあり、店に入ってからお蕎麦がテーブルに出てくるまで、所要時間40分。




    ぶつ切りの太目の蕎麦でした。
    味は普通においしいお蕎麦と天ぷらでした。
    浅間尾根に登るときには、また寄ろうかな。

    さて、12:00、出発。
    ここからは、ずっと山道です。
    まずは沢に沿い、やがて沢と離れ、高度を上げていきます。
    陽の光が差すと、赤い葉がきれいです。
    黄色い葉のほうは、どの年も安定してきれい。
    落ち葉の積もった山道を向こうからやってくる登山者と、挨拶を交わしてすれ違います。
    しみじみと、秋です。

    展望台との分岐。
    このまま直進しても浅間尾根の休憩園地に到着しますが、展望がいいのは「展望台」と道しるべに記されている尾根道のほうです。
    道しるべに従い、そちらへ。
    しかし、広くなだらかな斜面に落ち葉が深く積もっていて、途中で登山道がよくわからなくなりました。
    道のように見えてはいるけれど正規の登山道ではないところに、気がつくと迷い込んでいました。
    落ち葉に覆われた足元は、まあまあ固いので、人が歩いていないところではなさそうです。
    作業道かな。
    それでも、日差しが明るいので、あまり慌てずに済みました。
    尾根は見えている。
    あそこに上がれる道を探そう。
    無理はせずに、足元を確かめながら、歩ける道を行こう。
    登っていくと、遠くに道しるべが見えて、安全にそこまでたどりつくことができました。
    ああ、正規の道は、やはりずっと固い。

    浅間尾根展望台。13:00。
    向いの尾根の大岳山と御前山を山座同定できる杭は変わらずです。
    ベンチやテーブルが新しく設置されていました。
    煮炊きが楽にできるようになったので、登山者でにぎわっています。
    2年来ないと山は変わりますね。
    便利なんだけれど、ふっと寂しくなったりします。
    ごつごつした石に座ってお昼を食べた、あまり人のいない浅間尾根も好きだったな。
    ベンチに座り、山を眺めました。
    秋の色です。
    上の写真はそこで撮りました。

    さて下山。
    下り道も整備されて歩きやすくなっていました。
    前回は園地に降りて、そこからまき道を行きましたが、今回は尾根通しに歩いてみることにしました。
    多少わかりにくいところもありましたが、さっき迷ったので慎重に踏み跡を探したこともあり、迷わず降りていけました。
    その先、崖っぷちの細い道もときどきあり、注意してそろそろと通過する箇所もありましたが、概ねよく整備された道が続きます。

    数馬分岐。14:30。
    ここで浅間尾根と別れ、檜原街道へと降りていきます。
    この下り道も整備された歩きやすい道でした。
    やがて舗装道に出て、道なりにぐっと下っていくと、檜原街道に合流。

    そこからは、バス停2つ分歩いて、檜原温泉センター数馬の湯へ。15:30。
    靴を脱いで、下駄箱に入れようとして、あれ?
    100円を投入して、後で戻ってくるタイプの下駄箱でした。
    前からそうでしたっけ?
    うわあ、財布に100円玉がない。
    まずは両替をしてもらうために受付の行列に並び、その後、下駄箱の鍵を手にもう一度受付に並ぶという二度手間になってしまいました。
    お蕎麦屋さんで、おつりなしで支払いしなければ良かったー。
    というより、もっと小銭の用意を、ということですね。
    お風呂は、シャンプーとボディソープの質が良くなっていました。
    泡立ちがいい。
    湯舟は安定の快適さです。
    ここは、内風呂が良いんです。
    高窓から見える山を眺めながら、深めの浴槽に首までしっかりつかります。
    はあ、山の温泉も久しぶりだあ。

    お風呂から上がり、缶ビール500mL420円。
    飲み終わって、温泉センター前のバス停の行列に並びました。
    「都民の森」発のバスは、4台同時にやってきました。
    4台目で座ることができました。16:09。
    観光シーズンなので、十里木を過ぎたあたりから道は渋滞しましたが、終点武蔵五日市駅でバスを降りると、ちょうどホリデー快速あきかわ6号に間に合いました。17:21。
    三鷹まで1本で、18:09、予想外に早く帰宅できました。

      


  • Posted by セギ at 14:11Comments(0)

    2017年11月09日

    三角比の拡張。ここで三角比は生まれ変わります。



    三角比の始まりは、直角三角形の辺の比です。
    非常に便利なのですが、直角三角形である限り、∠θは鋭角なので、限定的です。
    何とか鈍角でも三角比は使えないでしょうか?

