たまりば

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お知らせ

2017年01月18日

1月28日(土)、大人のための数学教室を開きます。


高尾山のシモバシラの氷花です。
まだ小さいですね。

さて、1月14日(土)、大人のための数学教室を開きました。
今回も「不定方程式」。
こんな問題を解きました。

問題 方程式 x+3y+5z=23 を満たす自然数の組(x,y,z)をすべて求めよ。

方程式は1本。文字は3つ。
こんな問題、解は無数にあるのでは?
でも、全部たし算ですし、「自然数」という条件があるので、解は限定されます。
「自然数」というのは、1,2,3,4,・・・・という、正の整数です。
どの文字も負の数になってはいけないということです。
合計23の中で、1つの文字の取り分が増えていけば、他の文字の取り分が減るので、これは限りがあるなあとわかります。

さて、こういう問題は、係数の大きい文字の範囲をまず決めてしまいます。
この問題では、zの係数が5と一番大きいので、zの範囲を決めます。
23からの取り分が大きくなる文字から決定したほうが、その後の計算が楽だからです。
x+3y+5z=23
移項して、
5z=23-x-3y
ここで、x、yは自然数なので、x≧1、y≧1。
x=1、y=1を代入すると、
5z≦23-1-3・1
5z≦19
z≦19/5
zは自然数だから、
z=1,2,3

ここで一番難しいのは、5z≦23-1-3・1 でしょうか。
予想していた向きとは不等号の向きが逆で、「え?え?」となってしまう方もいらっしゃるかもしれません。
合計は常に23です。
その中で、xとyの最小値1を代入しました。
その場合、5zの取り分は最大となります。
だから、実際の5zはその最大値以下となります。

さて、ここから場合分けして考えていきます。
[1] z=1のとき
x+3y+5z=23 に代入して、
x+3y+5・1=23
x+3y=18
よって、
(x,y)=(3,5),(6,4),(9,3),(12,2),(15,1)

[2] z=2のとき
x+3y+5・2=23
x+3y=13
よって、
(x,y)=(1,4),(4,3),(7,2),(10,1)

[3]z=3のとき
x+3y+5・3=23
x+3y=8
よって、
(x,y)=(2,2),(5,1)

これらは、x=1の場合から1つ1つ代入して計算しても勿論求められるのですが、時間がかかります。
もう少し早く合理的に求めたいです。
例えば、x+3y=18 の場合、
x=0ならば、3y=18なので、y=6です。
しかし、xは自然数なので、x=0は解ではありません。
そこからyが1減って、y=5になると、3y=15です。
全体の18から3減ることになります。
それがxの取り分となりますから、x=3、y=5が最初の解の組だとわかります。
あとは同じように変化していきます。
つまり、全体としては常に3だけyからxへとやりとりがあります。
だから、xは3ずつ増え、yは1ずつ減ります。
(3,5)が見つかった後は、xは3ずつ増やし、yは1ずつ減らして、yが0や負の数になる前に止めれば良いのです。

こういうやりとりの問題は、中学受験の受験算数でも出題されます。
しかし、小学生でも、勿論高校生でも、このやりとりがよくわからないという場合があります。
今回の大人のための数学教室でも、ここのところが大変不評で、
「今日はとにかく、1から全部代入して求めます」
と参加者の方はおっしゃっていました。
今日はとりあえず解き方の理解に集中したい。
やりとりの話は全体が見えてからゆっくり考えますから、ということだと思います。
家でじっくり考えれば何も難しいことではないので、大人の方はまず大丈夫でしょうが、小学生や高校生でこれがわからないとなると、テストでこの問題を解くのに時間がかかり、時間切れの恐れが出てきます。
これは理解してほしいところです。
回りくどい計算をしている暇はありません。
瞬殺しましょう。
ヽ(^。^)ノ

例えば、 2x+3y=24 (x、yは自然数) を解くときに、
xが0ならば、yは8です。
これは暗算ですぐ出てきます。
ここからxを増やしていきますが、3yからもらえるものは必ず3の倍数です。
しかし、2xは2の倍数です。
だから、余りが出ないようにするには、2と3の最小公倍数の6ずつやりとりをすることになります。
すなわち、xは3ずつ増え、yは2ずつ減ります。
だから、
(x,y)=(3,6),(6,4),(9,2)

どうでしょうか?
このことは、理解できる子には何でもないことなのですが、「わかりにくい」と感じる子にとっては、いくら説明を聞いてもわからない、何を言っているのかさっぱりわからない、日本語で説明されているとは思えないくらいわからない、ということのようなのです。
表現が難しいですが、「数字と友達になっていない」ということかなあと思います。
サッカー選手にとって「ボールは友達」で自在に操れるものであるように、数字を自在に操れると、色々なことが楽になります。

こういうことだけに限りません。
例えば、「関数」の学習をしているとき。
座標平面上の点の移動を上手く読み取れない子がいます。
A(1,-5)からB(-3,-2)への移動は、
x軸方向に-4、y軸方向に3だけ平行移動したもの。
こういうのは、それこそ瞬殺で、見ただけでわかることですが、中学生・高校生の中に、この移動が読み取れない子がいます。
「どういう式ですか?」
と質問されたりします。
・・・・・・式?
あえて言えば、「移動後の座標-移動前の座標」で、
-3-1=-4
-2-(-5)=3
ということですが、そんなややこしい式をいちいち立てていたら、かえって符号ミスをしそうです。

1から-3への移動が-4の移動であることを、見ただけで読み取るというのは、ではどのような判断しているかというと。
頭の中で、まず符号を決定しています。
小さい数のほうに移動しているので、これはマイナスの移動です。
移動の絶対値は、まず、1から0までで1。
0から-3までで3。
だから合計4。
したがって、-4の移動です。

-5から-2への移動。
これは、大きい数に移動していますので、ブラスの移動です。
移動の絶対値は5-2で3。
だから、+3の移動。

見ただけで判断するというのは、分析すれば、こういうことをほぼ直感的にやっているのだと思います。

「なぜたし算だったりひき算だったりするの?」
そう訊かれれば、
「だって、正負の数って、そういうものです」
と答えるしかありません。
「わかんない、わかんない、わかんないー!」
「・・・・・」
これは私が悪かった。
わからないなら、式を立てて計算すればいいんだよ。
こういう会話の後で、そう反省したこともあります。

中1で最初に学ぶ「正負の数」の計算でつまずいてしまう子がたまにいます。
そういう子は、結局、数直線上の数値の移動が飲み込めていません。
だから、久しぶりに「正負の数」を復習すると、誤答が目立ちます。
「あれ?負の数+負の数って、正の数になるんじゃね?」
「・・・・・なぜ、そう思うの?」
「あれ?違った?」
「・・・・負の数×負の数と混ざっていない?」
「あ、そうかそうか」
本人は気楽そうですが、負の数+負の数は、実感として負の数になるわけがないのに、なぜそこに違和感を抱かないのかと思うとき、暗い深淵がそこにあると感じます。
そういう子にとって、数字は友達ではない。
数字なんて、扱いにくくて厄介な存在なんだろうなあ。
どうすれば、数字が友達になるかなあ。

かなり話がそれました。
まだ最終解答をまとめていませんでした。
答えは、(x,y,z)の値の組で答えますから、
(x,y,z)=(3,5,1),(6,4,1),(9,3,1),(12,2,1),(15,1,1),(1,4,2),(4,3,2),(7,2,2),(10,1,2),(2,2,3),(5,1,3)
これが最終解答です。


さて、次回の大人のための数学教室のお知らせです。
次回は1月28日(土)。
なお、その次は祝日を挟みますので、2月18日(土)となります。

◎日時  1月28日(土)10:00~11:30
◎内容  数A「整数の性質」の学習を続けます。p108の問題20、21、22が宿題です。
◎場所  セギ英数教室
       三鷹市下連雀3-33-13
         三鷹第二ビル 305
       春の湯さんの斜め前のビルです。
◎用具   ノート・筆記用具
◎参加費 2,000円
       当日集めさせていただきます。
◎予約  私の携帯メールかラインあてに、ご予約をお願いいたします。



  


  • Posted by セギ at 12:35Comments(0)大人のための講座

    2017年01月16日

    嵐山から小仏城山、高尾山を歩いてきました。2017年1月。


    2017年1月15日(日)、今年初めての山歩きは、初詣を兼ねて、高尾山を歩いてきました。
    ついでに、去年の残暑の中で道に迷った相模湖駅からの道の検証をすることにしました。
    いつもの中央特快から中央線に乗り換えて、相模湖駅。8:53。
    駅の外のベンチで支度をして出発。
    まずは甲州街道に出て、交差点を左に曲がります。
    前回は既にここから道を間違えて、相模湖のほとりまで出てしまいましたが、今回はしっかりと左折。
    歩道橋を通り過ぎたところで、道は二股に別れ、右の細いほうの道を行きます。
    道なりにしばらく行くと左側に道しるべがあり、そこからV字に曲がって階段を下りていきました。
    眼下にダムと橋が見えています。
    おお、あれは、残暑の頃にも渡った相模大橋。
    こんなに簡単に来れるんだ。
    前回はここまでで既にかなり遠回りをしていました。

    相模大橋を渡って、左折。
    また道なりに行くと、左手に休憩所がありました。
    げんこつを突き上げたような妙なオブジェのある休憩所でした。
    その向かい側に灯篭があり、そこが嵐山の登山口です。9:15。

    嵐山は標高406mの低山。
    京都の嵐山の風情があるのでその名がつけられたとのことです。
    急な石段を数段登ると、あとは登山道。
    急な箇所も少しありますが、よく踏まれ、整備された道でした。
    東海自然歩道にも指定されています。
    山頂。9:45。
    上の画像は山頂から相模湖を見下したものです。
    対岸には、奥高尾の尾根。
    その奥に扇山。
    さらに奥に権現山。
    そして大菩薩の山々。
    低い山なのに眺望良好でした。
    山頂から先、石老山へと縦走する道もあるそうです。
    ガイドブックによれば、風情のある竹林を通り過ぎ、丸太の木橋とか、ちょっと切れ落ちた細い道などがあるらしいです。
    春になったら、そっちに縦走してみようかな。
    今日はとりあえず来た道を戻ります。

    灯篭のある登山口まで戻ってきて、さて、ここから前回は大変な遠回りをしてしまいました。
    弁天橋への分岐がわからず、延々と舗装道路を歩いて桂橋まで行ってしまい、橋を渡ってまた延々とバス道路を歩いて、登山口にたどりついた頃にはもう半分熱中症でした。
    今回は、とにかく左手の分岐に意識を集中します。
    津久井養護学校のところで左折するんだぞー。
    歩道が進行方向の右側にしかないので、あのときはぼんやり歩いて見落としたんだろうなあ。
    今回は、常に左側ばかり見て歩きました。
    遠くに津久井養護学校を発見。
    その手前に分岐があるのかなあと曲がりたくてうずうずしましたが、学校の横に道しるべがあり、舗装された道がありました。
    なだらかに下って、そこでも道しるべを確認して右折すると、すべり止めがごつごつした坂道へ。
    その先は、もう登山道でした。
    踏み跡をたどっていくと、そのまま弁天橋につながります。
    弁天橋は、歩行者専用の橋。
    しっかりした造りの案外長い橋でした。
    さらにもう一つ小さい橋を渡って、登山道は登り道に。
    正しい道も、それなりに長いですね。
    弁天橋を見下ろせる見晴らしの良い場所がありました。
    ああ、山歩きを始めたばかりの頃、ここで写真を撮った。
    このアングルだ。
    まだ、デジタルカメラではなかった頃です。
    急に記憶がよみがえりました。

    ぽんと住宅街の中の舗装道路に出て、道しるべの通りに歩いていくと、記憶の明瞭な甲州街道の交差点に出ました。
    お蕎麦屋さんの角。
    千良木バス停の近くです。
    そこからは、歩行者用信号を渡って、そのまま直進。
    道が登り坂になったところで、次の分岐を左に行くと、登山口です。10:50。
    登山口の茶店で、今日もヨモギ餅を勧められました。

    テレビ放映されたヨモギ餅、いかがですか。
    ヨモギの香りがしっかりしますよー。
    そういえば、テレビ東京の「関東ふれあい旅」、去年は春も秋も結局放送されませんでした。
    「関東ふれあいの道」を3泊4日で歩く山旅番組です。
    年に一度の楽しみだったのになあ。
    もう安全に歩けるところは全て歩いてしまったからかなあ。

    ここから小仏城山までは1本道。
    特に難しいところはありません。
    木段の箇所も多く、歩きやすく整備された登山道でした。
    のんびり歩いて、小仏城山。11:55。
    山頂はドロドロでした。
    積雪があったのか、霜柱が融けたのか。
    これからのシーズン、小仏城山より先の奥高尾はこの泥道との格闘ですね。
    今季最強の大寒波が来ていますが、それでも山頂はベンチがほぼ埋まる盛況でした。
    歩いているときは良いのですが、ベンチで食事していると、しんしんと冷えてきます。
    たちまち指先の感覚がなくなり、早々に出発。

    小仏城山から高尾山まではデッキや木段が整備されて、泥道とは無縁でした。
    やっぱり歩きたりないなあと感じつつ、でも、今日の主な目的は初詣なので、おとなしく高尾山へ向かいます。
    一丁平の展望台からは、雪化粧の丹沢がくっきり見えました。
    東京はずっと晴れていたので雪不足のイメージのままでしたが、丹沢は積雪があったのですね。
    丹沢に行けば良かったかなあ。
    丹沢大山の左手に薄く見えているのは、相模湾でしょうか。
    ここから海が見えることに初めて気づきました。

    木段を登って紅陽台へ。
    富士山は麓だけ見えていました。
    そこからさらに階段を登って、高尾山頂へ。
    寒いと熱がこもらないので、身体が軽いです。
    山頂はいつも通りの賑わいでした。
    大見晴台の眺望も楽しんで、さて再び出発。
    トイレの角のところを曲がって、3号路に寄り道しました。
    こんなに寒いと、シモバシラの氷花が出ているんじゃないかな。
    もう午後だから消えたかなあ。
    しかし、目立ったものはなく、がっかりしたのですが、よくよく見ると小さいものならありました。
    マクロで撮影。

    さて、あとは薬王院でお詣り。
    おみくじも引いて、のんびりと1号路を降りました。


      


  • Posted by セギ at 12:01Comments(2)

    2017年01月13日

    三平方の定理と暗記


    中学3年生が今の時期に学習する「三平方の定理」。
    定理そのものは、それほど難しいものではありません。
    「相似」で悪戦苦闘した後ですと、むしろ易しく感じるのではないでしょうか。

    そんな中で、少し厄介なのが特別な比の三角形でしょう。
    三角定規になっている、2種類の三角形です。
    その角度は、小学校で覚えます。
    そして中3になると、辺の比を覚えることになります。

    この「覚える」という作業が、算数・数学とはなじまないと感じる子がいて、
    「数学って、考えるものでしょう?何で覚えるの?」
    と、一応もっともなことを言ったりします。
    意味のわからないことを覚えろと言っているのではないので、最低限、理解したことは覚えないと、その先の問題は何1つ解けなくなってしまうのですが、覚えるのが本当に嫌いな子はいます。

    特別な比の直角三角形は、3:4:5や、5:12:13のような、覚えておけば便利という程度のものもありますが、三角定規の三角形の辺の比は、覚えないとどうにもなりません。
    1辺の長さから他の2辺の長さを求める問題が当たり前に出題されます。
    これは、比を覚えていないと解けません。
    内角が45°、45°、90°の直角三角形の辺の比は、1:1:√2。
    内角が30°、60°、90°の直角三角形の辺の比は、1:2:√3。
    絶対に覚えなければならないのが、この2つです。
    (*^_^*)

    1:1:√2 のほうはまだわかりやすいのですが、1:2:√3 は、2にあたる辺と√3にあたる辺を取り違える子が多く、ミスの出やすいところです。
    あの直角三角形は、背中合わせに並べると、1つの正三角形になります。
    そのイメージさえもっていれば、2にあたる辺がどちらであるかを間違えることはないのですが、機械的に暗記しているだけだと、しばしば間違えます。
    また、この三角形の学習に慣れてしまった後、角度が明示されていない普通の直角三角形にこの辺の比を誤用してしまう子も現れます。
    「何か似ているから、使っていいと思った」
    と言うのです。
    見た目が少し似ていても、30°とか60°とか、角度が明示されていない直角三角形にこの辺の比を利用してはいけないんだよ、違う三角形なのだからと説明しても、へえ、そんなものなのかあ、何でかなあという顔をしています。


    高校の「三角比」も「三角関数」も、この比をガンガン使います。
    というよりも、ほとんどこればかりです。
    この比は非常に重要です。
    しかし、以前、中3の生徒にその話をしたとき、どうにも話が通じなかったことがあります。
    「まあ、そのうち覚えます」
    という返事で、なかなか覚えないんです。
    覚えるか覚えないかを判断するのは自分であると言いたげな妙な「ゆとり」が口調から感じられ、あまりにも話が通じなくて困惑しました。
    (^_^;)
    長くつきあってみると、その子は、ものを覚えるのが本当に苦手で、でも、そのことを悟られまいとして、人をくったような偉そうな物言いになってしまい、損をしている子だったのでした。