    はあ?
    直角三角形に鈍角なんてあるわけないし!
    そんな反応も予想できます。

    それは当然そうなのですが、とにかく便利なので、使えるようにしたいのです。
    その発想が原点です。
    とにかく、1つのことが言えたら、それを一般化したいのです。
    「三角比の拡張」と言いますが、私は飛翔するようなイメージを持っています。
    定義し直すことで、三角比は「空も飛べるはず」なのです。
    (*^^)v



    この図を見てください。
    これがいわゆる単位円ですが、高校1年の数Ⅰ「三角比」では、まだ∠θは0°から180°までなので、上半分しか描きません。
    単位円とは、座標平面上に描いた、原点を中心とした半径1の円です。
    この円周上を動く動点Pの座標を(x,y)とします。
    中心と結んだ線分OPを動径と呼びます。
    「動く半径」ですね。
    Pを円周上のどこにとってもOPは円の半径ですから常に1です。
    Pからx軸に垂線を下ろします。
    そうすると、上の図のような直角三角形を座標平面上に描くことができます。
    斜辺は半径ですから、長さは1です。
    P(x,y)ですから、この直角三角形の対辺の長さはy、底辺の長さはxとなります。
    動径とx軸の正の方向との成す角をθとすると、
    sinθ=y/1=y
    cosθ=x/1=x
    tanθ=y/x
    となります。
    これは便利です。
    サインがy座標そのもの、コサインがx座標そのものになりますから。
    このように、三角比を定義し直します。

    原点Oを中心として半径rの円において、x軸の正の向きから左まわりに大きさθの角をとったとき定まる半径をOPとし、点Pの座標を(x,y)とする。このとき、
    sinθ=y/r , cosθ=x/r 、tanθ=y/x と定める。
    というのが、拡張した三角比の定義です。

    実際には、上のようにr=1のとき、サインがy座標そのもの、コサインがx座標そのもの、タンジェントは直線OPの傾きそのものになり、とても便利なので、この単位円で話を進めていきます。

    数学が苦手な高校生は、中学の頃から関数が苦手なことが多いです。
    上の説明では、直角三角形の対辺がyになり、底辺がxになるところが理解しにくい様子です。
    座標と線分の長さとが頭の中で上手くつながらないようなのです。
    中学の数学の座標平面と図形に関する問題も、そこが頭の中でつながらないせいでほとんど得点できない子が多いです。
    「これは応用問題だから、自分はできなくても仕方ないやあ」
    などと軽く考えて避けていると、高校生になるとそこが基本になるので、訳がわからなくなっていきます。
    理解できないので、ただ暗記するだけになります。

    つい先日も、中学生との数学の授業で、点Pのx座標をtと置いて、座標平面上の正方形の辺の長さをtを用いて表し、最終的にPの座標を求めるという典型題の解説・演習をしていたのですが、
    「勝手にtと置いたのに、何でtの値がわかるんですか?」
    「tは定まっていないのに、何でtを求めていいんですか?」
    という、わかるようなわからないような疑問で頭がねじれてメビウスの輪になっている子と議論しました。
    ここのところがどうしてもわからない子と、一度でスルッと理解する子との違いは何なのだろうといつも不思議に思います。

    また、「単位円上の動点Pの座標を(x,y)とする」というのは定義であるのに、
    「どうしてそうなるんですか?」
    「点Pが円周上にないときはどうするんですか?」
    といった不要な質問で頭がいっぱいになって、理解できなくなる高校生も多いところです。
    それは定義なんだから、疑義を挟むところではないんです。
    定義というのは決めたことで、理由はないんです。
    あえて言えば、そう定義することで後々便利だからです。
    しかし、そう言っても、納得できない様子です。
    xやyというのは、もっと使い方に別のルールがあって、そこで勝手に使ってはいけないのではないか?
    そういう思い込みがあるのかもしれません。
    繰り返しますが、これは定義です。
    単位円上の動点Pの座標を(x,y)とすることには、何の問題もありません。
    「単位円上の動点」と決めたので、点Pは、そこから外れることもありません。

    話を戻しましょう。
    x=cosθ
    y=sinθ
    y/x=tanθ
    このように定義し直したら、もう直角三角形から離れ、三角比は1人歩きできます。
    座標平面の第2象限、すなわち、単位円の半円の左側に動径OPが来ても、同じ定義で有効ですね。
    すなわち、鈍角の三角比を求めることができます。
    サインは、点Pのy座標そのもの。
    コサインは、点Pのx座標そのもの。
    タンジェントは、OPの傾き。
    そう把握できるのです。

    点Pが第2象限にあるとき、反対向きの直角三角形を描き、その辺の比を求めようとしてサインとコサインがグチャグチャになってしまう高校生がいます。
    うんうんうなりながら、鏡の中で反転している直角三角形と格闘しているのですが、そういうことではないんです。
    ∠θはあくまでも、x軸の正の方向と動径OPとの成す角です。
    考えるヒントとして反対向きの直角三角形を描いて解説するのは、第1象限の直角三角形とy軸に対して線対称であることを示すためです。
    線対称だから、第1象限に置き換えて考えましょうと説明しているのですが、ノートに第2象限の直角三角形が残るせいか、そっちで求めるのだと誤解している高校生がいます。
    第2象限の三角比は、絶対値を第1象限の直角三角形で把握し、それにプラス・マイナスの符号をつけて求めていくと楽です。
    拡張された定義から明らかですが、サインはyの値ですから、相変わらず正の数です。
    コサインはxの値ですから、負の数。
    タンジェントもxの値が負の数であることが影響し、負の数となるでしょう。
    考えるヒントとして反対向きの直角三角形を使いたい人は使えばよいのですが、それで混乱するのは無駄なことだと思います。
    あげく、「鈍角の左側の直角三角形の辺の比を求めること」と思い込み、「三角比とは直角三角形の辺の比である」というところから全く飛翔できず、三角形の面積を求める頃になって「直角三角形以外では、三角比は使えないですよっ」と言い張る高校生と不毛な議論をしたこともあります。

    実際の問題で考えてみましょう。
    例えば、∠θ=120°のとき。
    P(x,y)は、∠θ=60°のときのPと、y軸について線対称です。
    ∠θ=60°のとき、特別な比の直角三角形をイメージして解くと、
    sinθ=√3/2 , cosθ=1/2 , tanθ=2/1=2 ですから、
    ∠θ=120°のときは、
    sinθ=√3/2 , cosθ=-1/2 , tanθ=-2 となります。

    慣れてしまえば、いちいち描かなくても、頭の中で特別な比の直角三角形をイメージするだけで解けます。
    上手くイメージできない間は、第1象限に直角三角形を描いて解いても良いでしょう。

    スラスラっと説明してきましたが、ここら辺になると、つまずく石は無数に存在し、
    「足元に気をつけて!」
    と注意し続けながら授業を先に進めるような状況となってきます。
    いったん理解したはずなのに、ここでパニックを起こし、三角比は角度のことだと錯誤し、混乱し始める子もいます。
    「苦手な図形」と「大嫌いな関数」が合体したのですから、地獄巡りの心境の子がいるのも無理からぬところです。
    すぐに定義が曖昧になり、何でそれで求められるかわからなくなってしまう子が続出します。
    とにかく学校の問題集だけ解きたい、学校の問題集を解いて提出しなければならないから、その問題だけを解きたい。
    そんな高校生がどんどん増えていきます。

    でも、敗退にはまだ早い。
    まだ、常人に理解できる範囲の数学です。
    繰り返し繰り返し、意味に戻って理解し直せば、三角比は必ずマスターできます。



      


  • Posted by セギ at 11:47Comments(0)算数・数学

    2017年11月06日

    中間テスト結果出ました。2017年2学期。


    2017年2学期中間テストの結果が出ました。

    数学 90点台 1人  80点台 1人  70点台 1人 
        60点台 1人  50点台 3人  30点台 1人
    英語 100点 1人  90点台 1人  80点台 2人 
        60点台 1人  50点台 1人

    50点未満が常連の人たちが、今回、50点を突破し、やったーと思っていたら、最後の最後で数学に30点台が1人出てしまい、予想外の展開でした。
    でも、今回は、病気だったので仕方ないです。
    また次回。

    今回、良かったなあと思うことの1つは、
    「テストまで、学校の問題集を1回解いてノートを完成させるだけ」
    という学習習慣からの脱却が成功しつつあることです。
    学校の問題集を1回解いたのが数学の勉強の全てで、成績が上がるわけないのですから。

    そうでない授業を徹底すれば良いだけなんじゃないの?

    と言われると、本当にその通りなのですが、なかなかそれが難しいのです。
    入塾してくる生徒のうち、中高一貫校の生徒の大半は、数学の「体系問題集」を教えてほしくてやってくるのです。

    中高一貫校の多くは「体系数学」という特殊な教科書を採用しています。
    5年間で数Ⅲまでを終える、特別な構成の教科書です。
    「三角比」と「三角関数」を一気に学習してしまうなど、類似の単元を一気にやるため、学習上の「無駄」が省かれます。
    言い換えれば、反復がなされない教科書です。
    一度つまずくと、それっきりです。

    それでも、教科書「体系数学」は読み物としてなかなか丁寧な作りで、数学を独学する大人の人にはこの教科書の注文購入を勧めたいくらいです。
    しかし、準拠問題集「体系問題集」は厄介です。
    レベルAの問題は教科書「体系数学」で扱っている例題の類題が多いので、特に問題ありません。
    しかし、レベルB、レベルCは、教科書で扱っていないパターンの難問が多数含まれています。
    これを自習してノートを提出するのが学校の宿題となります。
    詳しい解答・解説は学校から配られていますが、数学が苦手な子は、解説を読んでもわからないのです。
    だから、個別指導で教えてほしい。
    そういう生徒が入塾してきます。
    つまり、入塾の目的が「体系問題集の解説」です。
    「学校の問題集は扱いませんよ」
    と言いにくい、というより、言えない。
    そんな事情が最初に発生しています。