    数学は暗記科目ではないというけれど、覚えなければならないことはあります。
    そもそも、「暗記科目」というくくりが本当は妙なので、歴史でも地理でも、興味を持って勉強している子は、「暗記しなければ」という自覚は特になく、重要なことは自然に覚えてしまいます。
    そういう子にとっては、歴史も地理も「暗記科目」ではありません。
    単なる知識が重要なのではなく、1つのことが他のことに波及していくその関係、その大きな流れが読みとれるから歴史や地理は面白いと、そういう子は知っています。

    興味があることに関しては、覚えることは苦になりません。
    勉強以外のことを例にするもっとわかりやすいと思います。
    私より下の世代の人たちは、子どもの頃にポケモンのゲームで遊んだり、アニメが好きだったりしたので、出てくるモンスターの名前をほぼ全部覚えている人が多いです。
    去年の夏にスマホゲームになって、その衰えない人気が証明されましたね。
    ポケモンが好きな人にとっては、モンスターの名前を覚えることは苦行でも何でもなく、当たり前に覚えられることです。
    暗記しようと努力したわけではないでしょう。
    そしてその記憶は、今後もずっと維持されて、彼らは老人になってもポケモンの名前は忘れないでしょう。

    でも、ゲームに興味のない私がポケモンの名前を覚えなければならないとしたら、これは苦行です。
    (^_^;)
    全く興味がないので、かなり努力しないと覚えられないでしょう。

    ファッションもそうですね。
    ブランド名などは、私はほとんど覚えられません。
    興味がないものは頭に残らないのです。
    必要ないから記憶に残さないようにしている傾向もあります。
    どんなことでもとにかく努力して覚えたら、その先に面白いことが待っているんだろうなあとも感じるのですが、他に覚えなければならないことが沢山あるからなあといつも後回しにしてしまいます。

    数学が暗記科目ではないというのも、同じ意味だと思います。
    数学に興味がある人は、公式や定理は意味を理解すれば自然に覚えてしまいます。
    だから「数学は暗記科目ではない」と言います。
    でも、実際には、興味がなかったら覚えられません。
    そういう意味では、数学も、歴史や地理と同じです。
    興味がないので無理をしなければ公式を暗記できない子は、とにかく意味を理解したら無理に暗記して、使えるようになりましょう。
    使えるようになって、正解を出せるようになって、苦手意識がなくなっていけば、「大きな流れ」とか、他のこととの関係とか、興味がわいてくると思います。
    「公式だから」とあきらめて使っていたことの本当の意味に、ある日気がついて、衝撃的な開眼をする日も来るかもれしません。


    「ゆとり教育」の影響はそろそろ薄れてきていますが、それでも「暗記」を軽視する子は減りません。
    覚えることが苦手で、新しい公式や定理をなかなか暗記せず、教科書を開いて単に代入して問題を解き、それで勉強は完了したような勘違いをしてしまう子は多いです。
    理解することが勉強の全てになっていて、公式を覚えていないのです。
    テスト本番で、自力では全く解けないことに気づき、呆然とテスト用紙と向き合うことになってしまっています。


    数年前、小学4年生に確認テストを解いてもらっている間、その子の算数の教科書をパラパラめくっていたら、面白いことが載っていました。
    「大きな数」のページでした。
    大きな数の単位としては、小学校で理解しなければならないのは、千兆の位までです。
    子どもの中には、数の単位を唱えさせると、
    「一、十、百、千、万、十万、百万、一億、一兆」
    と、謎の跳び方をする子がいます。
    千兆の位までの数を算用数字でも漢数字でも正しく書けて読めて、位取りの関係が理解できることがこの単元の学習目標です。

    ゆとり教育の頃は、「大きな数」について学校で学んできた子が、なぜか自慢げに、兆より大きい数について私に教えてくれることが何度かありました。
    「センセー、千兆の次の位を知ってる?」
    「京だねえ」
    「その次は?」
    「垓」
    「その次は?」
    「何だっけ。聞いたことあるんだけど、覚えていないなあ」
    「知らないのー?無量大数って言うんだよー」
    「・・・・・・え?早くない?」
    「無量大数って言うんだよ。学校で覚えさせられたもん」
    「・・・・・・へえ」
    こうした会話を、ゆとり教育の時代に複数の生徒と交わしています。
    現実問題としては、京より大きな桁の数は、10の累乗を用いて表すのが普通なので、あまり使い道のない知識ですが、しかし、「垓」の次がすぐ「無量大数」というのは、あっけないですね。
    大きな数の桁の名称は、もっとあるでしょう。

    新課程の教科書には、大きな数の桁の一覧が載っています。

    京 けい 
    垓 がい 
    禾予 じょ 
    穣 じょう  
    溝 こう 
    澗 かん  
    正 せい  
    載 さい  
    極 ごく   
    恒河沙 ごうがしゃ
    阿僧祇 あそうぎ
    那由他 なゆた
    不可思議 ふかしぎ
    無量大数 むりょうたいすう

    全ての新課程教科書がそうなのかどうかはわかりません。
    これは発展的内容で、絶対に覚えるべきことではありません。
    でも、何だか見ているだけでワクワクしました。
    高校で学ぶ指数や対数は、言わばデジタル表記なので、自分の扱っている数字がどれほどの大きさなのか、計算しているのに実感できないことがほとんどです。
    この大げさな桁の名称は、大きな数の大きさを実感させます。
    そして、私自身、実はそんなに知らなかったこの大きな数の知識が、この一覧表を見ているだけでスルスル頭に入ってきました。
    覚える覚えないは好き好きですが、これは私にとっては魅力的な知識なんだなあと改めて感じた経験でした。

      


  • Posted by セギ at 12:09Comments(0)算数・数学

    2017年01月10日

    図形が苦手な子の特徴。





    算数・数学について、計算分野はそんなに嫌いではないけれど、図形は嫌いだという子は多いです。

    そういう子が問題を解く様子を見ていると、問題をわかりやすくするための書き込みの下手な子が多いなあと感じます。
    「等しい角や線分に、等しい印を入れてみようよ」
    と声をかけると、一応手は動くのですが、図の大切な部分が隠れてしまうような雑な書き込みをしてしまうのです。
    丁寧で緻密な作業をすることが習慣になっていず、勉強が基本的に「やっつけ仕事」になっている子は、図の書き込みは下手ですし、図形問題を時間をかけて考える集中力も養われていない場合が多いように感じます。

    性格的に全てにおいて雑な子というのではなく、数学の図形分野になると突然雑になる子もいます。
    問題を解くための大切な書き込みをしている意識がなく、命じられたから仕方なくやっているからなのかもしれません。
    その書き込みがあるから自力で解けたという経験を幾度がすれば、もっと自分で見やすい書き込みをするようになるのでしょう。
    汚い書き込みは助けにならず、むしろ図を見る邪魔になるのですから。

    私の子ども時代を思い出すと、算数・数学の図なら丁寧に書き込んでいましたが、図工・美術は、今思うと作業がかなり雑でした。
    例えば人物画を描くとき、顔は丁寧に描くけれど、着ている服や背景は一色でささっと塗っておしまいにしていました。
    雑です。
    でも、当時は、それではダメだということがわかっていませんでした。
    そこを丁寧にやる必然が私の中になかったからでしょう。
    それと同じで、数学において図に丁寧に書き込みをする理由が本人の中にない限りは、いくら注意しても根本的には解決しないのかもしれません。

    図の本当の線が見えなくなるほど、ぐりぐり何度も鉛筆でなぞってしまう子もいます。
    私は、いつも生徒と向き合って教えていますので、逆さからその図を見て、一緒に問題を解くことがあります。
    汚いなぞり書きをされると逆さからでは本当にわからなくなるので、うめき声を上げてしまいます。
    私がわからないだけでなく、汚いなぞり書きは、本人もわからなくなる原因です。
    「ぐりぐり塗らないと、わからない」
    と言う子もいますが、図中の線を鉛筆でぐりぐりなぞる子で図形問題の得意な子は少ないです。
    塗らないとわからない、というのは悪い習慣です。
    一回丁寧になぞって線を少し太くするくらいならばいいのですが、ぐりぐり何度もなぞって角を丸くしてしまうようなのはやめたほうがいいです。
    どうしてもわからないという子には、私はマーカーの使用を薦めています。
    マーカーは下の実線が透けて見えるので便利です。
    薄い色のマーカーで重要な部分をなぞって見た目をわかりやすくするだけで、問題が易しく思えてきます。
    「だって、テストのときには出来ない」
    と不満を言う子もいますが、やりたかったらテスト用紙もマーカーでぬったらいいんです。
    テストは、マーカーで図をなぞることは禁止していないと思います。
    それに、マーカーでぬって自力で正答できるようになれば、そのうちマーカーは必要なくなってきます。

    図形問題が苦手な子のもう一つの特徴は、考える時間がひどく短いこと。
    「わからなかったー。教えてくださーい」
    と本人は陽気に宿題を空欄にして持ってきますが、教わって解いた図形問題はすぐに忘れてしまうことが多いです。
    なかなか身につきません。
    テレビのクイズ番組を見ていて、答えがわからない間は気になるけれど、正解を聞けばもう興味がなくなり、番組が終わった頃には何1つ覚えていないのと似ています。
    最終的には解けなかったのであっても、もう少し問題と格闘しなければ記憶に残りません。

    図形問題は、自力で解いた問題の数が多いほど力がついていきます。
    自力で解くには、基本的な知識が頭に入っていていつも使える状態になっている必要があります。

    三角形の内角の和は180°である。
    1直線は180°である。
    正三角形の1つの内角は60°である。
    二等辺三角形の2つの底角は等しい。
    三角形の外角は、隣り合わない内角の和に等しい。
    対頂角は等しい。
    平行線の同位角は等しい。
    平行線の錯角は等しい。
    等しい弧の円周角は等しい。
    円周角は中心角の2分の1である。
    半円の弧の円周角は90°である。
    平行四辺形の対角は等しい。
    平行四辺形の対辺は等しい。
    平行四辺形の隣りあう角の和は180°である。
    円に内接する四角形の対角の和は180°である。

    説明されれば、「知ってるよ、そんなこと」ということばかりですが、図形が苦手な子は問題を解くときにこれらを自分で思い出して使うことができません。
    言われればわかるけれど、本当の知識になっていないのです。

    それは、「理解語彙」と「使用語彙」の違いに似ているのかもしれません。
    言われれば意味のわかる言葉。
    でも、自分では使えない言葉。
    私たちのボキャブラリーは、自分で使える「使用語彙」の周囲に、意味はわかるけれど自発的には使用できない膨大な「理解語彙」があります。

    それと同じで、自分で使える「使用定理」の外側に、言われればわかる「理解定理」があるのかもしれません。
    解答・解説を読めばわかるけれど、自力で図形の問題を解くことができない。
    そういう子の多くは、使用できる定理が少ないのだと思います。

    自分で解いていないから、使用できる定理が少ない。
    使用できる定理が少ないから、自分で解けない。
    負のスパイラルです。
    まずは補助を受けながら、できるだけ自分で解いていくことで、苦手な図形を克服していきましょう。



      


  • Posted by セギ at 22:30Comments(0)算数・数学

    2017年01月06日

    感動と発見のある授業。




    そろそろ中学3年生は「三平方の定理」の学習をする時期です。
    「三平方の定理」とは、直角三角形に関する定理。
    直角三角形の斜辺の2乗は、残る2辺の2乗の和に等しい。
    そういう定理です。
    この定理は証明方法が100通り以上あることでも有名です。
    大抵2つくらいは教科書や参考書に載っています。

    以前も書きましたが、私が中学生のとき、教科書に載っているもの以外の三平方の定理の証明をレポートにまとめて提出という宿題が出て、それがもう本当に負担で嫌だったことを覚えています。
    今だったら、そんなのはネットで調べてチャチャッと書きあげてしまうのでしょうが、当時は、図書館で調べるか自分で考えるしか方法がありませんでした。
    学校の図書室の本は、早めに行動した子がもう借り出したのか、もともと蔵書にないのか、それらしい本は見当たりませんでした。
    学校から徒歩10分の県立図書館まで行っても、やはりなし。
    考えて考えて、途中まで教科書と同じでその後が少し違うだけ、という我ながら納得のいかないレポートを書いた記憶があります。
    友人の友人のそのまた友人から回ってきた、レポートの下書きも目にしましたっけ。
    家庭教師に書いてもらったというものでした。
    先生の意図はわかるんですが、定理の証明ってそこらへんの中学生が自力で出来るものではないと思うんですよね。
    (^_^;)

    私が通った中学は、国立大学の付属中学校でした。
    東京にも、その種の中学はいくつかあります。
    混同されがちですが、今とても人気のある都立中高一貫校とは少し性質の異なる学校です。
    都立中高一貫校は、保護者の経済力とは関係なく、学力優秀な子に高度な教育を与えるための学校です。
    私立中学に流れがちな優秀な生徒を都立でも育成するということでしょう。
    だから、1期生が東大に何人合格ということが話題になります。

    国立大学の付属中学は、少し存在目的が異なります。
    そこは、選抜された有能な先生たちの実験の場です。
    同時に、教育学部の大学生たちの教育実習の場でもあります。
    つまり、有能な先生たちの前衛的な授業と、教育実習生たちの下手くそな授業が行われる研修の場です。
    授業に協力的で均質な生徒たちが対象でなければ、そうした実験や研修は成立しません。
    実験が失敗し、生徒の学力に悪影響が出ても困ります。
    だから、そういう学校は、強引な展開の授業にも耐えられ、自学自習も可能な、ある程度の学力を持つことが入学の条件になります。

    私たちには、自分たちが「教育モルモット」であることの自覚は大なり小なりありました。
    そのことが、自虐の種でありながら、自慢でもありましたっけ。
    今思えば幼稚な自意識です。(^-^;

    年に2回ほど行われる大きな研究授業の日には、県内から先生たちが集まり、教室の後ろだけでは入りきれず、廊下の窓からも授業を見学していました。
    それは、保護者参観日や学校公開日とは異なる異様な空気の1日でした。
    授業が終わった後、後ろで見学していた知らない先生から話しかけられたことがあります。
    「今の授業、わかる?」
    「・・・・・・はい」
    「わかるの?」
    その先生は首を横に振りながら、「生徒が優秀だからねえ」とつぶやいて、ため息をついて去っていきました。

    自分自身も教える立場にたつようになり、自分が中学のときに受けていた授業が、通常の授業とは異なることがわかってきました。
    私が受けていた授業は、何でも根本から生徒に発見させる授業でした。

    単純な例を挙げれば、例えば数学の「単項式と多項式」。
    普通の授業は、単項式はこういうもので多項式はこういうものと最初に先生が説明します。
    そして、教科書の問題やプリントで単項式と多項式とを識別する練習問題を解きます。
    生徒1人1人が説明されたことを理解し、練習問題を解けるようになることが大切。
    それが授業の目的です。

    実験的な授業はそうではありません。
    いろいろな文字式が1つ1つ書かれたマジックシートを、まず先生が黒板に貼っていきます。
    「さあ、これを分類してみよう」
    先生の呼びかけに、多くの生徒から積極的な案が出されます。
    その間も先生の的確な誘導があり、生徒たちは先生の意図を汲み取りながら、何を発見すれば良いのか常に考えていきます。
    そして、結論に達します。

    文字式には、1つの積の形のものと、積のまとまりがいくつか集まった和の形のものとがある。
    生徒たちがその結論に達した上で、先生が生徒たちに告げます。
    「積の形の文字式を単項式と言い、和の形の文字式を多項式と言います」
    うーん、そうだったのかー。
    生徒たちは、感動し納得して、授業終了。
    そして、単項式と多項式との識別の練習問題は、家庭で学習。
    これが、1つの授業の流れです。

    感動と発見のある授業とは、こういうものなのでしょう。
    私は、その素晴らしさを自分が中学生のときに体感しています。
    ただ、これは、誰もができる授業ではないし、誰に対して行ってもよい授業でもないとも感じます。
    「生徒が優秀だからねえ」
    と嫌味のようなつぶやきとともに去った、かつての先生の気持ちが、今はわかります。

    単項式と多項式との違いを発見するためだけに、1時間。
    授業中に単項式と多項式との識別を練習する時間はとれないので、定着は家庭学習に頼りきり。
    感動と発見のある授業は、時間がかかります。
    あまり能率的ではありません。
    しかも、先生に相当な教育技術と自信がないと、出来ない授業です。
    生徒の間違った意見を上手く捨てていき、たどりつきたい結論を導く技術が必要になります。
    「この先生の言うことには従おう。皆で面白い授業を作っていこう」
    という共通の認識を生徒の多くが持っていることも必要です。
    たった1人の「わからんちん」に繰り返し妨害されたら、それで成立しなくなる授業形態です。
    自分のしゃべりたいことだけ自分のタイミングでしゃべりたい、他人の話を聞く気はない、というモンスターが存在する昨今の教育現場では、当時よりももっと難しいでしょう。

    また、前提として、生徒は決して予習をしてはいけないのもこうした授業のルールです。
    予習してきたら、発見も何もないですから。
    しかし、今日、それはかなり難しいです。
    先生たちがいくら予習するなと言っても、生徒たちは塾に行きます。
    勝手に予習をしてしまいます。
    そのため、現在のこうした実験的な授業は上に書いたようなシンプルなものではなく、普通の予習ではたちうちできない課題を生徒に解かせる方向に進んでいます。
    本当に学ぶ必要があることは何なのか、さらに見えにくくなっています。
    そうした学校に通っている生徒さんやその保護者の方から、
    「学校の授業でやっていることが何なのか全くわからない」
    と相談を受けることがあるのはそのためです。

    こうした授業は、積極的に参加する生徒にとっては楽しいのですが、何の勉強をしているのか理解できない生徒が現れる可能性も高いのです。
    結論が見えないまま進んでいく授業は、理解の遅い生徒には不安です。
    他人の議論をただ聞いているだけ。
    論点がよくわからず、皆が何を話しているのかわかりません。
    だんだん頭がぼんやりして、考えごとをしてしまいます。
    そして、気がついたらまとめが終わっていて、大事なことを聞き逃してしまいます。
    そのまま、何をやっているのか理解できずに授業が終わります。
    家で復習しようとしても、学校で何を勉強したのかわからないので、復習のしようがありません。
    だから、わからない子は本当に何もわからず、学習内容が定着しません。

    中学生の中には、
    「教科書の何ページをやっていますよ」
    と先生が明言しないと、黒板に書かれた問題が教科書の問題と同じであることすら気がつかない子がいます。
    自分たちで議論し、発見する授業よりも、
    「今、こういうことをやっているんですよ。これは、こうなんですよ。覚えなさいね」
    と言われたほうがわかりやすい、と感じる生徒も多いのです。

    高校生になっても、
    「うちの数学の先生は、教科書じゃなくてプリントで授業をするから、全然わかんない」
    と、毎回あせった顔で塾にやってくる子がいます。
    学校の授業の様子を私に説明すればするほど、声が震えてうろたえていきます。
    でも、プリントの実物を見せてもらうと、とてもわかりやすく、よく出来ているものであることが多いのです。
    このプリントのこの問題は、教科書のここのところの問題で、問題集のここのところの問題だから、あなたの学校の数学の先生は標準的な授業をしているんだよ、大丈夫だよと、毎回、まずその生徒を安心させるところから授業を始めています。

    わかりやすく面白い授業をしようと先生たちは工夫しているのですが、そんな工夫よりも教科書の内容を教科書の通りにやってくれるほうが余程わかりやすいという生徒は、案外多いのかもしれません。
    そんな授業はつまらないけれど、でも、何をやっているのかわからないよりはずっといいのでしょう。
    わからない授業に感動も発見もあるはすがないのです。
    自分がわかることのほうが、どれだけ嬉しいか。
    自分が自力で問題を解けることのほうがどれだけ感動的か。

    私が中学生だった頃から、40年が経ちました。
    生徒から、「学校の授業がわからない」と言われ、話を聞くと、私が体験した実験授業に近いものであることが今もあります。
    学校教育とは、教育の大衆化、一般化を目的に始められたもの。
    貴族やお金持ちだけでなく、全ての子どもに平等な教育をという理想から生まれたものが学校です。
    カリスマではなく普通の能力を持つ教師が、普通の生徒たちに行って効果のある授業が、もっと研究されても良いように思います。

    ただ、私が中学時代に受けた授業は、本当に面白かった。
    日々、感動と発見があった。
    それもまた事実なのです。



      


  • Posted by セギ at 21:56Comments(0)講師日記

    2016年12月31日

    北八ヶ岳・天狗岳に登ってきました。2016年12月。


    2016年12月24日(土)、北八ヶ岳を歩いてきました。
    三鷹駅7:31発。立川であずさ3号に乗り換え。7:52。
    自由席に座れて朝からラッキーです。
    座席の前には「あずさ50周年」と書かれてありました。
    そういえば、先日、特別列車「あずさ2号」が新宿を8:02に出発したニュースを読みました。
    50周年記念だったのですね。
    8時ちょうどのスーパーあずさ5号が出た直後の過密ダイヤだ凄いなあと余計なことに感心しながら読んだ私は、あずさファンです。
    あずさは八ヶ岳にも南アルプスにも北アルプスにもつながっていますから。
    ヽ(^。^)ノ

    茅野駅9:51着。
    駅から歩道橋を渡り、向かい側のビルでトイレを済ませ、階段を下りていくと、バス待合所。
    ここで渋の湯までの往復切符を購入。
    バス停には既にザックの長い列ができていました。
    前日の天候が今ひとつだったので、24日出発に変更した人が多かったのでしょうか。
    いつになく混雑していました。
    そんなわけで、バスは2台到着。
    ゆったりと乗っていくことができました。
    天候は冬型で関東地方は快晴の本日ですが、車窓から見る八ヶ岳は雲の中。
    でも、切れ切れの雲なので、午後から晴れていくかもしれません。

    渋の湯。11:25。
    ここのバス停周辺の道路が乾いているのを初めてみました。
    雪がなーい!('_')
    ともかく支度をして出発。
    家で書いてきた登山届をポストに入れて橋を渡ります。
    うわあ。登山道がいきなり凍ってるー。
    ツルンツルンです。
    今日は高見石小屋まで行くのですが、こちら側の道は沢が近いので崖っぷちのところも少しありますし、多少アップダウンもあります。
    やばいな、これは。
    少し広いところでアイゼンを装着しました。
    後ろから人が来たら迷惑になるからと慌ててつけたら、うわあ、アイゼンが登山靴のコバにちゃんと入ってなーい!
    なので、またつけ直し。
    こんな初歩的ミスを犯すとはー。
    いや、そもそも、こんな麓でアイゼンをつけているのがもうダメダメなので、経験者っぽいプライドはこの際捨てましょう。

    しぱらく歩いていくと、丸太3本を組んだ少し長い橋が見えてきました。
    横板が少なく、丸太の上は凍っています。
    下は冷たい沢。
    水が轟々と流れています。
    アイゼンを着けて良かった。
    これは、夏に歩いても怖そうです。
    こんなところ、あったかなあ。
    いつもは雪に埋まっているから気がつかなかったのでしょうか。

    さらに行くと、やや広い沢の徒渉。
    まだ凍っていないところもあり、足の置き場に気をつけながら渡りました。
    これは、夏のほうが私は苦手かもしれません。

    次は、賽の河原の入り口にある岩場のトラバース。
    岩が露出している分、普段の冬より歩きにくくなっていました。
    そして、賽の河原に突入。
    大きな岩がゴロゴロしている荒涼とした場所です。
    コースを示す岩の赤ペンキがはっきり見えました。
    この岩が全て雪で埋まり、視界1メートルくらいの吹雪の中を下った年もありました。
    あのときは、頭だけ見えている赤旗が頼りでした。
    今年は、岩と氷の道です。
    上空には青空が見えてきました。

    賽の河原を登りきると道は緩くなり、雪をかぶったシラビソの森の中を歩く雪道散歩となりました。
    積雪量も増えて、もう凍結箇所もありません。
    やっと楽しい雪山歩きです。
    でも、楽しい道はあっという間に終わり、高見石小屋到着。13:40。

    早速ビール。500mL700円。
    小屋に入ってすぐのストーブの前で暖を取りながら、昼食とビールを楽しんでいると、次々お客さんがやってきます。
    ここの名物は、揚げパンのようです。
    外のベンチで休憩している団体さんのほぼ全員が揚げパンを注文した様子でした。
    小屋のお兄さん、大忙し。
    そんな中、1人、お客さんが中に入ってきて、
    「揚げパン、お土産に持ち帰ることはできますか?」
    と尋ねました。
    小屋のお兄さん、
    「1つには、追加料金がかかります。もう1つ。冷めるとまずいです」

    私のすぐ後に小屋についた泊り客も揚げパンを注文しました。
    揚げたてのパンの写真を撮っている横を通りながら、お兄さん、
    「そうやって写真を撮っている間に、冷めてまずくなります」
    ・・・・あやうく、ビールを吹くところでした。
    このお兄さんの直截なしゃべり方、わかりやすくて私は好きだな。

    寝る場所は2階で、すでに布団がぎっしり敷き詰められていました。
    これも今回が初めてでした。
    今日は宿泊客が多いので、そのようにしたとのことです。
    私の寝る場所は階段の横。
    なかなかに高度感がありましたが、荷物を置く場所が他より広いので、ラッキースペースかもしれません。
    ここに泊まるのは3年ぶりくらいです。
    夜間のみ使用できるトイレが2階に出来ていました。
    昔は、外トイレしかありませんでしたから、夜のトイレは大仕事でした。
    便利になりましたね。

    2階にもストーブと、そして豆炭こたつ。
    こたつに入ってのんびりと「何にもしない」を楽しんで、さて、5時半に夕食です。
    すき焼きふうに味付けされた牛肉とシラタキがメイン。
    キャベツがたくさん添えられているのが、むしろ雪山としては贅沢です。
    そして湯豆腐。

    夜は星空観測会が開かれました。
    先程のお兄さんが、小屋の前のテラスで、強く細い光の出るライトで星を指しながら説明してくれました。
    カシオペアがくっきり見えました。
    そこから北極星を特定。
    北斗七星はまだ地平線のあたり。
    オリオン座は横に寝ています。
    星の説明もわかりやすいなあ。

    さて就寝。
    2時間おきくらいに目は覚めましたが、合計するとたっぷり寝て、朝6時起床。
    朝食は6時半。
    ロールパンの朝食でした。
    プレーンオムレツと、キャベツ。
    インスタント・コーヒーか紅茶を自分で作って飲みます。

    さて、今日は忙しい。
    天気が良いので天狗岳まで登ることにしました。
    もたもたしないよう、小屋前からアイゼン・ピッケルを準備。
    出発。7:10。
    雪道の歩きやすい登り坂を行きます。
    中山展望台。8:05。
    ここから稜線なので、ジャケットを着て、再び出発。
    黒百合ヒュッテからの人たちとすれ違い始めます。
    中山峠。8:35。
    ここから本格的な天狗岳への道です。
    歩きやすい平坦な雪道と急な登り、そして岩場が繰り返されます
    頂上直下の斜面をトラバースする箇所を長く感じました。
    しかし、こういうところを私はあまり怖いと感じないのは何故だろう。
    アイゼンとピッケルを信用しているからかなあ。
    無雪期でストックも持たずに崖っぷちの道を歩くほうが怖いなあと感じます。
    そんなことを考えているうちに、東天狗岳山頂。9:25。

    天狗岳は双耳峰です。
    向かい側の西天狗岳から団体さんが下りてきている様子が見えました。
    今までは山頂は吹雪だったり強風だったりで、とてもそんな気にはならなかったけれど、今回は西天狗まで行けそうです。
    予定にはなかったけれど、時間もまあ大丈夫かな。
    足を伸ばすことにしました。

    東天狗の山頂にはそれなりに風が吹いていたので、吊り尾根の風に気をつけなければと思ったのですが、山頂から一歩降りると風が止み、吊り尾根は無風でした。
    快適な稜線漫歩です。
    最後の登りを行くと、西天狗。9:50。
    大展望が広がりました。
    道しるべの向こうに赤岳などの南八ヶ岳の山々。
    目を少しずつ西に転じると、南アルプス、中央アルプス、北アルプスの山脈がくっきりと見えます。
    北アルプスは大キレットがはっきりと目視できます。
    素晴らしい眺望でした。

    さて、戻ります。
    吊り尾根から少し登り、途中からトラバース道へ。
    あとは来た道を戻ります。
    登るときはこの急なところを下るのは嫌だなあと思うのに、さらに険しい道を歩いた後だからか、下るときには厳しいとは感じなくなっていました。
    やはり、天狗岳は良い雪山トレーニング場所です。

    黒百合平。11:00。
    小屋前のベンチでピッケルを片付け、ストックを用意し、そして昼食。
    昨日の朝コンビニで買ったパンがぺったんこに潰れていました。
    それを食べようとして、なかなか飲み込めず、ああ疲れているんだと実感。
    やはり自覚しているより緊張していたようです。
    ほぼ1年ぶりの雪山でしたから。

    さて下ります。11:30。
    凍結が予想されるので、アイゼンはつけたまま。
    結局、今回はずっとアイゼンをつけていました。
    もっとふかふかの雪道をアイゼンなしで歩きたいなあ。
    雪が少ないため、鉄網の橋がむき出しのところも多かったです。
    氷の川のようになっている道も。
    それでも、アイゼンをつけていれば特に問題はありません。

    渋の湯。13:10。
    温泉の入り口前の階段での登山者の支度を禁ずる掲示が出ていました。
    宿泊客から苦情でもあったのかなあ。
    バス停前にザックを置くようになり、それがバスの順番待ちも兼ねているので、それはそれで合理的なシステムになった気もします。
    お風呂セットを持って中へ。
    入浴料1000円。
    ここは変わらない木の浴室・浴槽です。
    昔ながらの温泉の雰囲気が嬉しい。
    さて、お風呂あがりは自販機のビール。350mL。360円。
    茅野駅行きバスは、14:55発。
    今回も2台やってきて、1人2座席でのんびり帰ることができました。


    さて、今年も1年お世話になりました。
    皆さま、ありがとうございました。
    今年は、年賀状は失礼させていただきます。
    良いお年をお迎えください。

      


  • Posted by セギ at 16:08Comments(2)

    2016年12月22日

    2学期期末テスト結果出ました。2016年。


    期末テストの結果が出ました。
    数学 
    100点 1人 90点台 1人 70点台 2人 60点台 1人 50点未満 3人
    英語 
    90点台 1人 80点台 2人 70点台 2人 60点台 1人 50点台 1人 50点未満 1人 

    数学は前回初めて90点台に上がった人が、その勢いで今回は100点を達成。
    さらにもう1人90点台に突入しました
    弾みがついているのを感じます。
    一方50点未満の子たちですが、基礎を固め、ついに1人、60点台に押し上げたと思ったら、逆に、しばらくそんな点を取ったことがなかったのにがくっと下がってしまった子がいました。
    2学期は、テスト範囲が難しいにも関わらずあまり勉強に集中している様子の見られない生徒が出現する時期でもあります。
    毎年のことなので、ああ、またか、今度はこの子かと私は感じます。
    本人は肝が冷えて3学期は頑張ることと思います。

    英語は、文法にしろ読解にしろ、教科書の範囲だけがテスト範囲のほうが対策がしやすいのは事実です。
    テスト範囲だけにしぼって対策すれば良いのですから。
    何が出るかは、わかりきっています。
    うちの塾でも、そういうタイプのテストの学校に通う子で、1学期末の後に数学から英語に科目変更し、テストの度に15点ずつ得点アップしている人がいます。

    一方、教科書以外のテスト範囲がある学校の対策は難しくなります。
    例えば単語集や熟語集からも問題が出される場合。
    毎週の小テストの範囲だったものが定期テストでまとめてテスト範囲となるのですから、コツコツ勉強して忘れないように反復していく必要があります。
    しかし、小テストを一夜づけて何とかやり過ごすタイプの子は、定期テスト範囲の分量には耐えられず、定期テスト前は単語・熟語の勉強をほとんど放棄してしまいます。
    その配点が20点ともなると、本人だけ80点満点のテストを受けているに等しいので、得点はいつもパッとしません。

    NHKの英語講座がテスト範囲の学校も厄介です。
    およそ2か月分のテキストは、対策するには膨大な量です。
    しかも、本人は一度も放送を聴いていなかったりします。
    テキストすら購入していないという最悪の場合もあります。

    あるいは、教科書の文章ではない初見の長文問題が必ず出題される場合。
    長文を自力で読めない子は、この応用問題に対応できません。
    やはりそこで失点しがちです。

    こうしたテスト範囲がある学校の場合、対策は難しいのですが、その学校がそうしたテストを作っていることには、一定の安心感、信頼感もあります。
    教科書だけがテスト範囲の定期テストで高得点を取って、学力があるかのように誤解することのほうが恐ろしいからです。
    定期テストの点数が良いと、本人も保護者もそのつもりになってしまいます。
    そのつもりで全国模試を受け、惨敗します。

    定期テストにも応用問題が出ている。
    では、応用力をつける勉強をしていかなければね。
    返却されたテストを見ながら、そのような話がしやすい。
    だから、教科書以外のテスト範囲のあるテストを作ってくれる学校のほうが、私は嬉しいです。

    ところで、テストは受けた後が大切。
    返却されたばかりのテストを解き直したり、次回からの対策を話したりという時間を持ちたいです。
    定期テストを持ってくるのを忘れる子が複数いるのが頭痛の種です。
    1週目、「あ。忘れた。来週持ってきます」
    2週目、「あ。忘れた。持ってくるんだった」
    3週目、「・・・・探したけど、見つかりませんでした」
    残念です。
    本人は、どれほどの損失を招いているか、あまり自覚はないのかもしれませんが。