    うちの塾で、数学で高得点をマークしている子たちは、中学生にしろ高校生にしろ、学校の問題集を塾で扱うことはありません。
    体系問題集でも、それ以外でも、どんな問題集でどんなレベルのものがその子の学校の問題集であるかは把握していますが、内容を扱うことはありません。
    学校の宿題は自分で解きます。
    その他に塾テキストで学習し、塾の宿題を解きます。
    余裕があれば、さらに自分で市販の問題集を買って解きます。
    進度は学校に合わせて塾の授業を行っていますが、学校の教材は扱いません。
    そのほうが、結果が出るからです。
    立体的な学習となり、その単元の重要ポイントがわかります。
    テストにどんな問題が出題されるかも、わかるようになっていきます。
    何より、演習量の差は、露骨に得点に反映されます。

    一方、体系問題集での授業を望んで入塾してくる数学が苦手な子たちは、

    学校の宿題がわからないので解説してほしい。
    一緒に解いてほしい。
    それ以外のことはやりたくない。
    とにかく宿題のノートを完成させたい。
    そういう幅の狭い、視野の狭い学習に陥りがちです。

    保護者の方は数学の成績が良くなることもあわせて希望していらっしゃるのですが、子どもは楽ができるとなると、どんどん甘えてきます。
    ちょっとわからないと「塾で教わればいいや」と思い、深く考えなくなります。
    宿題のノートが完成すると、理解できているように思ってしまう子もいます。
    教わって解いた問題は全部自力で解けるような気がするのでしょうか。
    家で解き直したり、別の問題集で類題を解いたりということは、なかなか自発的には行いません。
    宿題のノートさえ完成すれば良いのです。
    もともと、数学の勉強は嫌いなので、それ以上はやりたくないのです。

    その意識のズレに、保護者の方はなかなか気づきません。

    実際、この数年の間には、ちょっと困った生徒もいました。
    先まで予習が進むと、塾を休むのです。
    こちらは、先に先に学習を進めて、テスト前に復習の時間を作りたいと頑張ります。
    そうやって必死に作った時間的余裕を、生徒が休んで空費してしまうのです。
    学校の問題集の件が大丈夫である限り、塾を休むことが増えていきます。
    何でそんなことを保護者が許可しちゃうのかなあ・・・・と思いますが、子どもが「大丈夫」と言う限り大丈夫と思いたい気持ちもわからないではありません。

    これまで、テスト前の最後の授業も、体系問題集の中でもテストに出そうにない応用問題のページを解くことで終了することもありました。
    テスト当日に提出する宿題ノートを完成させることが、数学のテスト勉強の全てでした。
    そんなことですと、やがて成績が下がっていきます。
    結果、塾をやめてしまうことにもつながったこともありました。

    入会の目的が「体系問題集を教えてほしい」である子に、どうにか体系問題集以外のテキストをメインとした授業を行い、成績を上げ、納得してもらう。
    体系問題集もできるだけ自力で解ける学力を養成する。
    この難しい課題に、ようやく少しずつ解決策が見つかってきました。
    授業中に、体系問題集も勿論扱います。
    それでいて、演習量も確保します。
    それをどうするかが解決できるようになってきました。
    それが、今回の成績上昇につながったと思います。

    期末は、さらに頑張っていきましょう。

      


  • Posted by セギ at 14:16Comments(0)講師日記

    2017年11月01日

    三角比の相互関係の公式。覚えましょう。





    三角比の当面の目標は、三角形の辺や角を計算せずに求めていくことです。
    ならば、まずは三角比が1つわかれば残る2つが求められると便利です。
    サインがわかれば、コサインやタンジェントは計算で求められる。
    コサインがわかれば、サインやタンジェントは計算で求められる。
    タンジェントがわかれば、サインやコサインは計算で求められる。
    そのためにあるのが、三角比の相互関係の公式です。

    tanθ=sinθ/cosθ
    sin2θ+cos2θ=1
    1+tan2θ=1/cos2θ
     (2は指数として読んでください。三角関数の倍角みたいに見えて嫌なんですけど)

    この公式は物凄く重要で、以後、度々登場します。
    使わないと解けない問題が多数あります。
    以後もずっと使い続けます。
    高2の「三角関数」でも、この公式を使います。
    三角比は、地道に計算で解くなどありえない単元です。
    公式を使えるかどうかが全てといっても過言ではありません。
    そういう意味で、公式を覚えるのが苦手な子は、「三角比から拒絶されている」という感覚を抱くことがあるようです。
    「三角比」という単元を無機質に感じ、全く親しみを覚えないようなのです。
    逆に公式さえ覚えれば、三角比は何でもないものなのです。

    と、これくらい強調しても公式を覚えない子がいるのが高校数学の不可解なところです。
    ちょっと努力しないと覚えられないような公式が多いからでしょうか。
    確かに、小学校の頃の三角形の面積の公式のように楽にスルスル覚えられるものではありませんよね。
    そのためか、
    「まあ、今は教科書を見ながら解いて、テスト前に暗記します」
    と悠長に構えている子が多いのです。
    しかし、以後の問題にはこれらの公式を使います。
    問題集の解答・解説は、この公式を使ったことは、いちいち解説されていません。
    解説が省略されていて、何のことかわからない。
    それは、公式を覚えていないことからきている場合が大半です。

    公式は忘れた頃にまた使います。
    「三角比」は「三角比」だけで終わる単元ではありません。
    高校二年になると、「三角関数」という単元があります。
    これは、「三角比」で学習した内容を前提として先に進みます。
    三角比の公式を短期記憶にしかせず、全部忘れていると、翌年えらい目にあいます。
    公式は、早め早めに覚えて、覚えた状態で使い、長期記憶にすることをお勧めします。


    とりあえず、上の3つの公式を証明してみましょう。
    まずは1本目。
    tanθ=sinθ/cosθ から。

    三角比の定義より、上の図で
    sinA=a/c 
    両辺をc倍すると、a=c・sinA
    同様に、
    cosA=b/c 
    よって、b=c・cosA
    ゆえに、
    tanA=a/b=c・sinA/c・cosA=sinA/cosA

    次に、2本目。
    sin2θ+cos2θ=1
    これを証明します。

    三平方の定理より a2+b2=c2
    よって、(c・sinA)2+(c・cosA)2=c2
    c2・sin2A+c2・cos2A=c2
    両辺をc2で割って、
    sin2A+cos2A=1

    3本目はこの sin2A+cos2A=1 の両辺をcos2Aで割ります。
    sin2A/cos2A+1=1/cos2A
    tan2A+1=1/cos2A

    なお、実際に計算する際には、上の公式の両辺を逆数にして、
    cos2θ=1/(1+tan2θ)
    を活用しても良いでしょう。
    また、1本目の公式、tanθ=sinθ/cosθ
    の両辺にcosθをかけて、
    sinθ=tanθ・cosθ
    と変形した式を活用すると計算が楽です。

    では、実際に問題を問いてみましょう。
    問題 sinθ=3/5 を満たす鋭角θの、cosθとtanθの値を求めよ。

    sin2θ+cos2θ=1より
    cos2θ
    =1-sin2θ
    =1-(3/5)2
    =1-9/25
    =16/25
    θは鋭角なので、cosθ>0より
    cosθ=4/5

    cosθ>0 なんて当たり前なのになあと感じるかもしれませんが、この直後に、cosθが負の数になる場合を学習します。
    だから、これは書いておく必要のある1行なんです。

    数学の答案は、何を書いて何を書かないのかよくわからなくて混乱する人がいます。
    数学の答案で必要なのは、なぜそのように解けるのか、その根拠を示していくこと。
    今回は、2乗が16/25なのに、なぜ-4/5は答えではないのかは説明しておく必要があります。
    説明の仕方は多様です。
    一字一句にこだわるようなものではありません。

    さて、問題に戻りましょう。
    sinθは問題の通り、3/5、cosθは4/5 と出ました。
    では、tanθは?
    tanθ
    =sinθ/cosθ
    =sinθ÷cosθ
    =3/5÷4/5
    =3/5×5/4
    =3/4

    簡単ですね。
    あとは練習して慣れていけば大丈夫です。

      


  • Posted by セギ at 13:47Comments(0)算数・数学

    2017年10月30日

    11月11日(土)、大人のための数学教室を開きます。

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    2017年10月28日(土)、大人のための数学教室を開きました。
    今回は、いよいよ「複素数」の学習の始まりです。

    その前に、「2次方程式」に話を戻して考えてみましょう。
    例 x2+2x+5=0 を解きなさい。

    解いてみます。
    因数分解はできないので、解の公式を使いましょう。
    x=-1±√1-5
     =-1±√-4

    √の中が負の数になってしまいました。( 一一)
    2乗して負の数になる数なんてありません。
    だから、この2次方程式は、「解なし」となります。

    これが、今までの解き方でした。

    実数の範囲では、これで仕方ないのですが、しかし「解なし」というのは少し残念な感じがあります。
    解のない方程式があるなんて、美しくないな。
    これの解があることにしたらどうでしょうか?
    だって、少なくとも数字の上では書き表すことができるのですから。
    これが、複素数の最もわかりやすい出発点です。
    ピラミッドを作っていた時代から、その数はあるのではないかと問いかけられては否定されてきました。
    複素数の歴史を紐解くと、デカルト、オイラー、ガウスといったビッグ・ネームが次々と登場します。
    興味がある方は検索して調べてみてもよいかもしれませんが、複素数を知るのが初めての状態ですと異次元の数学世界が広がっていますので、あまりお勧めできません。
    物凄くかいつまんで説明しますと、実数というのは、1本の数直線上のどこかに存在する点です。
    有理数も無理数も、1本の数直線上に存在します。
    しかし、虚数は、実数の数直線上には存在しません。
    では、どこに存在するのか?
    実数の数直線を含む平面上に存在します。
    その平面が、複素数平面です。
    この瞬間に、数は、1次元から2次元に拡張されたのです。
    複素数は「2元数」ともいいます。
    でも、このお話が始まるのは、まだまだはるか先。