    さて、明日から3日間お休みをいただいた後、冬期講習に入ります。
    その間、パソコンを立ち上げる日は限られていますので、パソコンメールでのお問い合わせの返信は遅くなるかと思います。
    また、新規の冬期講習お申込みや体験授業は現在受け付けておりませんので、ご了承ください。


      


  • Posted by セギ at 13:21講師日記

    2016年12月19日

    大平山から石割山を縦走しました。2016年12月。


    2016年12月18日(日)、山中湖畔の山を歩いてきました。
    前日にネットで高速バスの予約をし、さて、当日、バスタ新宿へ。
    最近、高速バスを利用していなかったので、バスタ新宿を利用するのは初めてです。
    新南口って中央快速のホームからは直接行けなかったよねーと思い、時間にかなり余裕を見て行ったのですが、あれ、直接行ける!
    新南口の改札を抜けると、すぐ左手にバスタ新宿に直通のエスカレーターがあり、それに乗って簡単に着いてしまいました。
    窓口での発券もどうせ凄い行列なんだよねーと思っていたのですが、自動発券機があり、画面でネット予約のところを押し、どこのサイトで予約したかを次に選び、登録した番号を入力したら、もうお金を投入するだけで発券。
    か、簡単だ・・・・。
    トイレの行列はさすがに長くて大変でしたが、乗車口はわかりやすく分かれていて、待合室も明るく、快適でした。
    昔の、アナウンスを聞き逃すと大変だと緊張する感じがありません。
    今はシーズンオフでのんびりしているというのもあるのかもしれせんが、客としてはかなり使いやすい感じになり、高速バスを利用するとき独特の気の重さが軽減された印象です。
    さて、無事にバスは出発。8:15。
    富士急ハイランド経由、山中湖行きの高速バスです。

    バスは快調に高速に入りました。
    観光シーズンではないので、高速も空いています。
    ところが、小仏トンネルの中で、運転者さんからアナウンスが。
    前方に車両火災が発生し、渋滞が予想されますと言うのです。
    そして、トンネルを抜けると、渋滞どころか完全に停止してしまいました。
    車線の真ん中を突っ切って、次々と消防車が行きます。
    最後にパトカー。
    うわあ・・・・。
    バスは、こういうことがあるからなあ。
    でも、電車も人身事故のときがあるしなあ。
    バスはそのまま45分間停止しました。
    ようやくバスが動き出し、窓から様子を見ると、燃えた車が見えました。
    窓ガラスがなくなり、消化液をかぶったせいもあるのでしょうが灰色に燃えつきた残骸のような乗用車でした。
    うわあ・・・・・。
    1台だけでしたから、衝突事故などではなさそうでした。
    何で燃えたのかなあ。

    バスは、予定より45分遅れて、11:15に「ホテルマウント富士入口」に停車。
    運転者さんにしきりに謝られて、むしろ恐縮してしまいました。
    運転者さんのせいじゃないし。
    高速は渋滞があるものだから、出発は11時で予定を組んでいますし。
    初めての山だから、コースタイムもそれぞれのパートごとに5分増しで計画していますし。
    だから、全て問題なしです。

    バス停から信号を渡り、山中湖畔のサイクリング道を歩きました。
    富士山が大きい!
    そして、平地で見ると不思議に富士山はそんなに高い山に見えません。
    以前も書きましたが、昔、ゴールデンウィークに奥秩父を歩いたとき、雪道に難渋しながらふと見上げた空に富士山を見つけたときのその高さは、予想していた仰角の10°増しの印象でした。
    あまりの高さに唖然とした記憶があります。
    高い山から見る富士山は、なお高い。
    自分がある程度の高さに上がると、相手の本当の高さがわかる。
    そういうことが腑に落ちた経験でした。

    大きな富士山を背に山中湖畔を15分ほど時計回りに歩き、「大出山入口」の小さなバス停のところで道路の向かい側に渡りました。11:25。
    そのまま、湖畔の道路とは別れ、ホテルや別荘の並ぶ車道を登っていきます。
    この先が予想より案外長く、山頂まで車道なの?という印象でした。
    S字を描いて登りきると、ようやく道しるべ。
    この道しるべがちょっとわかりづらく、どこかに登山口があるのかなとキョロキョロしてしまうのですが、そんなものはなく、なお車道を歩いていきました。
    平坦な道をしばらく歩くと、今度はわかりやすい道しるべがあり、右に明瞭な登山口がありました。12:05。
    ちょうど降りてくる人もいました。
    地元の人だと、もう縦走を終えて下山する時刻だなあ。

    登山道はえぐれ気味で、雪や霜が残っています。
    滑るような印象はないですが、ストックを出しました。
    初めての山なので、今回は念のためにストックを1本持って来たのです。
    さすがに私も学習しましたよ。( ̄ー ̄)
    枯れたススキの坂道を上がっていくと飯盛山。12:20。
    ベンチが1つありました。
    木が少し邪魔ですが、富士山がやはり大きい。
    これから高度が上がるほど大展望が広がる予感にワクワクします。
    ここから少し下り。
    木段が整備されているので、下りも安全です。
    歩きやすい山道が続きます。
    次のピークが明瞭に見える枯れ野原を歩いていきます。
    登りも木段。
    一歩ずつのんびり登っていき、疲れると振り返り、富士山を眺めます。
    大きいなあ。

    大平山。12:45。
    あずまやが1つ、ベンチもいくつか並ぶ広い赤土の山頂でした。
    眼下に山中湖、そしてその向こうに裾野を広げる富士山。
    その右手に、南アルプスの山々。
    凄い眺望です。
    富士山&南アルプス・オールスターズ。
    一番左が聖で、右端が北岳?
    では途中のあれは?
    と山座同定を楽しみながら、ベンチに座って昼食をとりました。

    さて出発。
    低木と原っぱが続き見通しが良いので、次のピークと登山道が見渡せます。
    稜線の気持ちの良い道。
    夏にはここに山野草が咲き乱れるそうです。
    そしてどこまでも続くような印象の木段の上り。
    ときどき、反対方向から歩いてくる人たちとすれ違います。
    反対方向から歩く人のほうが多いのかなあ。
    歩きながらずっと富士山が見えますものね。
    私、コース取りを失敗したかなあ。
    でも、こちらから歩けば下山口に温泉があるし。

    ススキ野原の木段の直登を頑張って登り切ると、平尾山。13:40。
    ここは予想より狭い印象の山頂でした。
    ここからも富士山と南アルプスがよく見えました。
    午後の逆光で、南アルプスはかなり薄い色合いになってきました。
    富士山は中腹や山頂部に少し雲が。

    さて、ここから最終目的の石割山を目指します。
    しばらくは平坦な道。
    そこですれ違ったご夫婦らしき方が、
    「ここから泥道で大変ですよ。みんな苦労していましたよ。ほら」
    とドロドロの登山靴を持ち上げて見せてくれました。
    「お気をつけて」
    と声をかけあい、再び歩きだします。
    しばらくは今までと変わらない道が続きました。
    雪や霜が残っているところや、それが融けて泥になっているところはこれまでもあったから、この調子なら大丈夫かな。
    しかし、他人に忠告したくなるほどの道というのは、やはりそれだけの根拠があるのでした。

    登りにさしかかると、赤土が露出しロープが張られた、他につかまるところのない急登が延々と続きました。
    片手はロープに添え、もう片手でしっかりストックをついてもズルズル滑るような泥の急登でした。
    私は登りだからまだましだけれど、これを下るのは最悪です。
    はあ、やはり、私のコース取りで正解だー。

    石割山。14:15。
    さらに薄くなってきた富士山と南アルプス。
    山頂は予想より狭く、通過点という印象でした。

    さて、下山します。
    いきなり、今までと印象の異なる道でした。
    樹木や岩に囲まれた細い急な下りが続きます。
    ロープの張られた急な段差も多数。
    特に危険個所というほどではないのですが、こういう段差の山を歩くのは久しぶりです。
    今年は緩い山ばかり歩いてきたのだなあ。

    急下降は突然終わり、ぽんと石割神社に出ました。14:40。
    小さい社と、その背後に大きな割れた岩。
    巨大な注連縄が張られています。
    その岩の回りを時計回りに3回巡ると開運するとのこと。
    早速チャレンジ。
    鉄の柵で順路が整備されていますが、最後の岩の間の通過が狭い!
    ザックを下ろして、横になって通過しました。

    そこから、道は突然広く緩くなり、雑木林の中を快適に降りていくと、富士見平。15:00。
    ここで道は2つに別れます。
    石段の道を右に見ながら、左の林道を降りていきました。
    ジグザグにどんどん降りて沢沿いの道を行きます。
    別荘の中を抜けて、石割の湯に到着。15:25。
    入り口に小さなバス停。
    山中湖畔をめぐる「ぐるりんバス」は時計回りと反時計回りがあります。
    その時刻を確かめて、中へ。
    入り口の左手に下駄箱がありますが、奥には鍵付きの下駄箱もあるとの掲示が。
    やはりそのほうが良いだろうと靴を持って上がっていくと、右手にありました。
    100円を投入し、帰るときにその100円は返却される仕組みの鍵でした。
    受付に行くと、自販機で券を購入してくださいと言われました。
    玄関右に自販機があったのでした。
    うわあ、気がつかなかった。
    下駄箱に気を取られた。
    玄関まで戻って、自販機で券を購入。800円。
    脱衣所のロッカーも100円が後で返却される仕組みの鍵でした。
    少し古い施設にこのシステムが多いですね。
    最近作られたり改装された温泉施設にはこのシステムはないので、一時的な流行だったのでしょうか。
    普通の鍵で良さそうなものなのに、この100円は何の意味があるのだろう?
    首をかしげながら、さて、入浴。
    洗い場は15個ほど。
    シーズンオフで空いていました。
    しかし、そなえつけのボディソープの泡立ちの悪さにがっかり。
    匂いもあまり良くないし。
    と思いながら、シャワーを使って、あれ?と思いました。
    これ、シャワーから出ているのも温泉?
    ・・・・だから、泡立ちが悪いんだ。(@_@)
    その温泉シャワーを浴びると、ボディソープの匂いなんか完全に消えました。
    わあ、凄いなあ。

    露天風呂は2種類。
    1つは岩風呂。
    そのお湯の清浄さにも驚きました。
    ここは、もしかして、かけ流し?
    それくらいきれいなお湯でした。

    もう一つの露天は檜風呂。
    37℃のぬるめ設定で、何時間でも入っていられます。
    内湯は、源泉のぬる湯。
    さらに寝湯と泡湯。

    さて、お風呂上がり。
    自販機はありませんでした。
    食堂でビールのチケットを購入。400円。
    そのチケットで缶ビール350mL。
    これは観光地の値段ですね。
    でも、お湯が良かったから、総合点は高評価です。

    さて、16:54。きっと遅れてくるんだろうなあと思っていた「ぐるりんバス・ふじっ湖1号」は何と定刻にやってきました。
    そのバスで終点富士山駅へ。
    富士山駅に降りたのは初めてですが、駅ビルもあるんですね。
    きれいな駅で、待合室も広く快適でした。
    そこから富士急で大月へ。
    大月からは東京行きの直通電車に乗ることができました。

      


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    2016年12月15日

    1月14日(土)、大人のための数学教室を開きます。




    12月10日(土)、大人のための数学教室を開きました。
    「不定方程式」もあと少しで終わり。
    今回は、こんな問題です。

    例題 方程式 3x+7y=71 を満たす自然数の組(x , y)を全て求めよ。

    この問題が今までと異なるのは、求める解が「整数」ではなく、「自然数」であること。
    自然数とは、1、2、3、4、・・・・といった、正の整数のことです。
    xもyも自然数でなければならないとなると、これは無数にあるわけではなさそうです。
    どちらかが負の整数であるものは解ではないからです。
    だから、こういう問題は、具体的な解を全てあげて答えます。

    まずは、いつも通りの不定方程式の解き方で計算していきます。
    x、yの具体的な解を1組、見つけましょう。
    係数の大きいyから、y=1、y=2と代入していくと、x=19、y=2が見つかりますね。
    したがって、
    3・19+7・2=71 ・・・・➁
    与式を➀として、①-➁をすると、
    3(x-19)+7(y-2)=0
    移項して、
    3(x-19)=-7(y-2)
    3と7は互いに素だから、
    x-19=7k (kは整数)
    x=7k+19 ・・・➂
    y-2=-3k
    y=-3k+2 ・・・④
    という整数解がまず見つかります。

    ここからが今までと異なります。
    x、yは自然数なので、1≦x、1≦yですから、
    ➂に代入すると、
    1≦7k+19
    7k+19≧1
    7k≧-18
    k≧-18/7
    ④に代入すると、
    1≦-3k+2
    3k≦1
    k≦1/3

    よって、-18/7≦k≦1/3
    kは整数だから
    k=-2、-1、0
    これを➂、④に代入して、
    (x、y)=(5 , 8),(12 , 5),(19 , 2)

    x=7k+19 ですので、1つめの x=5 を計算したら、あとは7ずつ増やしていくと求める時間を短縮できます。
    yも同様です。
    y=-3k+2 ですから、最初は計算で y=8 を出した後は、3ずつ減らしていくとよいでしょう。
    今回は解が3組だけでしたが、15組くらいあっても全部書いていきますので、計算時間の短縮は重要です。
    計算の工夫ですね。

    今回の期末テストを見ると、計算でもたつき、時間がかかってテストを最後まで解くことができなかった生徒が何人かいました。
    計算スピードが遅い生徒を見ていると、手が止まって考え込んでいる時間が長いのが特徴です。
    立式を考えているのではありません。
    式が立った後、計算で手が止まって考え込んでいるんです。
    何をしているのかというと、暗算をしているんです。
    暗算は、本人は速く解けるつもりでいても、傍らから見ていると不可解なほどに長い時間がかかっていることがあります。
    「暗算」と「計算の工夫」は似て非なるものです。
    一般に、計算過程をなるべく暗算で済まそうとする子ほど計算に時間がかかり、計算ミスも多い傾向があります。
    そういう子の答案は、式が1行跳び、2行跳びの印象です。
    何でそんなアクロバティックな省略をしたがるのか私にはわからないのですが、書いている本人は、もう何年もそういう答案を書いているので、何を注意されているのかわからないようなのです。
    ここを省略するから計算しにくくなって、ここで符号ミスをして、ここで計算ミスをする。
    そういうことに対して自覚がなく、
    「次はミスしないようにしよう」
    と思うだけか、ミスしたこと自体なかったことにしようとするのも、そういう子たちの傾向です。
    それでは、ミスが減ることはほとんど期待できません。
    計算ミスが多いなら計算のスタイルを改善する必要があるのですが、どうもそういう分析がなく、ただ「次はミスしないように頑張ります」と思うだけのようです。
    具体的に何かを変えていかなかったら、ミスは減りません。

    ただ、そういう子ほど我流のスタイルが身体にしみついていて、改善が難しいのも事実です。
    スポーツに通じるものがあるかもしれません。
    正しいフォームが大切なのは一般論としてはわかっている。
    でも、自分は正しいフォームで行うことができない。
    我流の曲がったやり方がしみついている。
    そこを注意されても、直せない。
    「こうやったほうが自分はやりやすいからいいの!」
    と思ったりするのでしょうか。
    正しいフォームを身につければ無限に伸びる可能性が生まれます。
    我流にこだわったら、先は見えています。
    そういうところは、数学はスポーツと似ているなあと思います。
    やはり、数学は頭脳のスポーツですね。
    ヽ(^。^)ノ


    さて、大人のための数学教室、年内の授業は今回が最後でした。
    次回は、来年、1月14日(土)となります。


    ◎日時  1月14日(土)10:00~11:30
    ◎内容  数A「整数の性質」の学習を続けます。p109の問題16が宿題です。
    ◎場所  セギ英数教室
           三鷹市下連雀3-33-13
             三鷹第二ビル 305
           春の湯さんの斜め前のビルです。
    ◎用具   ノート・筆記用具
    ◎参加費 2,000円
           当日集めさせていただきます。
    ◎予約  私の携帯メールかラインあてに、ご予約をお願いいたします。




      


  • Posted by セギ at 12:08Comments(0)大人のための講座

    2016年12月12日

    八王子城跡から北高尾山稜を歩きました。2016年12月。


    2016年12月11日(日)、北高尾山稜を歩きました。
    いつもは高尾駅から小仏城山行きのバスと同じ道を20分ほど歩いて登山口の細い尾根に取り付きます。
    今日は、ガイドブックに載っている北高尾山稜のメインストリート、八王子城跡から歩いてみることにしました。