    では、複素数の定義を見てみましょう。
    まずは虚数単位から。

    2乗すると-1になる数を i とし、虚数単位と呼ぶ。
    すなわち、 i2=-1
    また、a>0のとき、
    √-a=√a i , -√-a=-√a i とする。

    そして、複素数の定義。

    a+bi (ただし、a、bは実数。iは虚数単位)
    の形で表される数を複素数といい、aを実部、bを虚部という。
    b=0のとき、すなわちa+0・i=aで、実数aを表す。
    b‡0のとき、すなわち実数でない複素数を虚数という。
    また、a=0のとき、すなわち0+bi=bi を純虚数という。

    これまで、数の集合は実数の輪を最大のものとして閉じていました。
    ベン図にするとわかりやすいです。
    まず自然数の集合がありました。
    1、2、3、・・・・といった正の整数です。
    それを含んで、整数の集合がありました。
    負の整数や0が自然数の外側に加わったひと回り大きな輪ですね。
    さらにそれを含んで有理数の集合がありました。
    整数で表すことができない小数や分数が外側に加わったひと回り大きな輪です。
    さらにその外側に実数の輪があります。
    実数の輪の内側で、有理数の輪の外側に位置するのが無理数です。
    無理数は、有理数ではない数。
    すなわち分数で現すことができない数です。
    円周率や√2などが無理数でした。
    有理数と無理数とをあわせて、実数と呼びました。
    実数の大きな集合の輪。
    今、その周りに複素数の大きな輪が描かれました。
    実数は、複素数の一部です。

    さて、ここまで理解できれば、あとは計算です。
    複素数の計算ルールは、i2=-1 さえ守れば、あとは実数のルール、特に文字式・方程式のルールに似ていますので、大きな抵抗はないと思います。
    実部は実部同士、虚部は虚部同士で足し算できます。
    実部×虚部は可能です。
    虚部×虚部も可能です。

    (a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i
    (a+bi)(c+di)=ac+adi+bci+bdi2
    a、b、c、dは実数。

    例 (3-5i)(7+2i) を計算せよ。
    =21+6i-35i-10i2
    =21-29i-10・(-1)
    =21-29i+10
    =31-29i

    慣れてくれば計算過程は適宜省略し、与式の次は答えでも構いませんが、符号ミスを起こしやすい人は丁寧に解いていったほうが無難でしょう。

    例 x=(-1+√5i)/2 、 y=(-1-√5i)/2 のとき、x3+y3+x2y+xy2 の値を求めよ。

    これは、様ざまな単元の計算問題で繰り返し出てきた、対称式に関する問題です。
    逐一代入しても答えは出るのですが、面倒で時間がかかります。
    まず、xとyの和と積を求めるのが定石でした。

    x+y=(-1+√5i-1-√5i)/2
       =-2/2
       =-1
    xy=(-1+√5i)(-1-√5i)/4
      =(1-5i2)/4
      =(1+5)/4
      =6/4
      =3/2
    よって、
    x3+y3+x2y+xy2
    =(x+y)3-3xy(x+y)+x2y+xy2
    =(x+y)3-3xy(x+y)+xy(x+y)
    =(x+y)3-2xy(x+y)
    =(-1)3-2・(-1)・3/2
    =-1+3
    =2
    これは、対称式の計算のときによく使う、
    x3+y3=(x+y)3-3xy(x+y)
    という公式を利用した解き方です。

    あるいは、先に、
    x2+y2=(x+y)2-2xy=(-1)2-2・/32=1-3=-2
    を求めているのなら、
    x3+y3+x2y+xy2
    =(x+y)(x2-xy+y2)+x2y+xy2
    =(x+y)(x2-xy+y2)+xy(x+y)
    =(x+y)(x2-xy+y2+xy)
    =(x+y)(x2+y2)
    =-1・(-2)
    =2
    という求め方も可能です。
    これも公式を利用しています。
    x3+y3=(x+y)(x2-xy+y2)
    という公式です。
    新しい単元に入っても、既習の公式を覚えていないと実際の問題は解けません。
    解答・解説を読んでも、何でそういう変形をしているのか、意味がわかりません。
    とにかく、公式は全部頭に入れておきましょう。

    ところで、-1+√5i と-1-√5i は、和や積で虚数部分が消えて、その後の計算が随分楽になりましたね。
    虚部が異符号なのが良かったですね。
    こういう数を「互いに共役な複素数」と言います。
    「a+bi と a-bi を互いに共役な複素数という」というのが定義です。


    問題 -27の平方根を求めよ。
    -27の平方根は、±√-27 です。
    ±√-27 =±√27i=±3√3i

    問題 √-24・√-18 を計算せよ。
    √-24・√-18
    =√24i・√18i
    =2√6・2√3・i2
    =2・2・3√2・(-1)
    =-12√2

    これを
    √-24・√-18
    =√-24・(-18)
    =√24・18
    =12√2
    としてはいけないのです。
    a<0、b<0 のとき、√a・√b=√ab ではありません。
    それは、実数のときだけのルールで、虚数ではそれはできません。
    必ず、最初に i を使って書き直してから計算していきます。
    なぜできないか
    だって、上のように計算していいのなら、
    -12√2=12√2 となってしまい、矛盾します。
    これは背理法で証明できることだと推測できますね。

    さて、次回の数学教室のお知らせです。

    ◎日時  11月11日(土)10:00~11:30
    ◎内容  数Ⅱ「複素数」を続けます。p.22の問題8までが宿題です。
    ◎場所  セギ英数教室
           三鷹市下連雀3-33-13
             三鷹第二ビル 305
           春の湯さんの斜め前のビルです。
    ◎用具   ノート・筆記用具
    ◎参加費 2,000円
           当日集めさせていただきます。
    ◎予約  私の携帯メールかラインに、ご予約をお願いいたします。









      


  • Posted by セギ at 13:26Comments(0)大人のための講座

    2017年10月26日

    三角比。サイン・コサイン・タンジェントは正確に。


    今回も三角比のお話です。
    まずは三角比の基本の確認から。

    昔、大人のための数学教室で「三角比」を学習したときのことです。
    最初の授業で欠席された方が、欠席した分を自習する際に、三角形の頂点の記号を使ってサイン・コサイン・タンジェントの定義を覚えようとして、凄く難しかったと話していました。
    sinθ=BC/AC
    というように覚えようとされたのですね。
    それは無機質で覚えにくいでしょう。
    中学生のテキストでは直角三角形ABCの頂点Aは上に描くのに、「三角比」の直角三角形の頂点Aは下にあるのでさらに混乱したということでした。
    考えたこともなかった視点でした。

    三角比の覚え方。
    まずは、直角三角形を整地しましょう。
    ∠θが左下に、直角が右下にくるように直角三角形を置きます。
    この位置が、最初は一番理解しやすいです。
    直角三角形の各辺には名前があります。
    直角と向き合う辺が「斜辺」。
    ∠θと向き合う辺が「対辺」。
    残る辺を「底辺」と呼びます。(「隣辺」と呼ぶこともあります)

    そして、
    sinθ=対辺/斜辺
    cosθ=底辺/斜辺
    tanθ=対辺/底辺
    こうして、辺の名称で覚えるのが基本です。

    でも、それでもまだ覚えにくいですね。
    アルファベットの筆記体のsを描くように分母からなぞるのがサイン。
    cを描くようになぞるのがコサイン。
    tを描くようになぞるのがタンジェント、と覚えます。
    広く知られている覚え方です。

    数年前、高校生の男の子にこの覚え方を説明したら、鼻で笑って、
    「先生が考えたんですか」
    と小馬鹿にしたように言うので驚いたことがあります。
    高校生になって遅い反抗期が始まっていた子でした。
    「・・・いや、私が考えたんじゃなくて、これはよくある覚え方なんだけど」
    私がそう説明すると、その子は、否定されたと感じたのか、プライドが傷ついた様子で顔がこわばりました。
    以後、この覚え方が「嫌な記憶」になってしまったのか、意地でもこの覚え方は使わず、その後も延々とサインとコサインが逆になったり正しかったりを繰り返していました。
    しかも、私の前で間違えることが嫌なのか、ノートを手で隠したりもしました。
    単なる直角三角形の三角比をマスターするまで、大変な労力と時間が必要でした。

    助言には耳をかさず、自分のやり方で解こうとし、そしてさらに誤解を深めていく・・・。
    教える方も多少厄介に感じますが、教わる側はもっと辛かったのではないかと思います。
    教わっているのに素直に聞くことができないのですから。


    少し前、定時制高校出身の芸人さんたちが集まって体験や思い出を語り合うテレビ番組がありました。
    少し古い時代の、主に関西の定時制高校の様子が語られていました。
    定時制高校には、年齢も境遇も様々な人が通います。
    中学で不登校だった子。
    成績不良でどうしても全日制高校に合格できなかった子。
    非行を繰り返してきた子。
    そして、経済的事情のために高校進学できず、数十年後にその夢を叶えた大人の人たち。

    いわゆる不良少年たちは、定時制高校でも、教室で弱い者に暴力をふるったそうです。
    そのとき、50代の韓国人女性が割って入り、叫んだというのです。
    「ここには敵はいない」
    殴られる側だったその芸人さんは、そんな言葉が通用する相手じゃないと思ったのですが、その不良はその女性に抱きしめられて号泣したというのです。
    以後、学校で暴力をふるうことはなくなったそうです。

    ここには敵はいない。

    1対1の個別指導塾に敵など存在するわけもないのですが、そこに緊張関係を持ち込んでくる生徒がいないわけではありません。
    「そうだよ、私がこの覚え方を考えたんだよ。凄いだろう」
    とでも言ってふざけてあげたら良かったのかなあ。
    私をバカにすることで、その子は留飲が下がったのかなあ。
    もう何年も前の話ですが、悔いが残ります。