    高尾駅北口7:55発「八王子城跡」行きのバスに乗車。
    陣馬高原行きのバスを待つ行列を後目に空いているバスにさっと乗車できて、とても楽でした。
    途中、「八王子城跡入り口」というまぎらわしいバス停もありますが、終点「八王子城跡」下車。8:10。
    下りたのは7人ほど。
    みな、バスの進行方向のまま、ゆるい坂を登っていきます。
    道なりに右に曲がり、そのまままっすぐ行くと、大きな鳥居があり、そこが登山口でした。
    鳥居をくぐって登っていくと、すぐに分岐。
    「新道」と「旧道」という道しるべが立っていました。
    多分どちらでも山頂に行けるのでしょうが、とりあえず左の「新道」へ。
    尾根をまわり込んでいくと、ぐっと右に曲がる位置に再び鳥居があり、そこをくぐって石段を上がっていくと、金子丸。8:20。
    平らな休憩適地で、ベンチもありました。
    登山道は広く、よく整備されています。
    さらにゆるく登っていくと、左側が大きく開けて、関東平野を一望できる見晴台へ。
    冬晴れの下、筑波山の双耳峰まで肉眼でくっきり見えました。
    上の写真がそこで撮影したものです。

    さらにひと登りで、八王子城山。8:40。
    八王子神社があり、トイレもありました。
    ペーパーの設置もない、古いタイプのトイレです。
    さてそこから道しるべの通りにいったん下るのですが、その道が崖っぷちで細い急な下りなのにちょっと驚きました。
    あれ、これは、いつもの北高尾山稜の登山口付近より険しくない?
    それは、いったん井戸へと降りていく道でした。
    ポンプ式の井戸があり、プラスチック製のコップも置いてあったので、今でも使えるのでしょうか?
    そこからもしばらく崖っぷちの細い道が続きます。
    この道がずっと続くと嫌だなあと思ったのですが、少し行くと尾根に乗り、ひと安心。
    そこからは道幅のある尾根道を登ったり下ったりして、富士見台へ。9:30。
    いつもの道と、ここで合流です。

    富士見台のベンチは少し戻る位置にあり、そこから富士山の白い頭がよく見えました。
    富士山を眺めながら、ちょっと休憩。
    北高尾山稜の出発点として、どちらがいいかなあと考えました。
    今日のような快晴の日は、あの見晴台の眺めは素晴らしいからこちらかなあ。
    曇りの日なら、いつものほうでいいかなあ。

    さて出発。
    あとはよく知る道です。
    小さなピークを登っては降りてを繰り返します。
    枯葉も色あせ、乾いてカサカサと音を立てる初冬の山道。
    すれ違う人、追い越していく人は、大抵1人。
    前後に人のいない静かな山歩きが続きます。

    ピークの1つを降りていくとデジカメで何かを接写している男性がいました。
    「何か咲いていますか?」
    と声をかけると、
    「ああ、咲いていますよ」
    となお熱心に撮影しています。
    私も上から覗き込んで葉を見ました。
    「あ。カンアオイ」
    「そう。花が5つ、ついているんでね」
    「わあ・・・・」
    私も撮りたいなあと思ったけれど、撮影はなお熱心に続いているので、まだしばらくかかりそうで諦めました。
    他にも咲いていないかなあとキョロキョロ探しながら歩いていくと、ありました。



    カンアオイ。
    葉の陰に隠れるように根本に咲くころんとした花です。
    地味なので気づかずに通り過ぎることが多いのですが、見つけると嬉しい花です。

    岩がちの少し急なところをまわり込んで登っていくと、その上は平らで枯葉がふかふかに積もった気持ちの良い場所でした。
    ここで少し休憩。
    登ったらまた急なところを降りる心積もりでいるので、いつも少し拍子抜けするのですが、その場所の心地良さににんまりと笑ってしまいます。

    もうここからはあまり急な上り下りのない尾根道に入ると、樹間から遠くの山なみがきれいに見えました。
    あれは、奥多摩の大岳山かな。
    やがて、関場峠。11:50。
    小下沢林道の終点です。
    以前は、小下沢林道を終点まで歩いて、北高尾山稜を下るのが好きでした。
    奥高尾につなげたほうが沢山歩けるから、今は、北高尾山稜を登ることが多いです。

    さて、関場峠から再び少し急な登りを行きます。
    その先のピークは右にまき道があります。
    植林帯のうす暗い道に入り、そこからは再び登ったり降りたり。
    視界が開けると、背後に陣馬山が大きく見えます。
    その坂道を上がっていきます。
    今年は笹が随分増えた印象でした。

    登り切るともう堂所山は近いのですが、昼どきで山頂は混雑しているかもしれません。
    眺めの良い切株に座って昼食をとりました。
    今日は寒いなあ。
    動いている間は感じないのですが、立ち止まるとキーンと冷えてきます。
    おにぎりを持つ手も冷たい。

    さて、出発。
    すぐ先の堂所山山頂は無人でした。
    あれ?
    私がおにぎりを食べていた間にも何人か堂所山に向かって登っていったのに、誰もここで休憩しなかったのかな。
    それなら、ここで昼食でも良かったかな。
    と思いながら下りていくと、急坂の下のほうを団体さんがゆっくりと降りていくのが見えました。
    あー、あの団体さんがさっきまで山頂にいたので、登っていった人たちは山頂での休憩は諦めたのかなあ。
    やっぱり、切株で休憩して良かったみたいです。
    地面がほどよく乾いていたので、堂所山の急な下りも特に難所とは感じず、順調に降りて行くことができました。

    ここからは奥高尾のいつもの道です
    数日雨が降っていないので、泥道も乾いて快適に景信山へ。13:25。
    ベンチがほぼ埋まる盛況でした。
    鍋持参で忘年山行に来ている人が多い様子です。
    ここは休憩せずに通過。

    歩きにくい下りを数箇所終えて、小仏峠まで下りていくと、あとは登り返しです。
    木段を登り終えると相模湖のよく見える場所へ。
    ここの茶店は行楽シーズンの日曜日でもほとんど閉まっていました。
    今日いくと解体されていました。
    何だかカランとしてしまった印象です。
    相模湖に面したベンチはそのままでした。

    しばらく平らな道の先には木段の上り。
    そこからさらに土の道の急坂を登っていきます。
    疲れているときは足が進まない辛いところですが、今日はまだ大丈夫みたいでした。

    登り切った先が小仏城山。14:10。
    なめこ汁と缶ビールをお盆に載せていそいそとテーブルに戻ってくる人を、いいなあと眺めながら、私もベンチの1つで休憩。
    朝から持参のスポーツドリンクの氷がまだ融けずに残っています。
    今日は本当に寒いんだなあ。

    ここからは木段木道の整備された良い道が続きます。
    少し幅のある木段ですが、調子の良いときは一歩ずつでタンタンと下っていけます。
    今日はいける!
    登り返して、一丁平の見晴台。
    夕方の逆光の中、富士山は青いシルエットを見せていました。
    富士山がきれいだから、今日は紅葉台を登ろう。
    整備された木段を順調に登り、紅葉台へ。
    ここからも富士山。14:50。

    この先は、高尾山は巻いて、稲荷山尾根を下りました。
    久しぶりに歩くと、稲荷山尾根も木段木道が随分増えていました。
    ここは、植生保護のためというよりは、転倒防止の意味あいのほうが大きいのかもしれません。
    登山道なのですが、観光客が山歩きにあまり向いていない靴で入ってきてしまうことが多いコースです。
    そういうことを注意するよりも、転倒事故の起こったところを整備するほうが早道なのだろうなあ。
    歩きやすくなったなあと感じながらとっとこ歩いて、高尾山口。15:55。
    よく歩いた1日でした。

      


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    2016年12月08日

    線分の比と面積の比と関数の融合問題。


    さて、「線分の比と面積の比」の話の続きです。
    底辺の比も高さの比も把握できる2つの三角形は、(底辺の比)×(高さの比)で面積の比を求めることができます。
    底辺の比は、見た目そのままなので理解しやすい人が多いようです。
    一方、高さの比のほうは、何でそこを高さの比と見ることができるのかなあ、と感じる子が多いように思います。
    この考えを座標平面上に応用した問題が、都立入試の関数の問題の問3で度々出題されますので、理解できると良いのですが。

    「今、この2つの三角形の共通な底辺は、y軸上にあるでしょう?だから、高さの比は、x軸上で見ることができるんだよ」
    個別指導をする場合、まず、こんな雑な説明をして、様子を見ます。
    図形センスがあり、この種の問題を解いた経験もある子なら、この説明で理解できます。
    手が動き始めたら、まず大丈夫。

    理解できない場合。
    どこでつまずいているか、少しずつ説明を易しくして、様子を見ます。
    下手をすると小学校の「三角形の面積」の学習でつまずいている場合もあります。

    三角形の面積。
    どんなに算数が苦手な子でも、三角形の内側に高さが示されている場合は、公式通りに面積を求めることができます。
    けれど、鈍角三角形がエビぞりしているみたいな向きに図が描かれている場合(わかりますか、この表現?)、高さは三角形の外に示されます。
    その場合、それがその三角形の高さであることを理解できない子がいます。
    なぜ三角形の外側に示されたものがその三角形の高さになるのか理解できないようです。
    高さというのは、その図形の内側にあるものだという固定観念があるのでしょうか。
    どうしても高さを求めるのなら、三角形を立ち上げて本当の高さを測るべきだと思うのかもしれません。
    花の重さで垂れ下がったヒマワリの高さを測るのに、どっこいしょと花を持ち上げて測るような感覚でしょうか。

    そういう子は、三角形の高さの正確な定義を把握できていないのです。
    正確な定義は言葉にすると難しい言い回しになってしまうので、そういう厳密なことは中学生から行うのが普通です。
    小学生には厳密な定義は教えません。
    小学生には複雑な概念を複雑な概念のまま直観的に把握する能力があります。
    それは子どもだけにある特別な学習能力です。
    その能力に期待して学習は進むのですが、把握できない子はやはり把握できません。


    高さが三角形の外側に示されている問題が解けないときに、
    「これが高さだよ」
    と大人に教えられれば、へえ、そんなもんなのかと思って、その問題は解きます。
    しかし、時間をおいて復習すると、やっぱりそのタイプの問題は解けない。
    本当に理解したわけではないから、そうなります。
    そういう問題を理解できないまま三角形の面積の勉強は終わり、小学校を卒業し、中学生になっている子がいます。
    そういう子の場合、三角形から遠く離れたx軸上でその三角形の高さの比を読み取ることは、到底理解できません。

    三角形は、どの辺も底辺と見ることができ、そのそれぞれに高さがある、ということを理解できない子もいます。
    底辺とは、いかにも底辺な向きを向いているものだけが底辺で、そんなに自由自在に動くものではないと思うのでしょうか。 
    簡単に言ってしまえば、そういう子は頭が固いんですが、そういう頭の固さはどうすれば治るのかは難しい問題です。

    しかし、勉強しなければそのままです。
    繰り返し説明しながら、その子の頭の中で閃光の走る瞬間が来るのを待つことが、遠回りのようで唯一の手段であるように感じています。

      


  • Posted by セギ at 14:02Comments(0)算数・数学

    2016年12月05日

    石老山、石砂山、峰山を歩いてきました。2016年12月。


    2016年12月4日(日)、相模湖近くの山々を歩いてきました。
    三鷹発7:36の中央快速に乗って、高尾で乗り換え、相模湖駅。8:28。
    駅前のバス停の1番線「プレジャーフォレスト経由三ケ木」行きに乗車。8:35。
    石老山登山口下車。8:45。

    2年前の冬にもこの山を歩きました。
    そのときは、山頂付近の予期せぬ雪に難渋し、石砂山までで挫折。
    計画した峰山には行けませんでした。
    今回は、峰山まで歩き通せるかな?

    石老山登山口バス停から少し戻るようにして押しボタン式信号を渡ります。
    渡った左手に山支度をしやすいスペースやトイレもありますが、道はそのまま直進です。
    どんどん歩いて赤い欄干の橋を渡ると、道は2つに別れます。
    右手に「石老山」の大きな道しるべがあり、そちらのほうの細い道を行きます。
    さらにどんどん歩いていくと、右手に道しるべと石段が見えてきます。
    石段を登り直進すると、石老山に咲く花の看板などがあり、左手が登山口。
    古い石段はすぐに尽き、雨の日は浅い沢に変わるような登山道を大きな岩をぬって歩いていきます。
    奇岩・怪岩の連続とガイドブックにはありますが、正直に言えば、岩の形の奇怪さは筑波山にはかないません。
    石老山は、普通の大岩が多いです。
    散蓮華に似た岩だけはちょっと感動。
    本当にハスの花みたいでした。

    晩秋の顕鏡寺の枯れた雰囲気を味わい、さらに登っていきます。
    道は2つに別れ、近道の八方岩コースへ。
    もう一つのコースは、桜の季節には良い道のようです。
    岩の間をなお登っていくと、八方岩から道はいったん平坦な植林帯の道になり、そこからまた緩く登っていきます。
    2年前は、ここから積雪と凍結に難渋しました。
    直近で雪が降った記憶がなかったので、低山だから大丈夫だろうとストックもアイゼンも持って行かなかったら、びっくりするほどしっかり積雪・凍結していました。
    702m峰と侮ってはいけませんね。
    北斜面の雪はいつまでも残ります。
    今回はさすがに積雪などはなく、歩きやすい道をのんびり歩いていきました。

    石老山山頂。10:05。
    山頂は中高年の団体さんで混雑していました。
    山頂からは富士山が見えました。
    周囲の山や木々に遮られ、山頂標識付近からしか見えないのですが、冬晴れの富士山を堪能。

    さて、ここから篠原へ下山します。
    道しるべを確認して、篠原へと歩きだしました。
    しばらくは平坦な良い道ですが、次の分岐から急な下りが始まります。
    団体さんが後ろから来ていました。
    プレジャーフォレストに下りる歩きやすい道を選ぶのだろうと思っていたら、私と同じ篠原へ下山する道を賑やかに降りてきたので、ちょっとびっくり。
    20名くらいの団体さんです。
    中高年パーティも8人から10人くらいですと、足の揃った山慣れた人たちの可能性も高いですが、易しい低山に20人くらいで来ている人たちとなると、何人かは全くの初心者が含まれているのではないかと思います。
    初心者が下りるにはこの道はちょっと急なんだけど、大丈夫なのかなあ?

    そう思って振り返ったら、団体さんは私に追いついてきそうでした。
    嘘でしょう?
    この道、私もときどきしゃがみこんで降りていますよ?

    最初の急な下りが終わり、しばらく平坦なところを過ぎた後、第2の急な下りにさしかかりました。
    急な上に落ち葉が積もって、さらに歩きにくくなっています。
    それなのに、賑やかな話し声は近づいてきます。
    えー・・・・?

    しかし、次の平坦な道を終え、第3の急な下りを下る頃には、後ろの話し声は全く聞こえなくなりました。
    そうか。
    先頭を歩く人たちは山を下る技術を持った人たちなのでしょう。
    目視できる範囲に私がいることもあって、つい歩くスピードが上がっていたのかもしれません。
    前に目標物があると、つられてスピードが上がってしまうことは多いです。
    しかし、そのスピードについていけない人たちもいた。
    パーティが分断された。
    後ろから声がかかり、先頭グループは振り返って立ち止まった。
    そういうことだったのではないかと思います。

    追われることがなくなり、ようやく私も自分のペースでのんびり歩いていきました。
    左手の樹間からはずっと富士山が見えていました。
    小春日和の暖かい日差しが気持ちいい。
    しかし、積もった落ち葉に足が埋まりそうです。
    毎度毎度秋になるとつぶやいていますが、ストックを持ってくれば良かったー。

    今回も少し迷ったのですが、山の様子は大体把握していますので、多分大丈夫、いつもいつもストックに頼っていたらそれがなくては歩けなくなるからと、置いてきてしまいました。
    両側からV字にえぐれた登山道に落ち葉のつもった下り坂は、しかし、ストックが必要でした。
    足許をさぐりながら、そろそろと通過。

    急な下りと平坦な道とが繰り返され、少しずつ高度を下げていきます。
    記憶よりも長い道だなあと感じながら歩いていると、だんだん道が湿ってきました。
    両側の山に挟まれ、終日陽が差さない麓に、2年前は大量の積雪がありました。
    今回は雪こそないものの、ぬかるんだ道を気をつけて降りていき、細い舗装道路へ。
    この農道も真冬は凍結して歩きにくいところですが、今回は乾いた歩きやすい道でした。

    細い道から車道へ。
    篠原バス停。11:45。
    バス停は駐車場にもなっていて、観光バスが1台停まっていました。
    私の姿を見ると、運転手さんがバスから降りてきました。
    あの団体さんのバスなのかな?

    やがて、車道から細い道が右に別れます。
    道の左側に道しるべがあるので少しわかりにくいところです。
    石砂山へは右の道を行きます。
    しばらく民家が続き、左に農地や沢などを見ながら歩いていくと、右にトイレ。
    ギフチョウに関する大きな看板もありました。

    ギフチョウは、4月から5月に見られる蝶。
    昔は丹沢あたりでも多く見られたそうですが、現在は、見られる場所は限られています。
    石砂山は、そのギフチョウの山です。
    カンアオイに卵を産み付け、カンアオイの葉を食べて育ち、スミレの密を吸う蝶。
    何だか聞くだけで贅沢な印象の蝶ですが、写真で見ると毛がフサフサで、多分、私は苦手なタイプの蝶です。
    もし家の中に入ってきたら大騒ぎするかもしれません。
    でも、とても貴重な蝶らしいです。

    細い道の左手、小さな橋を渡ったところが石砂山の登山口です。
    5月から11月はヤマビルの季節で、忌避剤が登山口においてありました。
    一度雪も降りましたし、今年はもう大丈夫でしょう。
    湿った印象の登山口ですが、道はすぐにゆるく、そして明るくなりました。
    尾根はときどき痩せていますが、奥高尾にもこの程度の痩せ尾根はありますから特に危険はありません。
    むしろ、崖っぷちの道のほうが、落ち葉が積もっているだけ怖かったです。
    山頂が近くなると、長い木段の道が始まりました。
    山の上のほうは、まだ紅葉が残っていました。
    ときどき足を止めて紅葉の写真を撮りながら、ゆっくり登っていきました。
    いったん尽きたように見えた階段がもう一度始まって、ようやく山頂。12:10。

    石砂山からは丹沢の山々がよく見えます。
    ベンチに座って眺めると、自分の背が低くなることもあり、丹沢の山は壁のようにそびえています。
    ここで昼食。
    誰もいない山。
    山の日制定を祝う幕が木にくくりつけられているのが、むしろ寂しい印象です。
    枯葉の置ちるカサコソという音が誰かの足音に聞こえ、しかし、振り返ると誰もいない。
    熊だったら大変なので、それでも振り返らずにいられません。
    いつ来ても誰もいない山だけれど、ギフチョウの季節にはここが大混雑するのかなあ。
    今度、その季節に来てみようかなあ。

    さて下山。
    来た道とは反対方向の登山道を降りていきます。
    山頂直下は階段が整備され歩きやすい道でした。
    階段が尽きると、斜面に無理につけられたような細い登山道です。
    普段は砂地で、道が斜めなこともあって滑りやすく怖い道です。
    落ち葉が砂のすべり止めになって、今回は何だかむしろ歩きやすいようでした。
    それでも注意して通過。
    あとはあまり急な坂もなく、淡々と降りていくことができました。

    伏馬田分岐からは少し登り返します。
    2年前はここの崖っぷちの道に積雪があり、怖かった記憶があります。
    今回歩いても崖っぷちの道は細く、ここに雪が載っているところを歩いたのか、大丈夫か自分、と思いました。
    歩かなければ下山できないので、あのときは必死でしたね。
    山側の足はまっすぐに、崖側の足は少し開いて。
    今回も、雪山をトラバースするときの歩き方でそろそろと通過。
    石砂山は、この歩き方をする箇所が多かったです。

    前回、V字に折れていた橋は、立派なものに架け替えられていました。
    その橋を渡ると、すぐに道は芝生に変わり、舗装道路に自然に通じていました。
    そのまま道なりに歩いていき、菅井集落を通って、三叉路へ。
    左の登り道を少し歩くと、菅井下バス停。13:35。
    そのまま直進し、トンネルの少し手前を道しるべに従い右折。
    登山道というには広い、舗装された道を登っていきます。
    どんどん登っていくと道の舗装はなくなりますが、それでも四駆なら走れそうな広い道が続きます。
    左手には丹沢の山々。
    もう日が傾いてきているので、うす水色の大きなシルエットが見えていました。
    やがて黒いベンチが1つ現れ、そこが青根との分岐。
    道しるべに従い、右の細い道に入っていきました。
    ここも道が細く、トラバースの歩き方でしばらく行くと、送電線鉄塔。
    少し心細くなるほど両側がひらけて、奥深い山にいるような風景でした。
    さらに直進し、ゆるい登り下りを繰り返します。
    網子への分岐が2か所。
    続いて、小舟への分岐。
    全て見送って直進します。
    その先、道は2又に別れていました。
    1つはまき道。
    1つは尾根道。
    道しるべでは、どちらも峰山に行くようです。
    尾根道のほうが距離が短い表示が出ていたので、そちらへ。
    尾根の向こう側にいったん回り、その先は階段道が始まりました。
    よく整備された階段です。
    木のような見た目だけれど木ではない材質のものでしっかり土留めされた階段道です。
    これが延々と続きました。

    ついに峰山山頂。14:30。
    一番上の画像は峰山山頂で撮影したものです。
    目を凝らすとうっすらと富士山も見ることができました。

    さて、最後の下山です。
    まずは緩やかな坂を下っていきます。
    じきに大鐘との分岐。
    ここは右の大久保を目指します。
    そこからは、落ち葉の積もった急な下りでした。
    立って降りられるかどうかギリギリな傾斜が延々続きました。
    ストックがあればなあ。
    ときどきしゃがみこんで通過。
    普段はここはザレているところらしいです。
    砂地の急坂も嫌いだから、落ち葉が積もっていてまだ歩きやすかったのかもしれません。

    傾斜が緩くなり、ほっとひと息。
    その先も、ホウバの大きな葉がつもっている崖っぷちの細い道など、あまり好ましくない道はまだありましたが、そこを通過すると道は歩きやすくなり、ぽんと舗装道路に出ました。
    道なりに歩いていくとすぐに県道に。
    左に曲がるとすぐ「やまなみ温泉」の看板が見えました。15:20。

    さて、やまなみ温泉で汗を流します。
    道路の向かい側に渡り、坂道を上がっていくと駐車場。
    その奥が建物です。
    3時間700円。
    自動販売機でチケットを購入。
    受付に出すと、このままお持ちくださいと言われました。
    下駄箱の鍵も個人で保管。
    脱衣所のロッカーは自分で好きものを選ぶシステムでした。
    ロッカーの鍵はかかります。無料です。
    温泉によってこのシステムは色々ですね。

    洗い場は10個ほどあり、空いていました。
    シャワーのお湯の出も良好。
    露天は1つ。
    露天からは芝生が見え、その先はおそらく崖になっているのだと思われます。
    かなり開放感のある露天でした。
    内湯は普通の湯と泡湯。
    サウナもありました。
    今日はよく歩いたから、温泉が嬉しい。

    受付のすぐ前が食堂兼休憩所です。
    食べ物の持ち込みはできませんが、自販機もそこにあるので、誰でも座布団に座ってのんびりできるようです。
    発泡酒。500mL、250円。
    ノンアルコールビールも置いてありました。
    時間を見て、バス停へ。
    定刻通り、16:17に藤野駅行きのバスがやってきました。

      


  • Posted by セギ at 13:43Comments(0)

    2016年12月01日

    中学三年・高校数A 円に関する問題。



    中学3年生の「円」の学習は、ゆとり教育の時代にほとんどの内容が削られ、その後、新課程になってもあまり復活せず現在にいたります。
    公立中学では、入試に向けてスケジュールが押している学校も多く、「円周角と中心角」の学習だけでほぼ終わることもあり、「円」をあまり難しいと感じない子が増えてきました。
    以前は中学3年生で学習するものだった「円」の内容のほとんどは、現在、高校1年生が学習する数Aに移されています。
    しかし、「円」をきっちり学習する時間があるかというと、数Aは数Ⅰと比べて授業数が少ないこともあり、「円」を含む幾何の学習は割愛されてしまうことがあります。
    夏休みの宿題として自習しておくこと、夏休み明けの課題テストの範囲です、という高校もあります。
    一方、国公立・私立中学では、「円」の学習は旧課程のまま、中2または中3で現在の数Aの内容全てをきっちり学習するところが多いです。
    円周角と中心角。
    三角形の五心。
    接弦定理。
    方べきの定理。
    ・・・・などです。

    どちらが良いのかはわからないですが、数Ⅰ「三角比」の学習の最後、平面図形や空間図形の求積の問題で、三角錐に内接する球の半径を求める典型題を解説すると、全く話が通じないことがあります。
    「この三角錐の底面は正三角形でしょう?正三角形は内心と重心が一致するから、重心からここの線分の長さを求めることができるんですよ」
    「はあ?」
    「正三角形は、内心と重心が一致するんですよ。外心もですよ」
    「そうなんですか?」
    「・・・・重心って何だかわかりますか?」
    「・・・・多分、わからないです」
    「勉強していないんですかね?」
    「・・・・わかりません」
    これは、この状態でいいのかなあ?

    例えば、「五心」。
    三角形の外接円の中心が外心。
    三角形の内接円の中心が内心。
    三角形の各頂点から対辺の中点に引いた直線の交点が重心。
    三角形の各頂点から対辺に引いた垂線の交点が垂心。
    三角形の1つの内角の二等分線と他の2つの外角の二等分線の交点が傍心。
    これらを合わせて、三角形の「五心」と言います。

    「五心がわからない」
    と慌てたように教室に入ってきて訴える私立中学の生徒もいますが、よくよく話を聞くと傍心がわからないだけだったりします。
    傍心なんか定義だけわかっておけば大丈夫ですよ。
    それより、外心や内心、重心に関する典型題は解けますか?
    大切なのはそれです。
    テストに出るのもそれです。

    以前、うちの塾に通う中3の生徒が、五心の個々の名称を答えるだけの問題が定期テストに出たときに、初めは正答を書いたのに、自分の答案を見ているうちに不安になって書き直して全て間違えてしまったことがありました。
    「外心」という自分の文字を見ていたら、円の中心は「点」なのに「心」というのはおかしいのではないかと思い始めたそうなのです。
    そして、全て「外点」「内点」と書き直してしまいました。
    うーむ・・・・。
    知識のゲシュタルト崩壊でも起きたのでしょうか。

    「・・・・中心なんだから、心という字を使うことに何も問題はないと思いますよ。外点なんて言葉に聞き覚えがありますか?」
    「・・・・ありません」
    答案を見ながらのこんな会話もむなしく、後の祭りでした。
    各2点の問題で、これで10点失ったので私の脱力感も大きかったですが、子どもを教えているとこういうことは避けられません。
    相手は機械ではないので、指示した通りの正確な再生はできないこともあります。
    テストになると睡眠時間を削って勉強し、テスト中にふっと睡魔に襲われる子もいます。
    悪い成績を取った経験が尾をひき、テストに対して恐怖心があり、テスト中にパニックが起きているのではないかと想像される子もいます。
    正常な判断ができなくなっています。

    外心は、三角形の各辺の垂直二等分線の交点です。
    各辺の垂直二等分線は3本あります。
    その3本が1点で交わっている。
    これは、凄いことです。
    最初から3本の直線を1点で交わらせようとして描いているわけではありません。
    個々に引いた3本の直線が、必ず1点で交わるんです。

    内心は、三角形の3つの内角の二等分線の交点。
    これも3本あるのに、1点で交わります。
    重心も、垂心も、傍心も、3本の直線が1点で交わっています。

    何て美しいのだろう。
    この美しさは、この世界の美しさである。
    この世界の成り立ちの美しさである。
    古代の学者は、そのように感動したのかもしれません。

    そういう観点で見たとき、「円」はロマンに満ちています。
    幾何は、ロマンあふれる魅力的な分野です。
    嫌いだ、苦手だ、ではなく、少しでも楽しんで学習してくれると良いなあ。
      


  • Posted by セギ at 12:05Comments(0)算数・数学

    2016年11月28日

    12月10日(土)、大人のための数学教室を開きます。


    11月26日(土)、大人のための数学教室を開きました。
    「不定方程式」の続きです。
    今回は、文字が3つある、3元1次不定方程式の解き方。
    まずは連立型。
    式が2本ある場合です。

    問題 連立方程式 
    7x+5y+2z=37・・・➀
    2x-y+z=13・・・②
    の整数解を全て求めよ。

    不定方程式の基礎が身についたら、この解き方は自力で発見することもできそうです。
    zを消去した式をまず1本作ったら良いですよね。
    どうしたら消去できるか?
    zの係数を揃えて、足したり引いたりすれば消えます。
    ➀-②×2をすると。
      7x+5y+2z=37
    -)4x-2y+2z=26
      3x+7y   =11 ・・・➂

    ここから xとyの解を求めるまでは、今まで学習した不定方程式の解き方と同じです。
    暗算で、xとyの整数解の1つを求めます。
    例えば、(x, y)=(-1, 2)がそうですね。

    この暗算が上手くいかないという悩みをもつ高校生もいます。
    見つけられないと言うのです。
    上の式で言えば、3xと7yの和が11という正の数になるということは、xとyのどちらかが負の数だということにまず気づくこと。
    あとは、係数の大きいyのほうに、1、2と入れていって辻褄が合うかどうかを検討するのが手っ取り早いです。
    7と3の差が4で、11と7の差が4であることから、xの係数とyの係数の絶対値の差は1であることは判断できるのですが、そんなことをいちいち考えるのは逆に面倒くさい気もします。

    さて、xとyの整数解の1つが見つかりましたので、
    3・(-1)+7・2=11・・・④
    ➂-④をすると、
    3(x+1)+7(y-2)=0
    移項して、
    3(x+1)=-7(y-2)
    3と7は互いに素だから、
    x+1=7k (kは整数) ・・・➄
    ➄を➂に代入して計算すると、
    y=3k+2
    よって、x=7k-1
         y=3k+2 (Kは整数)

    xとyの解がわかったら、それを与式のどちらかに代入すればzも求めることができます。
    今回は➁の式が求めやすそうなので➁に代入しますが、➀に代入しても同じ答えが出ますし、そのことで考えこんでしまう必要はありません。
    ぱっと見てどちらが解きやすいか判断がつかないのは、それはどちらでも本人にとって同じ労力だからだろうと思います。
    負の数になると符号ミスをしやすい高校生の場合は、むしろ➀に代入したほうが正解の可能性が高まるかもしれません。

    計算の工夫は、そうしなければならないというものではありません。
    ただ、この時期、高校生に「三角比」「三角関数」を教えていて感じるのですが、計算が苦手な子ほど計算ミスをしやすそうな計算方法で計算してしまいます。

    例えば、余弦定理の利用の問題で、下のような式を立てるところまではできるのです。
    49=(x-1)2+25-2(x-1)・5・(-1/2)
    式の後ろのほう、-2(x-1)・5・(-1/2) はごちゃごちゃしているように見えますが、ここは全てかけ算の連なりですから、どこからかけても結果は同じです。
    -2と-1/2を先にかけてしまえば、ここは1です。
    だから、5(x-1)=5x-5 と簡単に整理できます。
    しかし、計算が苦手な子ほど、前から順番にかけていきます。
    -2(x-1)・5・(-1/2)
    =(-2x+2)・5・(-1/2)
    =(-10x+10)・(-1/2)
    =5x-5
    見ていて、「うわあ・・・・」とつぶやいてしまう危険な計算過程です。
    そして、途中のどこかで符号ミスやかけ算を忘れたミス、( )をつけ忘れて項がかけ算の連なりから外れてしまうミスなどが起きて、ほとんどの場合、誤答してしまいます。
    ( )をいちいち開いたら面倒くさくなるよ、そこは最後にしなさいと助言するのですが、そういうのは問題を解いているときには気づかないと本人は言います。
    交換法則や分配法則。
    そういう計算上の法則がきちんと定着していないのかもしれません。
    言われればわかるけれど、使いこなせない。
    これを「自分がわかる解き方で解きなさい」とほおっておくことはできません。
    計算ミスをしやすい子が、計算ミスをしやすい方法で計算したら、ほぼ確実に計算ミスをします。
    これはさすがに止めます。

    計算の工夫というのは、簡単に解くための工夫です。
    簡単に解くということは、ミスしにくくなるということです。
    ミスの出方が同じ頻度であるのなら、どんな解き方でも構わないのです。

    さて、不定方程式に話を戻しまして。

    x=7k-1 , y=3k+2 を 2x-y+z=13 に代入します。
    2(7k-1)-(-3k+2)+z=13
    14k-2+3k-2+z=13
    17k-4+z=13
          z=-17k+4+13
          z=-17k+17
    よって、
    x=7k-1
    y=-3k+2
    z=-17+17 (kは整数)

    これが3元1次不定方程式の解です。
    ヽ(^。^)ノ

    さて、次回の大人のための数学教室は、12月10日(土)です。
    これが年内最後の授業となります。

    ◎日時  12月10日(土)10:00~11:30
    ◎内容  数A「整数の性質」の学習を続けます。p106の問題10について質問を受けるところから授業開始です。
    ◎場所  セギ英数教室
           三鷹市下連雀3-33-13
             三鷹第二ビル 305
           春の湯さんの斜め前のビルです。
    ◎用具   ノート・筆記用具
    ◎参加費 2,000円
           当日集めさせていただきます。
    ◎予約  私の携帯メールかラインあてに、ご予約をお願いいたします。







      


  • Posted by セギ at 13:29Comments(0)大人のための講座

    2016年11月24日

    三角形の線分の比と面積の比。





    さて、今回は、中学三年生の数学「相似」という単元の中の「三角形の線分の比と面積の比」の話。

    例題 上の図で、AD:DB=2:3、BE:EC=4:1である。△BDEの面積は△ABCの面積の何倍であるか答えなさい。

    この問題には何通りかの解き方がありますが、どれも、高さが等しい三角形は面積の比と底辺の比が一致するという考え方を利用します。
    そのことがまず理解できるかどうかが鍵です。