    何よりも、その子が三角比を覚え直し、何とかマスターするまでの時間の長さ、その損失の大きさに悔いが残るのです。
    以後は、覚え方を教えるときは、
    「これは有名な覚え方で、参考書にもよく載っているね」
    と前置きをして説明するようにしています。
    私が考えた覚え方のときでも、そう説明することもあります。
    そう説明することで素直に聞いて利用してくれるなら、それが一番良いことだからです。


    集団指導塾で教えていたときは、その覚え方が有効なものである限り、秀才少年たちが、
    「覚えやすいな、これ」
    「これは初めて聞いた」
    などとつぶやいてくれました。
    それで教室の風向きが作られ、これを覚えることが良いことだという空気が生まれました。
    塾に通う秀才は実利を優先します。
    教え方がわかりやすく、覚えやすい限り、友好的です。

    ただ、その一方、一般的には十分にわかりやすい説明や覚えやすいやり方でも、わからない子や覚えられない子はいます。
    そうした子は、集団塾では、そのことを口にすることができません。
    皆が「わかりやすい」と盛り上がっている中で、自分一人、わからないと感じる。
    それを表情に出すこともできない。
    そんな子もいます。

    こちらはこれ以上はないくらいに噛み砕いて説明したつもりでも、
    「わからない」
    と言われてしまうのが、個別指導です。
    これなら絶対覚えられるはずの覚え方を教えても、
    「でも、自分は覚えられない」
    と言われてしまうこともあります。

    でも、むしろ、そのほうが健全な状態なのかもしれません。

    個別指導でも、学生バイトが中心で、若くてカッコいい男の先生や可愛い女の先生が親切に教えてくれるところでは、気がひけてしまって、わからなくてもわからないと言えず、わかったふりをして迎合してしまう生徒がいます。
    理解力はあるが勉強が嫌いな生徒は、素敵な先生に教わるだけでやる気が出て成績があがります。
    でも、そういうことでは解決のつかない生徒もいます。
    わからないままなので、いくら通っても成績が上がりません。

    「わからない、わからない、わからない」
    と生徒が言い、私に迎合しないのは、1つの信頼の形なのかもしれません。
    遅々とした歩みですが、今回の中間テストは、これまで50点未満が指定席だった子たちが、全員、50点を突破しました。
    何がわからないのか。
    わからないことの一番奥にあるものは何なのか。
    ときにはため息の出るようなやりとりもありますが、少しずつ結果は出ています。


    三角比に話を戻します。
    慣れてくれば、サインとコサインは、とにかく分母は斜辺で、サインの分子はθと関係のないほう、コサインはθと関係あるほうと把握できるようになります。
    そうなれば、直角三角形が寝そべっていようが逆立ちしていようが、何でもなくなります。
    まずは、そこは目指しましょう。
      


  • Posted by セギ at 11:46Comments(0)算数・数学

    2017年10月25日

    セギ英数教室、生徒を募集いたします。


    セギ英数教室、生徒を募集いたします。

    現在の成績は、問いません。
    未来の秀才を求めています。
    小さな個別指導塾ですが、1人1人の成績を確実に上げることを目標に、実績を上げております。
    担当は、受験指導30年のベテラン。
    「上手な授業」というパフォーマンスではなく、受け持った生徒の成績を本当に上げることが目的の「学習トレーナー」を自認しております。
    必要な時期に必要な学習内容を提示します。

    ◎時間   1回の授業は90分。週1回です。
     今回募集いたしますのは、以下の1コマです。

     月曜日 16:40~18:10(通塾は1月からとなります)

    ◎形態   1対1の完全個別指導です。

        
    ◎指導科目 
     小学生  中高一貫校受験 算数・国語
           私立受験算数
           一般算数
            小学英語
     中学生  中高一貫校 数学
           中高一貫校 英語
           高校受験 数学
           高校受験 英語
     高校生  大学受験 数学
           大学受験 英語
           内部進学向けの数学・英語も承っております。
           英検など各種英語検定対策も承ります。

    ◎費用 
     週1回 受講で、月額20,000円
     週2回 受講で、月額36,000円
     (内訳 90分1コマ4,000円、諸経費・教材費月額4,000円)
      他に入会金を10,000円いただきます。

    ◎入会までの流れ
     まず、無料体験授業を受けてください。
     左の「お問い合わせ」ボタンからご連絡ください。

    以下の内容をご記入いただけますと、以後のやりとりがスムーズです。
    ①お子様の学校名
    ②学年
    ③性別
    ④ご希望の通塾曜日
    ⑤ご希望の体験授業日時(11月からとなります)
    ⑥希望科目
    ⑦体験授業の希望内容
    (例 「1次関数」 など)


    ◎場所   三鷹市下連雀3-33-13
            三鷹第二ビル305
           三鷹駅南口から徒歩5分。
           春の湯の斜め前のビルです。







      


  • Posted by セギ at 13:03Comments(0)大人のための講座