    上の図で、高さの等しい三角形は、例えば△ADEと△BDEです。
    底辺が同じ直線上にあり、残る頂点が一致していれば、その2つの三角形の高さは等しいです。
    図形の学習の難しさは、このことが理解できない子が少なからず存在するというところにあります。
    2本の平行線の間に三角形を2つ描いて、この2つの三角形は高さが等しいねと説明してあければ理解できる子も、こうした図の中で高さの等しい三角形を自力で発見することができないこともあるのです。
    「三角形の高さ」というものへの認識が漠然としていて、小学生の頃から底辺と斜めの位置の辺の長さも高さとして利用して面積を求める式を立ててしまう子は、上の図の三角形のどこが高さなのか把握できないようです。
    あるいは、三角形が少し斜めになっていたり逆さになっていたりするだけで見えにくくなってしまう子も多いでしょう。

    図形把握力の弱さは、小学生の頃から表れています。
    正方形が斜めになっているだけで正方形に見えなくなる子。
    図形の向きによって、直角三角形と二等辺三角形の識別ができない子。
    三角形の高さをその三角形の外側の位置にしか示せないような形の三角形のときに、高さを把握できない子。
    「では、どうしたら良いのでしょうか」
    と保護者の方から相談されることがあるのですが、弱点というのはそんなに簡単には克服できません。
    問題ごとに「この三角形とこの三角形が高さが等しいのですよ」とマーカーでなぞり、このように見えるものなのだということを教え込んでいくしか方法はないと思います。
    知力がイメージ力を補っていくのを期待しましょう。
    時間は相当かかると思います。

    さて、一応、高さの等しい三角形は把握できるのだとして。
    その先、この問題をどう解いていくかです。

    私立中学を受験した子たちにとっては、この問題は学習済みの内容です。

    教える場合も、正直に言えば、中学受験経験者に対するほうが相似は教えやすいです。
    基本は理解できていますので、実際に解いてもらい、本人の習熟度を判断しながら、本人にわかる解き方で教えていきます。
    同じ中学受験生といっても「相似」という単元に関しては習熟度に大差がありますので、理解できるレベルも個人差が大きいです。

    まず最も基礎的な中学受験算数の解き方としては。
    三角形の高さが等しいならば、底辺の比と面積の比は等しいから、
    △ADE:△BDE=2:3
    この2つを合体させた△ABEを➄とする。
    同様に、
    △ABE:△ACE=4:1
    ➄が4にあたるのだから、それを20と置き換えると、
    △ABEは、20。△ACEは、5。
    △BDEは、12。
    △ABCは、25。
    よって、△BDEは△ABCの12/25倍。

    受験算数にもう少し習熟している子は、別の解き方をします。
    △DBEと△ABCで。
    底辺の比は、4:5。
    高さの比は、3:5。
    よって、面積の比は、12:25。
    答え 12/25倍。
    (底辺の比)×(高さの比)=(面積の比)
    という「比の積」の考え方が身についている子には、これで話が通じます。
    上の図に一応入れた補助線AEも必要としません。
    ただ、底辺の比の4:5はともかく、高さの比が3:5であることは理解できない子が多いです。
    式そのものは簡単なのですが、自力で使えるかどうかは個人差が大きい解き方です。
    説明を聞けば理解できるのだとしても、試験中に自力で使えなければどんなテクニックも意味がありません。
    「比の積」「比の商」は、中学受験生の中でもかなり受験算数に習熟した子でないと定着していない内容です。
    多少もたついても、一番上の解き方のほうが理解できる子が多いのです。

    一方、中学受験を経験していない子たちは、この問題をどう解くのがベストかというと。
    一番上の解き方は、最小公倍数で揃えることを必要としない問題ならば良いのですが、今回のように「20に揃える」といった要素が出てくると、あまり定着しません。
    〇や△を使って問題を解くことに慣れていないので、作業自体がもたつきますし、〇と△を使い分けることをせず混乱してしまう子がほとんどです。

    そこで、分数を使ったきっちりした式で説明することになります。
    慣れるとこちらのほうがわかりやすい面もあります。
    これは、大きい三角形のほうから分割するように考えていったほうがわかりやすいです。
    まず△ABEは、△ABCを4:1に分けた4つ分のほうですから、
    △ABE=△ABC×4/5
    また、△BDEは、△ABEを3:2に分けた3つ分のほうですから、
    △BDE=△ABE×3/5
         =△ABC×4/5×3/5
         =△ABC×12/25
    よって、△BDEは、△ABCの12/25倍。

    ものの考え方がシャープな子に対しては、2番目の(底辺の比)×(高さの比)=(面積の比)の意味とその考え方を一度きっちり教えます。
    これは公式として覚えなさい、この形の問題を見たら必ずこれで解きなさいと指示します。
    「裏ワザ」的なことが好きな男子生徒は定着率が高いです。


    同じ問題を解くときに、上のような問題は、中学受験の経験者にとっては解き慣れた基本問題ですが、中学で初めて学ぶ子にとっては初めて挑戦する内容だというのは大きな違いです。
    この差は埋まらないことが多いです。
    経験値が違い過ぎます。
    毎日放課後遊べるはずの楽しい小学校時代の数年を受験勉強に注ぎ込むというのは、そういうことです。
    何かを失ったかもしれない。
    でも、得たものも大きい。
    そういうことだと思うのです。

    一番難しいのは、受験算数を勉強したけれど結局マスターできなかった子。
    〇や△の記号を使おうとするけれど記号の使い分けをせず、無関係な比を同じものと誤解して使用し誤答してしまいます。
    曖昧に身につけた技術がアダとなっている印象です。
    他の解き方を教えても、逆に混乱する様子であまり定着しません。
    何を解いても、何度解いても、間違える。
    気持ちも滅入ってきます。

    受験算数で挫折感を深めてしまうと、メンタルの問題としては、数学嫌いをこじらせてしまうことがあります。
    世間一般のレベルから言えば、そんなに数学ができないわけではないのに、本人はそう思っていません。
    苦手意識から、勉強が後回しになり、やがて本当に苦手になっていきます。

    公立小学校・中学校の算数・数学しか知らず、自分は数学はよく出来ると自信を持っているほうが幸せかもしれない、とも感じます。
    自分は数学は得意だ、数学は好きだ、という信念で、コツコツ勉強していったほうが、高校数学がよく身につく場合もあります。

    その子にあった道がある。
    どの道にも良い可能性はある。
    そう思います。
      


  • Posted by セギ at 13:14Comments(0)算数・数学

    2016年11月21日

    紅葉の高尾山から南高尾を縦走しました。2016年11月。


    2016年11月20日(日)、高尾山の紅葉が見頃になったと聞き、行ってきました。
    しかし、紅葉の時期の高尾山は混雑必至。
    1号路さえ大渋滞が起こることがあります。
    朝早いうちに高尾山を歩き、そこから離れていくコースをとりましょう。

    いつもより早めに出発し、高尾山口到着。7:58。
    ケーブルカーの始発は8:00。
    すでに長い行列ができているのを横目に、6号路の琵琶滝コースへ。
    こちらへ歩いていく人もたくさんいて、登山口付近は長い列になっていました。
    春から夏にこの状態だと追い抜くのは大変です。
    でも、今の季節は、厚着で出発し、途中で立ち止まり上着を脱ぐ人が多いです。
    歩いていくうちに前方に人はいなくなりました。
    沢の中を飛び石で歩くところはさすがに少し渋滞。
    その先の長い木段は、皆さん1列で登っていられて、自分のペースで追い抜いていくことができました。
    なんだか、むしろいつもより早いペースで、高尾山頂。9:00。

    大見晴台からは、雪をかぶった富士山がくっきり見えました。
    丹沢の山々は青紫色。
    手前の山々は紅葉。

    さて高尾の紅葉はと言うと、今年は秋に暑すぎたり寒すぎたりと妙な天候が続いたせいか、紅葉する前に黒い斑点が出てしまった葉や枯れた葉が多く、飛びぬけて素晴らしい年とは言えないように思います。
    でも、朝の光は良いですね。
    充分きれいに見えました。
    上の画像が高尾山の紅葉です。

    さて、ここから、まずは小仏城山へ。
    高尾山から奥高尾方面へと降りていく緩い道、そして階段を降り切ってその先少し登った紅葉台は、名前の通り紅葉の名所。
    茶店は朝から行列の出来る大繁盛。
    ベンチも人でいっぱいでした。
    ここからの富士山もきれいでした。

    木段は昨日の雨で泥んこで足元注意なのですが、その途中にも紅葉は随所にあり、見上げたり足元を見たり、立ち止まっては写真に撮ったりして、なかなか先に進めません。
    一丁平まで来ると空いているベンチもあり、ようやく休憩。9:40。
    ここも紅葉の名所です。
    その先の展望台からも富士山。
    ここは近景に高い木がないので、丹沢と富士山の眺めが爽快でした。

    いったん下ってまた登っていくと、小仏城山。10:00。
    ここから富士山を見るのは久しぶりです。

    ちょっと長めの休憩を取った後、来た道を少し戻って、分岐から南高尾へ。
    今日はトレイルランナーの人はほとんど登ってこないなあ。
    高尾の大混雑が予想されるこんな日は別の場所を走るのでしょうか。
    喧騒からふいに静かになった山道の急坂を下っていきました。
    斜面を巻く細い道が終わると、ジグザグに下っていき、浅い沢沿いの道へ。
    そこから急な坂を鉄柵に頼って降りていくと甲州街道。
    歩道橋を渡るとそのまま南高尾の登山道につながります。
    樹間から甲州街道が見えるのに案外道は細く、用心して歩いていくと上り坂が始まります。
    登ったり緩くなったりを繰り返し、植林帯のベンチ前を通ってしばらく行くと、大洞山。11:30。
    1パーティが賑やかに昼食を調理中。
    ここは素通りして、少し先の登山道からちょっと外れた小高いベンチで休憩しました。


    南高尾は、明るい雑木林の道。
    赤や黄色に色づいた葉から透ける光で、道はいつもよりさらに明るく照らされています。
    足元は、茶色の枯葉が積もった上に、まだ鮮やかな赤や黄色い葉が落ちていました。
    紅葉の色の強さは高尾主脈のほうが勝っていますが、南高尾の紅葉の道はしみじみとしています。

    前方から近づいてきている初老の男性が、胸ポケットから何か取り出したのが見えました。
    スマホケースかなと思ったら、手帳。
    「落ち葉を拾っているんだよ。いたずらで」
    手帳を開いて見せてくれたのは、うす茶色や黄色のきれいな落ち葉でした。
    私は来た道を指さし、
    「ここから先、赤い落ち葉もありましたよ」
    「あった?」
    「はい」
    にこにこ笑って別れました。

    中沢山のまき道は少し細い。
    でも道はすぐに歩きやすい緩い道になります。
    見晴台。12:10。
    横並びの1つに座り、景色を眺めながら昼食をとりました。
    雲が出て富士山はもう隠れていましたが、秋の津久井湖と丹沢の眺めは晴れ晴れとしています。

    さて出発。
    まき道が延々と続きますし、道自体は細いのですが、怖いと感じることはほとんどありません。
    斜面の傾斜が緩いのと、高尾の森の印象のせいでしょうか。
    木が高く、紅葉も遠いところにありますが、変わらず道は明るいです。
    反対回りに歩いてくる人が今日は多いなあ。
    高尾山が大混雑のときは、静かな南高尾も少し人が増える印象です。

    三沢峠。13:05。
    ベンチで休憩。
    道が4本に別れるところで、どの道を行くか看板の地図を眺めて考えこんでいる人も。
    地図の位置からは「高尾山口」の道しるべが見えにくいのが立ち止まってしまう原因でしょうか。
    実際に分岐の中央に立てば、「高尾山口」の道しるべが見えます。
    さて出発。
    立ち止まっている人が振り返って私を目で追っているのがわかりました。
    この人も高尾山口に下山したいのかな。
    緩い上り坂が高尾山口への道です。
    振り返ると、先ほどの人が少し離れて後ろをついてきていました。

    段差の大きい階段をいくつか下っていき、最後に急坂を登ると、草戸山。13:35。
    ここでもベンチで休憩。
    さすがに少し疲れてきました。
    でも、3時頃には下山できそうです。

    草戸山からは左に折れるように道を下っていきます。
    植林帯の暗い道はすぐに終わり、再び明るい雑木林が始まります。
    登り返すと、草戸峠。
    ここもベンチが並んでいます。
    高尾の尾根がよく見えました。

    ここからは登ったり下ったりの繰り返し。
    距離は短いのですが思いがけず急な登りもあります。
    高尾山口はもう近いのに山深い味わいがあります。
    何度来ても好きな道です。
    登り切った小さなピークのベンチに3人パーティ。
    「お姉さん、見てみて。ツツジ」
    手招きされてみると、本当にツツジが咲いていました。
    「あ。何でこんな季節に」
    「ねえ?」
    天候不順は植物に負担をかけますね。

    落ち葉を踏みしめ、四辻まで来ると、下山口まであと15分。
    湿った急坂を用心して降りていくと、民家の脇からポンと舗装道路に出ます。
    そこからは高尾山の交差点までは1分です。
    下山。15:00。
    道路の向こう側は、予想通り観光客で混雑していました。

      


  • Posted by セギ at 13:48Comments(0)

    2016年11月18日

    冬期講習のお知らせ。2016年。


    2016年度冬期講習のご案内です。
    詳細は、11月末に書面で郵送いたします。
    お申込み受付は、12月1日(木)からとなります。
    申込書またはメールでお申込みください。
    なお、この期間、通常授業はありませんので、いつもの時間帯の授業を希望される方も改めてお申込みください。
    外部生の受講は承っておりません。大変申し訳ありません。

    以下は、冬期講習募集要項です。
    ◎期日
    12月26日(月)~12月30日(金) 
    1月4日(水)~1月9日(月)
    今回、1月8日(日)も授業日となります。
    ◎時間帯
    10:00~11:30 , 11:40~13:10 , 13:20~14:50 , 15:00~16:30 , 16:40~18:10 , 18:20~19:50 , 20:00~21:30
    ◎費用
    1コマ90分4,000円×受講回数
    ◎指導科目
    小学生 一般算数・受験算数・英語
    中学生 数学・英語
    高校生 数学・英語

    ◎空きコマ状況 12月26日更新
    12月29日(木)
    16:40~18:10
    12月30日(金)
    20:00~21:30
    1月4日(水)
    18:20~19:50 , 20:00~21:30

    1月6日(金)
    20:00~21:30
    1月7日(土)
    20:00~21:30
    1月8日(日)
    20:00~21:30
    1月9日(月)
    20:00~21:30

      


  • Posted by セギ at 11:34Comments(0)大人のための講座

    2016年11月17日

    中学数学 図形の証明問題。



    さて、今回は証明問題のお話です。
    証明問題が苦手という子は多いです。
    たいていは三角形の合同か相似を証明する易しい証明問題なのですが、生徒の答案を見ると、世の中には証明を書くことに向いていない人がいるのかもしれないと思うほどに、何だかよくわからない答案になっていることがあります。

    証明には、作法があります。
    読む側はその作法で読みますので、書く側もその作法で書く必要があります。
    その作法で書いていない証明は、
    「え?」
    「何で?」
    と読む側は思ってしまいます。
    読む側にそう思われないように作法を守って書けば良いのです。


    最もシンプルな三角形の合同の証明問題の答案の例として、例えばこのようなものが考えられます。

    △ABCと△DCBにおいて
    仮定より
    AB=DC
    ∠ABC=∠DCB
    共通な辺なので
    BC=CB
    2組の辺とその間の角がそれぞれ等しいので
    △ABC≡△DCB

    この程度の易しい証明問題も、書き間違える子は、この1題の中で2か所、3か所と間違えてしまいます。
    AB=DC
    と、対応する頂点を揃えて書かなければならないのに、
    AB=CD
    と書いてしまう。
    ∠ABC=∠CDB
    と書き間違えて、全然違う角を示してしまう。
    同じ角を示しているのであっても、
    ∠DCB=∠ABC
    と、示した角と、最初に提示した三角形の順番が逆になってしまう。

    しかも、自己採点ではそれに〇をつけてきたりするので、私が見直して×をつけることも多いです。
    本人は正解だと思い込んでいます。
    「え。ちゃんと書きましたよ」
    と主張するので、どこが間違っているかを説明する必要があります。

    書き間違いがあまりにも多いので、
    「これは、0点ですね」
    と言っても、
    「え?少し減点くらいでしょう?」
    と気楽に構えている子もいます。
    大体できているんだから大丈夫と思うようです。
    精度に対する意識が低い、ということなのでしょう。
    結果、テストで得点できず、落胆するのは本人です。

    証明というのは相手を説得するために書くものです。
    順番がぐちゃぐちゃで通用するわけがありません。
    自分が書くときには順番がぐちゃぐちゃな子に、私が同じように順番がぐちゃぐちゃな説明をして理解できるかといったら、おそらくできないでしょう。
    私がうっかり言い間違えたり書き間違えたりしたら、生徒はそこで詰まって理解できなくなっ
    てしまいます。
    だから、同じように自分も順番を守って正確に説明しなければならない。
    そう自覚するだけで、証明のどこに気をつけなければならないかわかってくると思います。

    また、根拠を示すことの重要性に対する認識が必要です。
    根拠を示さなければ誰も納得しません。
    何の定理を使ったのか。
    どこに根拠があってそれが言えるのか。
    それを明示しなければ読む人は理解してくれません。
    読む側の立場にたってわかるように書くのが証明の答案です。

    どこに注意を払い、何をどう書いていけば良いのか。
    そのコツさえつかめれば、証明問題は型通りに書いていくだけのものなので、典型題に関してはむしろ得点源とすることが可能です。

    こうした易しい典型題の証明問題なら解けるけれど、もう少し難しい問題が発想できないという人もいます。
    これも人によって様ざまな課題があります。
    まず、考える時間が異様に短い子。
    問題を読んでから「わからない」と言うまで1分もかからないこともあります。
    ものをじっくり考えるという習慣がないようです。
    そういう子にとって、問題は、「ぱっと見てわかる問題」と「わからない問題」の2種類しかないのかもしれません。
    頭の回転自体は速い子にこういうタイプが多く、わかる問題だけ解いていればいい、自分がわからない問題は難しい応用問題だから解かなくていいという意識を持っていることもあり、改善には時間がかかります。
    ものをじっくり考える習慣のない子が考えるようになるには動機が必要です。
    多くは、高校入試を意識するようになってから必要に迫られてようやくそういう方向に気持ちが動き始めます。
    遅過ぎるようですが、何しろ頭の回転自体は速いので、中3の秋から大きく伸びることがあります。
    高校入学後は、身につけた考える力が良い結果を生むようになります。

    もっと不器用なタイプで、一所懸命考えているけれど証明問題が解けない子の場合は、その子に特有の盲点がある場合が多いです。
    例えば、線分で区切られると図形が見えなくなる子。
    区切られた最小の図形しか見えません。
    線分をまたいで大きく図形を把握することができないので、合同な三角形も相似な三角形もその子の視点では存在しないことになります。
    ものの見え方の癖のようなものなのでしょう。
    説明されても見えないのであればもう仕方がないのですが、大抵は知力でカバーできますから、どういう図形が本当は見えるものなのかを繰り返し把握することで少しずつ見えてくるようになります。

    あるいは、特定の定理が使用できない子。
    例えば中2で、
    「2角の等しい三角形は二等辺三角形である」
    という定理を使用できない子。
    あるいは中3で、
    「半円の弧の円周角は90°である」
    という定理を使用できない子は多いです。
    言われれば理解できる定理です。
    何度もそれに気づかないせいで問題が解けなかった経験があるにも関わらず、やはりその定理が使用できず、問題が解けません。
    その定理が使用できる状態で頭の中にない。
    そこが盲点になってしまっています。

    漠然と「応用問題が解けない」ではなく、どういう応用問題が解けなかったのか。
    その応用問題はどういう定理を使用する問題だったのかを自分で分析するようにすれば、傾向は見えてくるはずです。
    そうすれば、その定理は使用できるようになるでしょう。
    間違えた問題にバツをつけることすらやりたくないタイプの子にはこれは難しいことのようですが、正答できた問題よりも間違えた問題、解けなかった問題から多くのことが学べます。

      


  • Posted by セギ at 12:24Comments(0)算数・数学

    2016年11月15日

    11月26日(土)、大人のための数学教室を開きます。


    11月12日(土)、大人のための数学教室を開きました。
    「不定方程式」の学習の続きです。
    例えば、こんな問題。

    例 41x+17y=30 の整数解を求めよ。

    不定方程式を解くには、まずxyの整数解を1組見つける必要があります。
    しかし、このようにxyの係数が大きいと、さすがに暗算で見つけるのは難しくなります。
    そこで互除法を利用します。
    41÷17=2あまり7 →7=41-17・2
    17÷7=2あまり3  →3=17-7・2

    目標は、x、yの整数解を1組見つけること。
    すなわち、41◇+17△=30
    という形の式を1本作ることです。
    そこに向かって、数値を代入していきます。
    あまりが1になるまで計算しなくても、あまりが30の約数になるまで互除法をやれば、そこから変形していくことができます。
    3=17-7・2
     =17-(41-17・2)・2
     =17-41・2+17・4
     =41・(-2)+17・5
    この全体を10倍します。
    41・(-20)+17・50=30 ・・・・➁

    後はこれまでと同じなのでかなり省略して書きますから、この先の計算がよくわからない場合は、前回と前々回の「大人のための数学教室」のページをご参照ください。

    与式を➀として、➀-➁をすると。
    41(x+20)+17(y-50)=0
    移項して、
    41(x+20)=-17(y-50)
    41と17は互いに素だから。
    x+20=17k (kは整数)
    y-50=-41k
    よって、答えは、
    x=17k-20
    y=-41k+50 (kは整数)

    そのときはわかるけれど、時間が経つと、またわからなくなる。
    高校生も、不定方程式は、わかって、わからなくなって、またわかっての繰り返しです。
    作業手順だけ覚えようとすると、忘れるのも早いです。
    必ず計算の意味に戻れるようにしておきましょう。
    なぜ41と17が互いに素だと x+20=17k だと言えるのか。
    なぜ、x+20=17k とし、-17k としないのか。
    なぜ、y-50=-41k とするのか。
    ふっとわからなくなる質問を繰り返し受けながら、計算に没頭してもらった90分間でした。

    不定方程式の係数がさらに大きい場合の解法にも進みましたが、これは例題解説をしたのみで、演習は宿題にしました。
    また疑問百出と思います。
    次回はそこの復習からやっていきましょう。

    ◎日時  11月26日(土)10:00~11:30
    ◎内容  数A「整数の性質」の学習を続けます。p105から。
    ◎場所  セギ英数教室
           三鷹市下連雀3-33-13
             三鷹第二ビル 305
           春の湯さんの斜め前のビルです。
    ◎用具   ノート・筆記用具
    ◎参加費 2,000円
           当日集めさせていただきます。
    ◎予約  私の携帯メールかラインあてに、ご予約をお願いいたします。






      


  • Posted by セギ at 12:58Comments(0)大人のための講座

    2016年11月14日

    鶴寝山から大マティ山を歩いてきました。2016年11月。


    2016年11月13日(日)、鶴寝山と大マテイ山を歩いてきました。
    中央線上野原駅下車。8:25。
    先月、権現山を歩いたときに乗ったのと同じ松姫峠行きのバスに乗りました。
    前回もそうでしたが、バスの乗車口で待っている係員の方は、乗客に行き先を訊きます。
    バス会社の方ではなく、小菅村の職員の方なのかな?
    「どこに行くの?」
    「松姫峠まで行きます」
    「じゃあ、これ持っていって」
    と、小菅村登山ガイドと書いてあるパンフレットをいただきました。
    「温泉行く?小菅の湯」
    「行きます」
    「じゃあ、割引券あげよう」
    ポケットから取り出した、100円引きの割引券もいただきました。
    わーい。ヽ(^。^)ノ

    バスは満席。
    私の他に数人の高校生が立っていました。
    わいわいと賑やかにバスは出発です。8:30。

    市街地を抜けると、景色は途端に山深くなり、紅葉が目立ち始めました。
    今年は秋の天候不順があったから、紅葉は今ひとつかなあ。
    それでも、ときどきハッとするような赤いカエデの木があります。
    要害山の登山口で下りた人がいて、高校生たちは遠慮して座らないので、そこからは有難く一番前の座席に座らせてもらいました。
    広いフロントガラスから紅葉を堪能。
    ギリギリの道幅のところに入っていくバスにも感動。
    凄い運転技術だなあ。

    色々な山の登山口を通っていくバスで、登山口の度に乗客は1人2人と降りていきます。
    鶴峠バス停。9:35。
    ここで乗客の大半が下りていきました。
    中高年の10人ほどのパーティ。
    そして高校生の団体14人。
    顧問の先生が人数を申告し、一気に支払って降りていきました。
    そうかあ。
    やっぱりみんな奈良倉山から縦走するんだなあ。
    紅葉をゆっくり眺めたいし、温泉もゆっくり入りたいから、私は松姫峠からにしたのですが、奈良倉山とつないで歩く人のほうが多いのかもしれません。

    急にガランとしたバス。
    後ろを振り返っても、乗客は5~6人でした。
    次のバス停は小菅の湯。
    ここでも2人降りていき、心細さがつのります。
    運転者さんが、
    「帰りはここから乗られますか?」
    と問いかけるのに声も出ず、コクコクと首を振って応えると、
    「今、ロータリーが工事中なので、帰りのバスもここから出ます」
    私は再び、無言で首をカクカク。
    知らない山だし、奥深い山だし、今年は熊が多く出没しているし。
    だんだん緊張してきました。

    終点、松姫峠。10:15。
    バスの下車口から少し戻る位置にバイオトイレがありました。
    そのトイレの横が登山口です。
    「牛の寝 大菩薩峠登山口」と縦書きに書かれた渋い道しるべが立っていました。
    大菩薩峠まで縦走できる距離なのです。
    随分と遠くまで来たなあという気持ちになりました。

    熊鈴を腕につけてリンリン鳴らしながら出発。
    緩い登り坂の先、少し傾斜が急になったところで、親子連れが休憩していました。
    お父さんと小さい女の子です。
    「お父さんが下りるぞと言ったら、絶対すぐに山を下りるからね」
    はしゃぐ女の子にそう言い聞かせています。
    うん、大事なことだな。

    さらに行くと、若い女の子が1人、下りてきました。
    案外、人がいる。
    良かった。ヽ(^。^)ノ

    登山道は既に落ち葉がぎっしり積もって、その下に石や木の根が隠れています。
    ちょっと危ないかなと感じ、ストックを出しました。
    これで歩行は安定。
    傾斜の緩い山がさらに歩きやすく緩くなって、スタスタ歩いていけました。

    鶴寝山。10:45。
    あっという間に1つ目のピークに到達。
    ベンチが2つあり、山頂標識は新しいものでした。
    かなり観光的に整備されている印象です。
    朝もらったパンフレットにも載っているコースですし。

    少し行くと、道は2つに別れました。
    左は「日向みち」。
    右は「巨樹のみち」。
    どちらも惹かれるネーミングですが、巨樹の道を選択。
    落ち葉に登山道が隠れているから余計にそう感じるのでしょうが、道なき林の中を歩いているようでした。
    落ち葉の踏み跡は明瞭で、迷うことはないのですが。
    神様として祀られるほどの巨樹ではないのですが、そこそこ大きいなあと感じられる木がそこかしこに。
    これはブナかな。
    これはカエデだな。
    1本1本確かめながら歩いて行くと前方に2人の登山者を発見。
    一定の距離を取りながら、その2人の後をついていき、気がつくと道は崖っぷちを行くようになりました。
    あれ?
    後で地図を見直したところ、いつの間にか日向みちのほうに入ってしまっていたのです。
    右手の大きな尾根がどんどん高くなっていて、そのまき道を歩いている形です。

    失敗しましたー。((+_+))
    他の人に安易についていくから。
    自分で地図で確認すれば良かったのに。
    尾根道を歩く予定だったのになあ。
    そこは広い尾根道で、道迷いを起こしやすく、「大迷い」から「大マテイ山」と名付けられたという説もあるそうです。
    美しい森の広い尾根道、歩きたかったなあ。
    崖っぷちの道、好きじゃないのになあ。
    しかし、今さら戻るのもなあ。
    やってくる人がもしいたら、この道ですれ違うの怖いしなあ。
    というわけで、そのまままき道を行きました。
    崖っぷちの道は南面なので、日差しが明るく、紅葉が輝いています。
    今日一番の紅葉をそこで見ることができました。
    斜面に立つ木は寒暖差が大きく、紅葉もひときわ赤くなるのでしょうか。
    しかし、道幅が狭く怖いのでザックからスマホを出せません。
    写真には撮れなかったけれど、この紅葉を見られたから、この道でも良かったかな。

    途中、道しるべがあり、そこからジグザグに稜線へと上がっていく道がありました。
    上がりきると、すぐに大マテイ山の山頂。11:40。
    上の写真はそこで撮影したものです。
    山頂標識とベンチが2個ある他は、周囲は漠然と平らで、山頂というより林の中という印象でした。
    木が育って眺望はほとんどないですが、晩秋の林が味わい深い。
    いい山に来ました。
    ベンチに座って、のんびり昼食。

    さて、出発。
    緩く下っていくと、先ほどのまき道に再び合流する道もありましたが、道しるべにしたがって広めの道を下っていくと、大ダワ。12:10。
    大ダワとは開けた広場につけられる名称。
    棚倉小屋跡とも呼ばれるところで、確かに小屋がここにあったのだろうと感じられる平坦地でした。

    ここからは再び左が切れ落ちた崖っぷちの道が続きました。
    ここは他に選択肢はなしです。
    道幅はそこそこあり、そんなに危険なわけではないのですが、何となく緊張する道がずっと続きます。
    こういう道は苦手だー。
    落ち葉が積もっているのも滑りそうで何だか嫌です。
    途中に桟道もありました。
    しっかりした造りですし、注意すれば平気ですが、これも苦手です。

    しばらく行くと、道が2つに別れている印象の場所に出ました。
    左は今まで同様に下っていく崖っぷちの道。
    右は尾根に登っていく道。
    その真ん中の木にピンクのテープが巻かれ「小菅の湯」などの行先が書いてありますが、どちらを示しているピンクテープなのかよくわかりません。
    まだ早いとは思うんだけど、ここがモロクボ平かなあ。
    だとしたら、右の道を行かないといけないんだけど?
    試しに右の道に入ってしばらく尾根を登っていくと、足元がフカフカしてきました。
    見た目は登山道なのですが、ここは人が歩いていないなあ。
    そこで分岐まで戻り左の崖っぷちの道を行きました。
    やはり足元が硬い。
    よく踏まれている登山道です。
    それで正解でした。
    しばらくすると、2個目の桟道。
    ここも注意して通過。

    その先、道は大きく右に旋回して下っていき、しばらく行くと、平らな林が広がりました。
    ここがモロクボ平。13:10。
    道しるべもありました。
    地図上でも、等高線がそこだけ真っ白になっているところです。
    気持ちの良い広葉樹の林が広がっていました。

    やがて、道はうす暗い植林帯に入り、ジグザグに下り始めました。
    田元への道を左に分け、道はさらに急斜面に作られたジグザグ道に。
    ほぼ180°Uターンするように行っては戻って急斜面を下っていきます。
    薄暗くて心細いところですが、車の音がもう聞こえてきているのが励みになりました。
    斜面を降り切り、小さい道しるべの通りに左に曲がると、橋。
    コンクリートのしっかりした橋を渡ると、もう舗装道路でした。
    あとは、要所要所に道しるべがあるのでその通りに舗装道路を歩いていき、小菅の湯へ。14:00。

    建物に入って左手が下駄箱。
    下駄箱の鍵を受付に出すシステムでした。
    3時間620円。
    割引券を朝もらったので、さらに100円引き。
    安いなあ。

    脱衣所のロッカーは30Lザックならば入る大きさでした。
    洗い場は15個ほど。
    まだ14時なので空いていました。
    温泉の泉質は高アルカリ性。
    浴槽がいくつかあります。
    普通の内湯。寝湯。打たせ湯。
    露天は、普通の露天。五右衛門風呂。ハーブ湯。
    普通の露天が一番濃い印象で、肌に小さい泡がつき、ツルツルしました。
    ぬるいハーブ湯と行ったり来たりすれば、いつまででも入っていられそうです。

    さて、入浴後のお楽しみ。
    あれ、ビールの自販機は?
    村営の真面目な施設ですと酒類を販売しないところもあるので、ここもそうかなあとキョロキョロしながら受付ロビーまで戻ってくると、入り口の下駄箱とは反対側に酒類の自販機がありました。
    どれも350mL。
    麦とホップ200円を購入。
    ロビー奥のソファに座って飲みました。

    15:00。
    飲み終わって、少し早いけれどバス停が遠いようなので受付に行くと、そこに朝の高校山岳部の顧問の先生がいました。
    「14人分まとめてあるはずなんですが」
    と、また人数を言って下駄箱の鍵を受け取っていました。
    鶴峠から縦走してきた高校生に追い付かれちゃった。
    私もいつになく長風呂してはいましたが、それでも30分と違わず到着したのでしょう。
    さすがに高校生は速いなあ。
    私も今度は春に来て、奈良倉山から縦走しようかな。
    大マテイ山の広い尾根道を歩けなかったのも心残りですし。

    朝、運転手さんが言っていたように、普段なら小菅の湯の建物の前まで来るバスは、ロータリーが工事中のため駐車場の一番端までしか来ません。
    そのバス停には既に行列が。
    バスは駐車場で2台待機していました。
    15:15。乗車開始。
    1台目に無事に座れました。
    15:25。定刻にバスは出発しました。

      


  • Posted by セギ at 12:50Comments(0)